2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入章末復習同步學案 新人教B版選修1-2

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1、第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 章末復習 學習目標　1.鞏固復數(shù)的概念和幾何意義.2.理解并能進行復數(shù)的四則運算且認識復數(shù)加減法的幾何意義． 1．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＋d＝0(a，b，c，d∈R)． (4)復平面 建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面．在復平面內x

2、軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內的點都表示非純虛數(shù)． (5)復數(shù)的模 向量的長度叫做復數(shù)z＝a＋bi的模(或絕對值)，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)． (2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi

3、)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)復數(shù)加法的運算定律 復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任意復數(shù)z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 4．共軛復數(shù)的性質 (1)z·∈R. (2)＝z. (3)任一實數(shù)的共軛復數(shù)仍是它本身；反之，若z＝，則z是實數(shù)． (4)共軛復數(shù)對應的點關于實軸對稱． 1．復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小．(　×　) 2．原點是實軸與虛軸的交點．(　√　

4、) 3．方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　×　) 類型一　復數(shù)的概念 例1　已知復數(shù)z＝a2－a－6＋i(a∈R)，分別求出滿足下列條件的實數(shù)a的值： (1)z是實數(shù)；(2)z是虛數(shù)；(3)z是0. 解　由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3. 由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 由a2－4≠0，解得a≠±2. (1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0， 得a＝－5或a＝3， ∴當a＝－5或a＝3時，z為實數(shù)． (2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0， 得a≠－5且a≠3且a≠±2， ∴當a≠－5且a≠3且a≠±2時，z是虛數(shù)． (3)由a2－

5、a－6＝0，且a2＋2a－15＝0， 且a2－4≠0，得a＝3， ∴當a＝3時，z＝0. 引申探究　 本例中條件不變，若z為純虛數(shù)，是否存在這樣的實數(shù)a，若存在，求出a，若不存在，說明理由． 解　由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0， 得a無解， ∴不存在實數(shù)a，使z為純虛數(shù)． 反思與感悟　(1)正確確定復數(shù)的實部、虛部是準確理解復數(shù)的有關概念(如實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、相等復數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模)的前提． (2)兩復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題的依據． 跟蹤訓練1　復數(shù)z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當x為何實數(shù)時，(

6、1)z∈R；(2)z為虛數(shù)． 解　(1)因為一個復數(shù)是實數(shù)的充要條件是虛部為0， 所以 解得x＝4，所以當x＝4時，z∈R. (2)因為一個復數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0， 所以解得x>且x≠4. 所以當x>且x≠4時，z為虛數(shù)． 類型二　復數(shù)的四則運算 例2　(1)計算：＋2 012＋； (2)已知z＝1＋i，求的模． 解　(1)原式＝＋1 006＋ ＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i. (2)＝＝＝1－i， ∴的模為. 反思與感悟　(1)復數(shù)的除法運算是復數(shù)運算中的難點，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先應該寫成分式的形式，然后再分母實數(shù)化．

7、 (2)虛數(shù)單位i的周期性 ①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)． ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)． 跟蹤訓練2　計算：(＋i)5＋4＋7. 解　(＋i)5＋4＋7 ＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7 ＝16(－1＋i)－－i ＝－＋(16－1)i. 類型三　復數(shù)問題實數(shù)化思想 例3　已知復數(shù)z1＝2，＝i，并且|z|＝2，|z－z1|＝|z－z2|，求z. 解　設z＝a＋bi(a，b∈R)， ∵z1＝2，＝i， ∴z2＝2i. ∵|z|＝2，則＝2.① ∵|z－z1|＝|z－z2|

8、，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|， ∴＝② 由①②得或 ∴z＝2＋2i或z＝－2－2i. 反思與感悟　設出復數(shù)z的代數(shù)形式，利用復數(shù)的分類及運算，列出方程，求得復數(shù)的實部和虛部，這是求解復數(shù)的常用思路． 跟蹤訓練3　已知z是復數(shù)，z－3i為實數(shù)，為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)． (1)求復數(shù)z； (2)求的模． 解　(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)， ∴z－3i＝a＋(b－3)i為實數(shù)，可得b＝3. 又＝為純虛數(shù)， ∴a＝－1，即z＝－1＋3i. (2)＝＝＝＝－2＋i， ∴＝＝. 類型四　復數(shù)的幾何意義 例4　設復數(shù)z滿足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|

9、的最值． 解　由復數(shù)的幾何意義知，|z|＝1表示復數(shù)z在復平面內對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，因而|z－(3＋4i)|的幾何意義是求此圓上的點到點C(3,4)的距離的最大值與最小值． 如圖，易知|z－(3＋4i)|max＝|AC|＝|OC|＋1＝＋1＝6， |z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4. 反思與感悟　復數(shù)和復平面內的點，以原點為起點的向量一一對應；復數(shù)加減法符合向量運算的平行四邊形法則和三角形法則：|z1－z2|表示復數(shù)z1，z2對應的兩點Z1，Z2之間的距離． 跟蹤訓練4　已知復平面內點A，B對應的復數(shù)分別是z1＝sin2θ＋i，z2＝－co

10、s2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，設對應的復數(shù)為z. (1)求復數(shù)z； (2)若復數(shù)z對應的點P在直線y＝x上，求θ的值． 解　(1)由題意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i. (2)由(1)知，點P的坐標為(－1，－2sin2θ)． 由點P在直線y＝x上，得－2sin2θ＝－， ∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝. 1．復數(shù)z＝(a∈R)在復平面內對應的點在虛軸上，則a等于(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 答案　D 解析　z＝＝＝在復

11、平面內對應的點在虛軸上，所以2＋a＝0，即a＝－2. 2．已知f(x)＝x3－1，設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部是(　　) A．－1 B．1 C．i D．0 答案　B 解析　f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虛部是1. 3．已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是實系數(shù)一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，則p，q的值為(　　) A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5 C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5 答案　A 解析　由條件知2＋ai，b＋i是共軛復數(shù)，則a＝－1，b＝2，即實系數(shù)一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩個根是2±i，所以p＝－[

12、(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5. 4．若|z－1|＝2，則|z－3i－1|的最小值為________． 答案　1 解析　因為|z－1|＝2，所以復數(shù)z在復平面內對應的點在以(1,0)為圓心，2為半徑的圓上．|z－3i－1|表示復數(shù)z在復平面內對應的點到點(1,3)的距離，因此，距離的最小值為1. 5．設復數(shù)z和它的共軛復數(shù)滿足4z＋2＝3＋i，求復數(shù)z. 解　設z＝a＋bi(a，b∈R)．因為4z＋2＝3＋i， 所以2z＋(2z＋2)＝3＋i. 又2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整體代入上式， 得2z＋4a＝3＋i. 所以z＝＋i

13、. 根據復數(shù)相等的充要條件，得 解得 所以z＝＋i. 1．對復數(shù)的概念的考查是考查復數(shù)的基礎，要求準確理解虛數(shù)單位、復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)、實部、虛部、復數(shù)的模等概念． 2．對復數(shù)四則運算的考查可能性較大，要加以重視，其中復數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似；對于復數(shù)的除法運算，將分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的結構形式． 3．對復數(shù)幾何意義的考查．在高考中一般會結合復數(shù)的概念、復數(shù)的加減運算考查復數(shù)的幾何意義、復數(shù)加減法的幾何意義．求解復數(shù)，往往設出復數(shù)的代數(shù)形式，將復數(shù)問題實數(shù)化. 一、選擇題 1．復數(shù)z對應的點在第二象限，它

14、的模為3，實部是－，則是(　　) A．－＋2i B．－－2i C.＋2i D.－2i 答案　B 解析　設復數(shù)z的虛部為b，則z＝－＋bi，b>0， ∵3＝，∴b＝2，∴z＝－＋2i， 則z的共軛復數(shù)是－－2i，故選B. 2．復數(shù)＋的虛部是(　　) A.i B. C．－i D．－ 答案　B 解析?。剑剑玦.故選B. 3．若z＝1＋2i，則等于(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案　C 解析　z＝1＋2i， 則＝＝＝i. 4．若復數(shù)z＝cos ＋isin (i是虛數(shù)單位)，復數(shù)z2的實部、虛部分別為a，b，則下列結論正確的是(　

15、　) A．ab<0 B．a2＋b2≠1 C.＝ D.＝ 答案　C 解析　∵z＝cos ＋isin ， ∴z2＝2 ＝cos2－sin2＋2cos sin i ＝cos ＋isin ＝＋i， 則a＝，b＝，則＝，故選C. 5．向量對應的復數(shù)是5－4i，向量對應的復數(shù)是－5＋4i，則向量對應的復數(shù)是(　　) A．－10＋8i B．10－8i C．－8＋10i D．8＋(－10i) 答案　A 解析　向量對應的復數(shù)是5－4i，可得Z1(5，－4)； 向量對應的復數(shù)是－5＋4i，可得Z2(－5,4)； 向量對應的點是(－10,8)， 即向量對應的復數(shù)是－1

16、0＋8i.故選A. 6．已知復數(shù)z的模為2，則|z－i|的最大值為(　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　D 解析　∵|z|＝2，則復數(shù)z對應的點的軌跡是以圓心為原點，半徑為2的圓，而|z－i|表示的是圓上一點到點(0,1)的距離，∴其最大值為圓上的點(0，－2)到點(0,1)的距離，最大的距離為3. 7．復數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)為(　　) A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 考點　共軛復數(shù)的定義與應用 題點　利用定義求共軛復數(shù) 答案　D 解析　由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i， ∴

17、z＝5＋i，∴＝5－i. 二、填空題 8．若復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，則z的實部為__________________________________________． 答案　1 解析　因為(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其實部為1. 9．若復數(shù)＋b(b∈R)所對應的點在直線x＋y＝1上，則b的值為________． 答案　0 解析　復數(shù)＋b＝＋b＝＋b＝b＋i. ∵所對應的點(b,1)在直線x＋y＝1上， ∴b＋1＝1，解得b＝0. 10．如圖，在復平面內，點A對應的復數(shù)為z1，若＝i(i為虛數(shù)單位)，則z2＝________. 答案?。?－i 解析　由

18、圖可知，z1＝－1＋2i， ∴由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i. 11．使z＋∈R，且|z－3|＝3成立的虛數(shù)z＝________. 答案　±i 解析　設z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，則 z＋＝a＋bi＋＝＋i. 由z＋∈R，得b－＝0， 又b≠0，故a2＋b2＝9.① 又由|z－3|＝3，得＝3.② 由①②，得 即z＝＋i或z＝－i. 三、解答題 12．已知復數(shù)z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i為虛數(shù)單位)． (1)若z1＝z2，求實數(shù)a，b的值； (2)若b＝1，a＝0，求. 解　(1)復數(shù)z1＝(1

19、＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i， z2＝3＋(1－a)i， 由z1＝z2，可得解得 所以實數(shù)a＝2，b＝－1. (2)若b＝1，a＝0，則z1＝1＋3i，z2＝3＋i. ＝＝＝2. 13．若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求復數(shù)z. 解　f(z)＝2z＋－3i， ∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i ＝2＋2i＋z－i－3i ＝2＋z－2i. 又f(＋i)＝6－3i， ∴2＋z－2i＝6－3i， 即2＋z＝6－i. 設z＝x＋yi(x，y∈R)，則＝x－yi. ∴2(x－yi)＋x＋yi＝3x－yi＝6－i， ∴∴ ∴z＝2＋i.

20、 四、探究與拓展 14．若z＝－，則z2 012＋z102＝________. 答案?。?＋i 解析　z2 012＋z102＝(z4)503＋(z2)51＝(－1)503＋(－i)51＝－1－i48＋3＝－1＋i. 15．是否存在復數(shù)z，使其滿足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求實數(shù)a的取值范圍；如果不存在，請說明理由． 解　設z＝x＋yi(x，y∈R)，則原條件等式可化為x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai. 由復數(shù)相等的充要條件，得 消去x，得y2＋2y＋－3＝0. 所以當Δ＝4－4＝16－a2≥0， 即－4≤a≤4時，復數(shù)z存在． 故存在滿足條件的復數(shù)z，且實數(shù)a的取值范圍為[－4,4]． 11