《2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第三講 第二課時(shí) 圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題課后訓(xùn)練 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第三講 第二課時(shí) 圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題課后訓(xùn)練 文（4頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第三講 第二課時(shí) 圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、存在性問題課后訓(xùn)練 文
1．(2018·云南師大附中質(zhì)檢)已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，且過點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若＝λ1，＝λ2，求證：λ1＋λ2為定值．
解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為
＋＝1(a＞b＞0)，
則
∴a2＝5，b2＝1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0) ，
又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)．
顯然直線l存在斜率
2、，
設(shè)直線l的斜率為k，
則直線l的方程是y＝k(x－2)，將直線l的方程代入橢圓C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又∵＝λ1，＝λ2，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得λ1＝，λ2＝，
∴λ1＋λ2＝＋
＝
＝＝－10，
即λ1＋λ2為定值．
2．(2018·貴陽一模)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)若A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，求證：直線BD恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．
解析：(1)易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，則直線l的方程為y＝k
3、(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由題意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，
由拋物線的定義知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，
∴直線l的方程為y＝±(x－1)．
(2)由拋物線的對稱性知，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，－y1)，直線BD的斜率kBD＝＝＝，
∴直線BD的方程為y＋y1＝(x－x1)，
即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1，
∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2
4、＝16x1x2＝16，
即y1y2＝－4(y1，y2異號)，
∴直線BD的方程為4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，
恒過點(diǎn)(－1,0)．
3．(2018·南寧模擬)已知拋物線C：y2＝ax(a＞0)上一點(diǎn)P(t，)到焦點(diǎn)F的距離為2t.
(1)求拋物線C的方程；
(2)拋物線C上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)Q(3，－1)的直線與拋物線C交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．
解析：(1)由拋物線的定義可知|PF|＝t＋＝2t，則a＝4t，
由點(diǎn)P(t，)在拋物線上，得at＝，
∴a×＝，則a2＝1，
由a＞0，
5、得a＝1，
∴拋物線C的方程為y2＝x.
(2)∵點(diǎn)A在拋物線C上，且yA＝1，
∴xA＝1.
∴A(1,1)，設(shè)過點(diǎn)Q(3，－1)的直線的方程為x－3＝m(y＋1)，
即x＝my＋m＋3，
代入y2＝x得y2－my－m－3＝0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3，
∴k1k2＝·
＝
＝－，
∴k1k2為定值．
4．(2018·福州四校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|RS|＝3.
(1
6、)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解析：(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.
將x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)．
聯(lián)立方程，得得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得①，其中Δ＞0恒成立，
由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTS＋kTR＝0(顯然TS，TR的斜率存在)，
即＋＝0 ②.
因?yàn)镽，S兩點(diǎn)在直線y＝k(x－1)上，
所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得
＝＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?、?，
將①代入③得＝＝0 ④，
則t＝4，
綜上所述，存在T(4,0)，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．
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