（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何學(xué)案

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1、 第八章 平面解析幾何 第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程 1．直線的傾斜角 (1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0. (2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α(α≠)，則斜率k＝tan_α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 幾何條件 方程 適用范圍 斜截式 縱截距、斜率 y＝kx＋b 與x軸不垂直的直線

2、 點(diǎn)斜式 過一點(diǎn)、斜率 y－y0＝k(x－x0) 兩點(diǎn)式 過兩點(diǎn) ＝ 與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線 截距式 縱、橫截距 ＋＝1 不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直線 4．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式． [小題體驗] 1．若過點(diǎn)M(－1，m)，N(m＋1,4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B. C．2 D. 解析：選A　由＝1，得

3、m＝1.故選A. 2．直線3x－y＋1＝0的傾斜角α為(　　) A．30° B．60° C．120° D．135° 解析：選B　直線方程可變形為y＝x＋，tan α＝， ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.故選B. 3．(2018·嘉興檢測)直線l1：x＋y＋2＝0在x軸上的截距為________；若將l1繞它與y軸的交點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，則所得到的直線l2的方程為________________． 解析：對于直線l1：x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即直線l1在x軸上的截距為－2；令x＝0，得y＝－2，即l1與y軸的交點(diǎn)為(0，－2)，直線l1的傾斜角為135°，∴直

4、線l2的傾斜角為135°－90°＝45°，∴l(xiāng)2的斜率為1，故l2的方程為y＝x－2，即x－y－2＝0. 答案：－2　x－y－2＝0 1．點(diǎn)斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x，y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線． 2．截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零． 3．求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對斜率是否存在加以討論． [小題糾偏] 1．過點(diǎn)(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距2倍的直線方程是(　　) A．2x＋y－12＝0

5、 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 解析：選B　當(dāng)直線過原點(diǎn)時所求方程為2x－5y＝0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，可設(shè)其截距式為＋＝1，由該直線過點(diǎn)(5,2)，解得a＝6，對應(yīng)方程為＋＝1，即2x＋y－12＝0，故選B. 2．過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5的直線方程是________． 解析：當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0滿足題意； 當(dāng)斜率存在時，設(shè)其為k， 則所求直線方程為y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋10－5k＝0. 由距離公式，得＝5，解得k＝. 故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.

6、 綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0 [題組練透] 1．設(shè)直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sin α＋cos α＝0，則a，b滿足(　　) A．a(chǎn)＋b＝1　　　　　　　　 B．a(chǎn)－b＝1 C．a(chǎn)＋b＝0 D．a(chǎn)－b＝0 解析：選D　由題意得sin α＝－cos α，顯然cos α≠0，則tan α＝－1，∴－＝－1，a＝b，a－b＝0. 2．經(jīng)過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為________，_____

7、___. 解析：如圖所示，結(jié)合圖形，若l與線段AB總有公共點(diǎn)，則kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0時，傾斜角α為鈍角，k＝0時，α＝0，k>0時，α為銳角． 又kPA＝＝－1， kPB＝＝1，∴－1≤k≤1. 又當(dāng)0≤k≤1時，0≤α≤； 當(dāng)－1≤k<0時，≤α<π. 故傾斜角α的取值范圍為α∈∪. 答案：[－1,1]　∪ 3．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三點(diǎn)共線，求＋的值． 解：∵kAB＝＝－，kAC＝＝－，且A，B，C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kAC，即－＝－，整理得ab＝2(a＋b)，將該等式兩邊同除以2ab得＋＝. [謹(jǐn)記通法

8、] 1．傾斜角與斜率的關(guān)系 當(dāng)α∈且由0增大到時，k的值由0增大到＋∞. 當(dāng)α∈時，k也是關(guān)于α的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)α在此區(qū)間內(nèi)由增大到π(α≠π)時，k的值由－∞趨近于0(k≠0)． 2．斜率的3種求法 (1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率． (3)方程法：若已知直線的方程為Ax＋By＋C＝0(B≠0)，則l的斜率k＝－. [典例引領(lǐng)] 求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；

9、(2)經(jīng)過點(diǎn)(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍； (3)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形． 解：(1)設(shè)直線方程在x，y軸上的截距均為a， 若a＝0，即直線方程過點(diǎn)(0,0)和(4,1)， ∴直線方程為y＝x，即x－4y＝0； 若a≠0，則設(shè)直線方程為＋＝1， ∵直線方程過點(diǎn)(4,1)，∴＋＝1， 解得a＝5，∴直線方程為x＋y－5＝0. 綜上可知，所求直線的方程為x－4y＝0或x＋y－5＝0. (2)由已知，設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α ，則所求直線的傾斜角為2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－. 又直線經(jīng)過點(diǎn)(－1，－3)

10、， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (3)由題意可知，所求直線的斜率為±1. 又過點(diǎn)(3,4)，由點(diǎn)斜式得y－4＝±(x－3)． 即所求直線的方程為x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. [由題悟法] 求直線方程的2個注意點(diǎn) (1)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件． (2)對于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)． [即時應(yīng)用] 求傾斜角是直線y＝－x＋1的傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)(，－1)； (

11、2)在y軸上的截距是－5. 解：∵直線y＝－x＋1的傾斜角α＝120°. ∴所求直線的傾斜角為30°，即斜率k＝. (1)所求直線方程為y＋1＝(x－)， 即x－3y－6＝0. (2)所求直線方程為y＝x－5， 即x－3y－15＝0. [鎖定考向] 直線方程的綜合應(yīng)用是常考內(nèi)容之一，它常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、圓相結(jié)合，命題多為客觀題． 常見的命題角度有： (1)與基本不等式相結(jié)合的最值問題； (2)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題； (3)由直線方程解決參數(shù)問題．　　　 　 [題點(diǎn)全練] 角度一：與基本不等式相結(jié)合的最值問題 1．過點(diǎn)P(2,1)作直線l，與x軸和

12、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求： (1)△AOB面積的最小值及此時直線l的方程； (2)直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程； (3)|PA|·|PB|的最小值及此時直線l的方程． 解：(1)設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)， 則可得A，B(0,1－2k)． ∵直線l與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)， ∴得k＜0. ∴S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k) ＝≥ ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－＝－4k， 即k＝－時，△AOB的面積有最小值4，此時直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. (2)∵A，B(0,1－2k)(k＜0)，

13、 ∴截距之和為2－＋1－2k＝3－2k－≥3＋2＝3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)－2k＝－，即k＝－時等號成立． 故截距之和的最小值為3＋2， 此時直線l的方程為y－1＝－(x－2)， 即x＋y－－2＝0. (3)∵A，B(0,1－2k)(k＜0)， ∴|PA|·|PB|＝·＝2≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－， 即k＝－1時上式等號成立． 故|PA|·|PB|的最小值為4，此時直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 角度二：與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題 2．設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為(　　)

14、 A.　　　　　 B. C．[0,1] D. 解析：選A　由題意知y′＝2x＋2，設(shè)P(x0，y0)， 則k＝2x0＋2. 因為曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－. 角度三：由直線方程解決參數(shù)問題 3．已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，求實數(shù)a的值． 解：由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝×(2－a)×2＋×(a2

15、＋2)×2＝a2－a＋4＝2＋，當(dāng)a＝時，四邊形的面積最小，故a＝. [通法在握] 處理直線方程綜合應(yīng)用的2大策略 (1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系，即能夠看出“動中有定”． (2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值． [演練沖關(guān)] 1．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________． 解析：易求定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)．當(dāng)P與A和B均不重合時，因為P為直線x＋my＝0與mx－y－

16、m＋3＝0的交點(diǎn)，且易知兩直線垂直，則PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時，等號成立)，當(dāng)P與A或B重合時，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 2．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點(diǎn)； (2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程． 解：(1)證明：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1，故無論k取何值，直線

17、l總過定點(diǎn)(－2,1)． (2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1， 要使直線l不經(jīng)過第四象限，則解得k≥0， 故k的取值范圍為. (3)依題意，直線l在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k， ∴A，B(0,1＋2k)． 又－<0且1＋2k>0，∴k>0. 故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時取等號． 故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0. 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．直線l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A.　　　　　　

18、　　　 B. C．－ D．－ 解析：選A　設(shè)直線l的斜率為k，則k＝－＝. 2．傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析：選D　直線的斜率為k＝tan 135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 3．(2018·湖州質(zhì)檢)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：選B　依題意，設(shè)點(diǎn)P(a,1)，Q(7，b)， 則有解得a＝－5，b＝－3，

19、從而可得直線l的斜率為＝－. 4.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 解析：選D　直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故選D. 5．(2018·豫西五校聯(lián)考)曲線y＝x3－x＋5上各點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍為________． 解析：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ(θ∈[0，π))， 因為y′＝3x2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 結(jié)合正切函

20、數(shù)的圖象可知， θ的取值范圍為∪. 答案：∪ 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 解析：選B　由直線方程可得該直線的斜率為－，又－1≤－<0，所以傾斜角的取值范圍是. 2．已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為(　　) A．y＝x＋2 B．y＝x－2 C．y＝x＋ D．y＝－x＋2 解析：選A　∵直線x－2y－4＝0的斜率為， ∴直線l在y軸上的截距為2， ∴直線l的方程為y＝x＋2，故選A. 3．(2018·溫州

21、五校聯(lián)考)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0的圖象可能是(　　) 解析：選B　當(dāng)a>0，b>0時，－a<0，－b<0，選項B符合． 4．若直線x－2y＋b＝0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞) 解析：選C　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面積為|－b|＝b2，且b≠0，因為b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是[－2,0)∪(0,2]． 5．函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1

22、)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則＋的最小值為(　　) A．2 B．4 C．8 D．1 解析：選B　∵函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A(1,1)． ∴把A(1,1)代入直線方程得m＋n＝1(mn>0)． ∴＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2 ＝4(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時取等號)， ∴＋的最小值為4. 6．(2018·溫州調(diào)研)已知三角形的三個頂點(diǎn)為A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為________． 解析：∵BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴BC邊上中線所在直線方程為＝，即x＋13y＋5＝0. 答案：x＋

23、13y＋5＝0 7．直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，則直線l恒過定點(diǎn)________． 解析：直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6＝0， 由解得x＝2，y＝－2， 所以直線l恒過定點(diǎn)(2，－2)． 答案：(2，－2) 8．已知直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l與線段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是________． 解析：如圖所示，設(shè)直線l與線段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共點(diǎn)為P(x，y)． 則點(diǎn)P(x，y)在線段AB上移動，且A(2,4)，B(3,2)， 設(shè)直線l的斜率為k. 又kOA＝2，kOB＝. 可知≤k≤2. 故直

24、線l的斜率的取值范圍是. 答案： 9．已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程： (1)過定點(diǎn)A(－3,4)； (2)斜率為. 解：(1)設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋3)＋4，它在x軸，y軸上的截距分別是－－3,3k＋4， 由已知，得(3k＋4)＝±6， 解得k1＝－或k2＝－. 故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是y＝x＋b，它在x軸上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 10.如圖

25、，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點(diǎn)P(1，0)的直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝x上時，求直線AB的方程． 解：由題意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－， 所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 設(shè)A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中點(diǎn)C， 由點(diǎn)C在直線y＝x上，且A，P，B三點(diǎn)共線得 解得m＝，所以A(，)． 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校

26、 1．已知曲線y＝，則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為________． 解析：y′＝＝， 因為ex>0，所以ex＋≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)ex＝，即x＝0時取等號)，所以ex＋＋2≥4， 故y′＝≥－(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號)． 所以當(dāng)x＝0時，曲線的切線斜率取得最小值，此時切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的方程為y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.該切線在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為，所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S＝×2×＝. 答案： 2.已知直線l過點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)△ABO的面積取最小值時，求

27、直線l的方程． 解：法一：設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)， 則直線l的方程為＋＝1. 因為l過點(diǎn)P(3,2)，所以＋＝1. 因為1＝＋≥2 ，整理得ab≥24， 所以S△ABO＝ab≥12， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝6，b＝4時取等號． 此時直線l的方程是＋＝1，即2x＋3y－12＝0. 法二：依題意知，直線l的斜率k存在且k<0， 可設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k<0)， 則A，B(0,2－3k)， S△ABO＝(2－3k) ＝ ≥ ＝×(12＋12)＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝，即k＝－時，等號成立． 所以所求直線l的方程為2x＋3y－12

28、＝0. 第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行： ①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直： ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2. 2．兩條直線的交點(diǎn)的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解． 3．三種距離公式 P1

29、(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間距離 d＝ [小題體驗] 1．(2018·金華四校聯(lián)考)直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m＝(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3 解析：選C　∵直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，∴＝≠，解得m＝2或－3. 2．過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為(　　)

30、A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 解析：選D　由得 則所求直線方程為y＝x＝－x，即3x＋19y＝0. 3．(2018·浙江五校聯(lián)考)已知動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,1－x)，x∈R，則動點(diǎn)P的軌跡方程為________，它到原點(diǎn)距離的最小值為________． 解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則y＝1－x，即動點(diǎn)P的軌跡方程為x＋y－1＝0.原點(diǎn)到直線x＋y－1＝0的距離為d＝＝，即為所求原點(diǎn)到動點(diǎn)P的軌跡的最小值． 答案：x＋y－1＝0　 1．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進(jìn)行判

31、斷，若無斜率，要單獨(dú)考慮． 2．運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯． [小題糾偏] 1．已知P：直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平行，Q：a＝－1，則P是Q的(　　) A．充要條件　　　　　　　　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由于直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平行的充要條件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1. 所以P是Q的充要條件． 2．(2018·安慶模擬)若直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)與直線l2：2x＋6y－

32、3＝0的距離為，則m＝(　　) A．7 B． C．14 D．17 解析：選B　直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因為它與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為，所以＝，解得m＝. (基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透) [題組練透] 1．(2018·諸暨模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線ax＋by－6＝0與直線2x＋(b－3)y＋5＝0平行，則2a＋3b的最小值為________． 解析：由兩直線平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b為正數(shù)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2 ＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時取等

33、號，故2a＋3b的最小值為25. 答案：25 2．已知直線l1：x＋3y＝7與直線l2：kx－y＝2，以及與x軸，y軸圍成的凸四邊形有外接圓，求實數(shù)k的值． 解：如圖所示，由直線l1，l2及x軸，y軸所圍成四邊形為OABC，其有外接圓的充要條件是對角互補(bǔ)． ∵∠COA＝90°， ∴∠CBA＝90°，即l1⊥l2. ∴k·＝－1，解得k＝3. 3．已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，使 (1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1. 解：(1)由題意得 解得m＝1，n

34、＝7. 即m＝1，n＝7時，l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1)． (2)∵l1∥l2，∴ 解得或 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2時，l1∥l2. (3)當(dāng)且僅當(dāng)2m＋8m＝0， 即m＝0時，l1⊥l2. 又－＝－1，∴n＝8. 即m＝0，n＝8時，l1⊥l2， 且l1在y軸上的截距為－1. [謹(jǐn)記通法] 1．已知兩直線的斜率存在，判斷兩直線平行垂直的方法 (1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等； (2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1. [提醒]　當(dāng)直線斜率不確定時，要注意斜率不存在的情況． 2．由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法 直線

35、方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1與l2垂直 的充要條件 A1A2＋B1B2＝0 l1與l2平行 的充分條件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交 的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1與l2重合 的充分條件 ＝＝(A2B2C2≠0) 　　[提醒]　在判斷兩直線位置關(guān)系時，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時，建議多用比例式來解答． [典例引領(lǐng)] 1．(2018·衢州模擬)若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為(　　) A

36、.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　因為l1∥l2，所以＝≠，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1與l2之間的距離d＝＝. 2．直線3x＋4y－3＝0上一點(diǎn)P與點(diǎn)Q(2，－2)的連線的最小值是________． 解析：∵點(diǎn)Q到直線的距離即為P，Q兩點(diǎn)連線的最小值， ∴|PQ|min＝＝1. 答案：1 3．若直線l過點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________． 解析：法一：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|

37、3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－. ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1. 法二：當(dāng)AB∥l時，有k＝kAB＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)l過AB中點(diǎn)時，AB的中點(diǎn)為(－1,4)． ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1. 答案：x＋3y－5＝0或x＝－1 [由題悟法] 處理距離問題的2大策略 (1)點(diǎn)到直線的距離問題可直接代入點(diǎn)到直線的距離公式去求． (2)

38、動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等，一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)在兩定點(diǎn)所在線段的垂直平分線上，從而使計算簡便． [即時應(yīng)用] 1．已知P是直線2x－3y＋6＝0上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,1)，若|PO|＝|PA|，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 解析：法一：設(shè)P(a，b)，則 解得a＝3，b＝4.∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4)． 法二：線段OA的中垂線方程為x－y＋1＝0， 則由解得則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4)． 答案：(3,4) 2．已知直線l：ax＋y－1＝0和點(diǎn)A(1,2)，B(3,6)．若點(diǎn)A，B到直線l的距離相等，則實數(shù)a的值為________．

39、解析：法一：要使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等， 則AB∥l，或A，B的中點(diǎn)(2,4)在直線l上． 所以－a＝＝2或2a＋4－1＝0， 解得a＝－2或－. 法二：要使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等， 則＝，解得a＝－2或－. 答案：－2或－ [鎖定考向] 對稱問題是高考?？純?nèi)容之一，也是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的一種常見題型． 常見的命題角度有： (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱； (2)點(diǎn)關(guān)于線對稱； (3)線關(guān)于線對稱．　　　 　 [題點(diǎn)全練] 角度一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱 1．過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方

40、程為________________． 解析：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)， 則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上， 所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 2．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)，則直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對稱的直線l′的方程為________． 解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4，3)， 則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M′，N′均在直線l′上．

41、易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0. 法二：設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)， ∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0. 答案：2x－3y－9＝0 角度二：點(diǎn)關(guān)于線對稱 3．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程． 解：(1)設(shè)A′(x，y)，則 解得 ∴A′. (2)在直線m上取一

42、點(diǎn)，如M(2,0)， 則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′必在直線m′上． 設(shè)M′(a，b)， 則 解得M′. 設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N， 則由得N(4,3)． 又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)， ∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. 角度三：線關(guān)于線對稱 4．直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是(　　) A．x－2y＋3＝0　　　　　　 B．x－2y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：選A　設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點(diǎn)為P′(x0，y0)， 由得 由點(diǎn)P′(x0，y

43、0)在直線2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. [通法在握] 1．中心對稱問題的2個類型及求解方法 (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱： 若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解． (2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱，主要求解方法是： ①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程； ②求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程． 2．軸對稱問題的2個類型及求解方法 (1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱： 若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l

44、：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組 可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． (2)直線關(guān)于直線的對稱： 一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行． [演練沖關(guān)] 1．與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程為________． 解析：設(shè)A(x，y)為所求直線上的任意一點(diǎn)， 則A′(x，－y)在直線3x－4y＋5＝0上， 即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直線方程為3x＋4y＋5＝0. 答案：3x＋4y＋5＝0 2已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射

45、，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________． 解析：設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′， 所以解得a＝1，b＝0. 又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)， 所以所求直線的方程為＝， 即6x－y－6＝0. 答案：6x－y－6＝0 3．已知△ABC中，頂點(diǎn)A(4,5)，點(diǎn)B在直線l：2x－y＋2＝0上，點(diǎn)C在x軸上，求△ABC周長的最小值． 解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l：2x－y＋2＝0的對稱點(diǎn)為A1(x1，y1)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A2(x2，y2)，連接A1A2交l于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，則此時△AB

46、C的周長取最小值，且最小值為. ∵A1與A關(guān)于直線l：2x－y＋2＝0對稱， ∴ 解得∴A1(0,7)．易求得A2(4，－5)， ∴△ABC周長的最小值為 ＝＝4. 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是(　　) A．平行　　　　　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能確定 解析：選C　由可得3x＋2m－n＝0，由于3x＋2m－n＝0有唯一解，故方程組有唯一解，故兩直線相交，兩直線的斜率分別為－2，－，斜率之積不等于－1，故不垂直． 2．(2018·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)“a＝－1”是“直線ax＋3y＋3＝0和

47、直線x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　因為直線ax＋3y＋3＝0和直線x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要條件是解得a＝－1，故選C. 3．(2018·麗水調(diào)研)已知直線l1過點(diǎn)(－2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(3，) B．(2，) C．(1，) D. 解析：選C　直線l1的斜率為k1＝tan 30°＝，因為直線l2與直線l1垂直，所以k2＝－＝－，所以直線l1的方程為y＝(x＋2)，直線l2

48、的方程為y＝－(x－2)．兩式聯(lián)立，解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)． 4．(2018·諸暨期初)已知點(diǎn)A(7，－4)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B(－5,6)，則該對稱直線l的方程為(　　) A．6x＋5y－1＝0 B．5x＋6y＋1＝0 C．5x－6y－1＝0 D．6x－5y－1＝0 解析：選D　由題可得，直線l是線段AB的垂直平分線．因為A(7，－4)，B(－5,6)，所以kAB＝＝－，所以kl＝.又因為A(7，－4)，B(－5,6)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．所以直線l的方程為y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0. 5．若直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax

49、－2交于一點(diǎn)，則a的值為________． 解析：由得 即直線2x－y＝－10與y＝x＋1相交于點(diǎn)(－9，－8)． 又因為直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點(diǎn)， 所以－8＝－9a－2，解得a＝. 答案： 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．(2018·舟山調(diào)研)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，過定點(diǎn)P的直線l：ax＋y－1＝0與過定點(diǎn)Q的直線m：x－ay＋3＝0相交于點(diǎn)M，則|MP|2＋|MQ|2的值為(　　) A. B． C．5 D．10 解析：選D　由題意知P(0,1)，Q(－3,0)， ∵過定點(diǎn)P的直線ax＋y－1＝0與過定點(diǎn)Q的直線x－ay＋3＝0垂直，

50、 ∴M位于以PQ為直徑的圓上， ∵|PQ|＝＝， ∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10. 2．(2018·慈溪模擬)曲線y＝2x－x3在x＝－1處的切線為l，則點(diǎn)P(3,2)到直線l的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題可得，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)．y′＝2－3x2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該切線的斜率為k＝2－3＝－1，所以切線的方程為x＋y＋2＝0.所以點(diǎn)P(3,2)到直線l的距離為d＝＝. 3．(2018·綿陽模擬)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(　　) A. B. C.

51、 D. 解析：選C　因為＝≠，所以兩直線平行， 由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離， 即＝， 所以|PQ|的最小值為. 4．(2018·廈門模擬)將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n等于(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線， 則解得故m＋n＝. 5．從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為(　　) A

52、．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0 解析：選A　由直線與向量a＝(8,4)平行知，過點(diǎn)(2,3)的直線的斜率k＝，所以直線的方程為y－3＝(x－2)，其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，又點(diǎn)(2,3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(－2,3)，所以反射光線過點(diǎn)(－2,3)與(0,2)，由兩點(diǎn)式可得反射光線所在的直線方程為x＋2y－4＝0. 6．(2018·余姚檢測)已知直線l過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為________． 解析：顯然直線l的斜率不存在時，不滿足題意； 設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x

53、－3)， 即kx－y＋4－3k＝0， 由已知，得＝， ∴k＝2或k＝－. ∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0. 答案：2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 7.如圖所示，已知兩點(diǎn)A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為________． 解析：易得AB所在的直線方程為x＋y＝4，由于點(diǎn)P關(guān)于直線AB對稱的點(diǎn)為A1(4,2)，點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為A2(－2,0)，則光線所經(jīng)過的路程即A1與A2兩點(diǎn)間的距離．于是|A1A2|＝＝2. 答

54、案：2 8．(2018·紹興一中檢測)兩平行直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1,3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是________． 解析：∵l1∥l2，且P∈l1，Q∈l2，∴l(xiāng)1，l2間的最大距離為|PQ|＝＝5，又l1與l2不重合，∴l(xiāng)1，l2之間距離的取值范圍是(0,5]． 答案：(0,5] 9．已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直線l1過點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． 解：(1)∵l1⊥l

55、2，∴a(a－1)－b＝0.① 又∵直線l1過點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.② 聯(lián)立①②解得a＝2，b＝2. (2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直線l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a. 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)， 即＝b. 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 10．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程． 解：依題意知：kAC＝－2，A(5,1)， ∴l(xiāng)AC的方程為2x＋y－11＝0，

56、 聯(lián)立得C(4,3)． 設(shè)B(x0，y0)，則AB的中點(diǎn)M， 代入2x－y－5＝0， 得2x0－y0－1＝0， 聯(lián)立得B(－1，－3)，∴kBC＝， ∴直線BC的方程為y－3＝(x－4)， 即6x－5y－9＝0. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．已知線段AB的兩個端點(diǎn)A(0，－3)，B(3,0)，且直線y＝2λx＋λ＋2與線段AB總相交，則實數(shù)λ的取值范圍為________． 解析：如圖所示，因為y＝2λx＋λ＋2恒過定點(diǎn)C，連接AC，CB，所以直線AC的斜率kAC＝－10，直線BC的斜率kBC＝－. 又直線y＝2λx＋λ＋2與線段AB總相交，所以kAC≤2λ≤kBC，

57、所以λ的取值范圍為. 答案： 2．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點(diǎn)P(3,4)． (1)證明直線l過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)． (2)當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時，求直線l的方程． 解：(1)證明：直線l的方程可化為 a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由得 所以直線l恒過定點(diǎn)(－2,3)． (2)由(1)知直線l恒過定點(diǎn)A(－2,3)， 當(dāng)直線l垂直于直線PA時，點(diǎn)P到直線l的距離最大． 又直線PA的斜率kPA＝＝， 所以直線l的斜率kl＝－5. 故直線l的方程為y－3＝－5(x＋2)， 即5x＋y＋7＝0. 第三節(jié)圓的方程

58、 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心：(a，b)，半徑：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0) 圓心：， 半徑： 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. [小題體驗]

59、 1．若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　) A．－1　　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．－3 解析：選B　圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5， ∵直線經(jīng)過圓的圓心(－1,2)， ∴3×(－1)＋2＋a＝0，得a＝1. 2．(2018·浙江五校聯(lián)考)若點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C. D. 解析：選A　因為點(diǎn)在圓內(nèi)，所以(2a)2＋(a＋1－1)2<5，解得－1

60、調(diào)研)若圓C與圓x2＋y2＋2x＝0關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，則圓心C的坐標(biāo)為________；圓C的一般方程是________． 解析：已知圓x2＋y2＋2x＝0的圓心坐標(biāo)是(－1,0)、半徑是1，設(shè)圓C的圓心(a，b)，則有由此解得a＝1，b＝2，即圓心C的坐標(biāo)為(1,2)，因此圓C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0. 答案：(1,2)　x2＋y2－2x－4y＋4＝0 對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時易忽視D2＋E2－4F＞0這一成立條件． [小題糾偏] (2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋

61、4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________． 解析：由二元二次方程表示圓的條件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.當(dāng)a＝2時，方程為4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圓； 當(dāng)a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心坐標(biāo)為(－2，－4)，半徑是5. 答案：(－2，－4)　5 [題組練透] 1．圓心在y軸上且經(jīng)過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是(　　) A．x2＋y2＋10y＝0　　　 B．x2＋y2－1

62、0y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 解析：選B　設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r＝|b|，所以圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2. 因為點(diǎn)(3,1)在圓上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.所以圓的方程為x2＋y2－10y＝0. 2．(2018·永康模擬)設(shè)a∈R，則“a>1”是“方程x2＋2ax＋y2＋1＝0的曲線是圓”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因為方程是圓，所以可轉(zhuǎn)化為(x＋a)2＋y2＝a2－1，即a2－1>0，解得a>1或a<－1.所以當(dāng)“a>1”時，

63、有a2－1>0，得曲線方程是圓的方程；當(dāng)曲線方程是圓的方程時，有a>1或a<－1，不一定得到a>1.所以是充分不必要條件． 3．(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________________． 解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a＞0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝，解得a＝2， 所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 4．(2018·湖北八校聯(lián)考)已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，且

64、被x軸分成兩段弧，弧長之比為1：2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：∵圓C關(guān)于y軸對稱，∴可設(shè)C(0，b)， 設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－b)2＝r2， 依題意，得解得 ∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋2＝. 答案：x2＋2＝ [謹(jǐn)記通法] 1．求圓的方程的2種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程． (2)待定系數(shù)法： ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件

65、列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值． 2．確定圓心位置的3種方法 (1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上． (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上． (3)兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓圓心共線． [提醒]　解答圓的有關(guān)問題時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)． [鎖定考向] 與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想． 常見的命題角度有： (1)斜率型最值問題； (2)截距型最值問題； (3)距離型最值問題．　　　 　 [題點(diǎn)全練] 角度一：斜率型最值問題 1．已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求的最大值和

66、最小值． 解：可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率． 設(shè)過原點(diǎn)的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－.∴的最大值為－2＋，最小值為－2－. 角度二：截距型最值問題 2．已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值． 解：設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t的在y軸上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的在y軸上的截距． 由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑， 即＝1，解得t＝－1或t＝－－1. ∴x＋y的最大值為－1，最小值為－－1. 角度三：距離型最值問題 3．已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求的最大值和最小值． 解：＝，求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1,2)的距離與半徑的和或差．又圓心到定點(diǎn)(－