(浙江專版)2019版高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何學案

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1、 第八章 平面解析幾何 第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程 1.直線的傾斜角 (1)定義:當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0. (2)范圍:直線l傾斜角的取值范圍是[0,π). 2.斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α(α≠),則斜率k=tan_α. (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1≠x2,則l的斜率k=. 3.直線方程的五種形式 名稱 幾何條件 方程 適用范圍 斜截式 縱截距、斜率 y=kx+b 與x軸不垂直的直線

2、 點斜式 過一點、斜率 y-y0=k(x-x0) 兩點式 過兩點 = 與兩坐標軸均不垂直的直線 截距式 縱、橫截距 +=1 不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線 一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 所有直線 4.線段的中點坐標公式 若點P1,P2的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),線段P1P2的中點M的坐標為(x,y),則此公式為線段P1P2的中點坐標公式. [小題體驗] 1.若過點M(-1,m),N(m+1,4)的直線的斜率等于1,則m的值為(  ) A.1            B. C.2 D. 解析:選A 由=1,得

3、m=1.故選A. 2.直線3x-y+1=0的傾斜角α為(  ) A.30° B.60° C.120° D.135° 解析:選B 直線方程可變形為y=x+,tan α=, ∵0°≤α<180°,∴α=60°.故選B. 3.(2018·嘉興檢測)直線l1:x+y+2=0在x軸上的截距為________;若將l1繞它與y軸的交點順時針旋轉90°,則所得到的直線l2的方程為________________. 解析:對于直線l1:x+y+2=0,令y=0,得x=-2,即直線l1在x軸上的截距為-2;令x=0,得y=-2,即l1與y軸的交點為(0,-2),直線l1的傾斜角為135°,∴直

4、線l2的傾斜角為135°-90°=45°,∴l(xiāng)2的斜率為1,故l2的方程為y=x-2,即x-y-2=0. 答案:-2 x-y-2=0 1.點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線;兩點式方程不能表示垂直于x,y軸的直線;截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線. 2.截距不是距離,距離是非負值,而截距可正可負,可為零,在與截距有關的問題中,要注意討論截距是否為零. 3.求直線方程時,若不能斷定直線是否具有斜率時,應注意分類討論,即應對斜率是否存在加以討論. [小題糾偏] 1.過點(5,2),且在y軸上的截距是在x軸上的截距2倍的直線方程是(  ) A.2x+y-12=0

5、 B.2x+y-12=0或2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y-1=0或2x-5y=0 解析:選B 當直線過原點時所求方程為2x-5y=0;當直線不過原點時,可設其截距式為+=1,由該直線過點(5,2),解得a=6,對應方程為+=1,即2x+y-12=0,故選B. 2.過點(5,10),且到原點的距離為5的直線方程是________. 解析:當斜率不存在時,所求直線方程為x-5=0滿足題意; 當斜率存在時,設其為k, 則所求直線方程為y-10=k(x-5), 即kx-y+10-5k=0. 由距離公式,得=5,解得k=. 故所求直線方程為3x-4y+25=0.

6、 綜上知,所求直線方程為x-5=0或3x-4y+25=0. 答案:x-5=0或3x-4y+25=0 [題組練透] 1.設直線ax+by+c=0的傾斜角為α,且sin α+cos α=0,則a,b滿足(  ) A.a(chǎn)+b=1         B.a(chǎn)-b=1 C.a(chǎn)+b=0 D.a(chǎn)-b=0 解析:選D 由題意得sin α=-cos α,顯然cos α≠0,則tan α=-1,∴-=-1,a=b,a-b=0. 2.經(jīng)過P(0,-1)作直線l,若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點,則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為________,_____

7、___. 解析:如圖所示,結合圖形,若l與線段AB總有公共點,則kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0時,傾斜角α為鈍角,k=0時,α=0,k>0時,α為銳角. 又kPA==-1, kPB==1,∴-1≤k≤1. 又當0≤k≤1時,0≤α≤; 當-1≤k<0時,≤α<π. 故傾斜角α的取值范圍為α∈∪. 答案:[-1,1] ∪ 3.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三點共線,求+的值. 解:∵kAB==-,kAC==-,且A,B,C三點共線,∴kAB=kAC,即-=-,整理得ab=2(a+b),將該等式兩邊同除以2ab得+=. [謹記通法

8、] 1.傾斜角與斜率的關系 當α∈且由0增大到時,k的值由0增大到+∞. 當α∈時,k也是關于α的單調(diào)函數(shù),當α在此區(qū)間內(nèi)由增大到π(α≠π)時,k的值由-∞趨近于0(k≠0). 2.斜率的3種求法 (1)定義法:若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tan α求斜率. (2)公式法:若已知直線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. (3)方程法:若已知直線的方程為Ax+By+C=0(B≠0),則l的斜率k=-. [典例引領] 求適合下列條件的直線方程: (1)經(jīng)過點(4,1),且在兩坐標軸上的截距相等;

9、(2)經(jīng)過點(-1,-3),傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍; (3)經(jīng)過點(3,4),且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形. 解:(1)設直線方程在x,y軸上的截距均為a, 若a=0,即直線方程過點(0,0)和(4,1), ∴直線方程為y=x,即x-4y=0; 若a≠0,則設直線方程為+=1, ∵直線方程過點(4,1),∴+=1, 解得a=5,∴直線方程為x+y-5=0. 綜上可知,所求直線的方程為x-4y=0或x+y-5=0. (2)由已知,設直線y=3x的傾斜角為α ,則所求直線的傾斜角為2α. ∵tan α=3,∴tan 2α==-. 又直線經(jīng)過點(-1,-3)

10、, 因此所求直線方程為y+3=-(x+1), 即3x+4y+15=0. (3)由題意可知,所求直線的斜率為±1. 又過點(3,4),由點斜式得y-4=±(x-3). 即所求直線的方程為x-y+1=0或x+y-7=0. [由題悟法] 求直線方程的2個注意點 (1)在求直線方程時,應選擇適當?shù)男问?,并注意各種形式的適用條件. (2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應判斷截距是否為零). [即時應用] 求傾斜角是直線y=-x+1的傾斜角的,且分別滿足下列條件的直線方程: (1)經(jīng)過點(,-1); (

11、2)在y軸上的截距是-5. 解:∵直線y=-x+1的傾斜角α=120°. ∴所求直線的傾斜角為30°,即斜率k=. (1)所求直線方程為y+1=(x-), 即x-3y-6=0. (2)所求直線方程為y=x-5, 即x-3y-15=0. [鎖定考向] 直線方程的綜合應用是??純?nèi)容之一,它常與函數(shù)、導數(shù)、不等式、圓相結合,命題多為客觀題. 常見的命題角度有: (1)與基本不等式相結合的最值問題; (2)與導數(shù)的幾何意義相結合的問題; (3)由直線方程解決參數(shù)問題.      [題點全練] 角度一:與基本不等式相結合的最值問題 1.過點P(2,1)作直線l,與x軸和

12、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,求: (1)△AOB面積的最小值及此時直線l的方程; (2)直線l在兩坐標軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程; (3)|PA|·|PB|的最小值及此時直線l的方程. 解:(1)設直線l的方程為y-1=k(x-2), 則可得A,B(0,1-2k). ∵直線l與x軸,y軸正半軸分別交于A,B兩點, ∴得k<0. ∴S△AOB=·|OA|·|OB|=··(1-2k) =≥ =4,當且僅當-=-4k, 即k=-時,△AOB的面積有最小值4,此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. (2)∵A,B(0,1-2k)(k<0),

13、 ∴截距之和為2-+1-2k=3-2k-≥3+2=3+2,當且僅當-2k=-,即k=-時等號成立. 故截距之和的最小值為3+2, 此時直線l的方程為y-1=-(x-2), 即x+y--2=0. (3)∵A,B(0,1-2k)(k<0), ∴|PA|·|PB|=·=2≥4, 當且僅當-k=-, 即k=-1時上式等號成立. 故|PA|·|PB|的最小值為4,此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 角度二:與導數(shù)的幾何意義相結合的問題 2.設P為曲線C:y=x2+2x+3上的點,且曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為,則點P橫坐標的取值范圍為(  )

14、 A.      B. C.[0,1] D. 解析:選A 由題意知y′=2x+2,設P(x0,y0), 則k=2x0+2. 因為曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為,所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,故-1≤x0≤-. 角度三:由直線方程解決參數(shù)問題 3.已知直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當0<a<2時,直線l1,l2與兩坐標軸圍成一個四邊形,當四邊形的面積最小時,求實數(shù)a的值. 解:由題意知直線l1,l2恒過定點P(2,2),直線l1在y軸上的截距為2-a,直線l2在x軸上的截距為a2+2,所以四邊形的面積S=×(2-a)×2+×(a2

15、+2)×2=a2-a+4=2+,當a=時,四邊形的面積最小,故a=. [通法在握] 處理直線方程綜合應用的2大策略 (1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,這時要能夠整理成過定點的直線系,即能夠看出“動中有定”. (2)求解與直線方程有關的最值問題,先求出斜率或設出直線方程,建立目標函數(shù),再利用基本不等式求解最值. [演練沖關] 1.設m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y),則|PA|·|PB|的最大值是________. 解析:易求定點A(0,0),B(1,3).當P與A和B均不重合時,因為P為直線x+my=0與mx-y-

16、m+3=0的交點,且易知兩直線垂直,則PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(當且僅當|PA|=|PB|=時,等號成立),當P與A或B重合時,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案:5 2.已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)證明:直線l過定點; (2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍; (3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標原點,設△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程. 解:(1)證明:直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,故無論k取何值,直線

17、l總過定點(-2,1). (2)直線l的方程為y=kx+2k+1,則直線l在y軸上的截距為2k+1, 要使直線l不經(jīng)過第四象限,則解得k≥0, 故k的取值范圍為. (3)依題意,直線l在x軸上的截距為-,在y軸上的截距為1+2k, ∴A,B(0,1+2k). 又-<0且1+2k>0,∴k>0. 故S=|OA||OB|=××(1+2k)=≥(4+4)=4, 當且僅當4k=,即k=時取等號. 故S的最小值為4,此時直線l的方程為x-2y+4=0. 一抓基礎,多練小題做到眼疾手快 1.直線l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是(  ) A.      

18、    B. C.- D.- 解析:選A 設直線l的斜率為k,則k=-=. 2.傾斜角為135°,在y軸上的截距為-1的直線方程是(  ) A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 解析:選D 直線的斜率為k=tan 135°=-1,所以直線方程為y=-x-1,即x+y+1=0. 3.(2018·湖州質檢)若直線l與直線y=1,x=7分別交于點P,Q,且線段PQ的中點坐標為(1,-1),則直線l的斜率為(  ) A. B.- C.- D. 解析:選B 依題意,設點P(a,1),Q(7,b), 則有解得a=-5,b=-3,

19、從而可得直線l的斜率為=-. 4.如圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則(  ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 解析:選D 直線l1的傾斜角α1是鈍角,故k1<0,直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2,故選D. 5.(2018·豫西五校聯(lián)考)曲線y=x3-x+5上各點處的切線的傾斜角的取值范圍為________. 解析:設曲線上任意一點處的切線的傾斜角為θ(θ∈[0,π)), 因為y′=3x2-1≥-1,所以tan θ≥-1, 結合正切函

20、數(shù)的圖象可知, θ的取值范圍為∪. 答案:∪ 二保高考,全練題型做到高考達標 1.直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(  ) A. B. C.∪ D.∪ 解析:選B 由直線方程可得該直線的斜率為-,又-1≤-<0,所以傾斜角的取值范圍是. 2.已知直線l的斜率為,在y軸上的截距為另一條直線x-2y-4=0的斜率的倒數(shù),則直線l的方程為(  ) A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=x+ D.y=-x+2 解析:選A ∵直線x-2y-4=0的斜率為, ∴直線l在y軸上的截距為2, ∴直線l的方程為y=x+2,故選A. 3.(2018·溫州

21、五校聯(lián)考)在同一平面直角坐標系中,直線l1:ax+y+b=0和直線l2:bx+y+a=0的圖象可能是(  ) 解析:選B 當a>0,b>0時,-a<0,-b<0,選項B符合. 4.若直線x-2y+b=0與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1,那么b的取值范圍是(  ) A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞) 解析:選C 令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,所以所求三角形面積為|-b|=b2,且b≠0,因為b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范圍是[-2,0)∪(0,2]. 5.函數(shù)y=a1-x(a>0,a≠1

22、)的圖象恒過定點A,若點A在mx+ny-1=0(mn>0)上,則+的最小值為(  ) A.2 B.4 C.8 D.1 解析:選B ∵函數(shù)y=a1-x(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A(1,1). ∴把A(1,1)代入直線方程得m+n=1(mn>0). ∴+=(m+n)=2++≥2+2 =4(當且僅當m=n=時取等號), ∴+的最小值為4. 6.(2018·溫州調(diào)研)已知三角形的三個頂點為A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),則BC邊上中線所在的直線方程為________. 解析:∵BC的中點坐標為,∴BC邊上中線所在直線方程為=,即x+13y+5=0. 答案:x+

23、13y+5=0 7.直線l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,則直線l恒過定點________. 解析:直線l的方程變形為a(x+y)-2x+y+6=0, 由解得x=2,y=-2, 所以直線l恒過定點(2,-2). 答案:(2,-2) 8.已知直線l過坐標原點,若直線l與線段2x+y=8(2≤x≤3)有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是________. 解析:如圖所示,設直線l與線段2x+y=8(2≤x≤3)的公共點為P(x,y). 則點P(x,y)在線段AB上移動,且A(2,4),B(3,2), 設直線l的斜率為k. 又kOA=2,kOB=. 可知≤k≤2. 故直

24、線l的斜率的取值范圍是. 答案: 9.已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3,分別求滿足下列條件的直線l的方程: (1)過定點A(-3,4); (2)斜率為. 解:(1)設直線l的方程為y=k(x+3)+4,它在x軸,y軸上的截距分別是--3,3k+4, 由已知,得(3k+4)=±6, 解得k1=-或k2=-. 故直線l的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0. (2)設直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程是y=x+b,它在x軸上的截距是-6b, 由已知,得|-6b·b|=6,∴b=±1. ∴直線l的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0. 10.如圖

25、,射線OA,OB分別與x軸正半軸成45°和30°角,過點P(1,0)的直線AB分別交OA,OB于A,B兩點,當AB的中點C恰好落在直線y=x上時,求直線AB的方程. 解:由題意可得kOA=tan 45°=1, kOB=tan(180°-30°)=-, 所以直線lOA:y=x,lOB:y=-x. 設A(m,m),B(-n,n), 所以AB的中點C, 由點C在直線y=x上,且A,P,B三點共線得 解得m=,所以A(,). 又P(1,0),所以kAB=kAP==, 所以lAB:y=(x-1), 即直線AB的方程為(3+)x-2y-3-=0. 三上臺階,自主選做志在沖刺名校

26、 1.已知曲線y=,則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為________. 解析:y′==, 因為ex>0,所以ex+≥2=2(當且僅當ex=,即x=0時取等號),所以ex++2≥4, 故y′=≥-(當且僅當x=0時取等號). 所以當x=0時,曲線的切線斜率取得最小值,此時切點的坐標為,切線的方程為y-=-(x-0),即x+4y-2=0.該切線在x軸上的截距為2,在y軸上的截距為,所以該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積S=×2×=. 答案: 2.已知直線l過點P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,如圖所示,當△ABO的面積取最小值時,求

27、直線l的方程. 解:法一:設A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0), 則直線l的方程為+=1. 因為l過點P(3,2),所以+=1. 因為1=+≥2 ,整理得ab≥24, 所以S△ABO=ab≥12, 當且僅當=,即a=6,b=4時取等號. 此時直線l的方程是+=1,即2x+3y-12=0. 法二:依題意知,直線l的斜率k存在且k<0, 可設直線l的方程為y-2=k(x-3)(k<0), 則A,B(0,2-3k), S△ABO=(2-3k) = ≥ =×(12+12)=12, 當且僅當-9k=,即k=-時,等號成立. 所以所求直線l的方程為2x+3y-12

28、=0. 第二節(jié)兩條直線的位置關系 1.兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行: ①對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2. ②當直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1∥l2. (2)兩條直線垂直: ①如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設為k1,k2,則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2=-1. ②當其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2. 2.兩條直線的交點的求法 直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1與l2的交點坐標就是方程組的解. 3.三種距離公式 P1

29、(x1,y1),P2(x2,y2)兩點之間的距離 |P1P2|= 點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離 d= 平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間距離 d= [小題體驗] 1.(2018·金華四校聯(lián)考)直線2x+(m+1)y+4=0與直線mx+3y-2=0平行,則m=(  ) A.2            B.-3 C.2或-3 D.-2或-3 解析:選C ∵直線2x+(m+1)y+4=0與直線mx+3y-2=0平行,∴=≠,解得m=2或-3. 2.過兩直線l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交點和原點的直線方程為(  )

30、A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.19x-3y=0 D.3x+19y=0 解析:選D 由得 則所求直線方程為y=x=-x,即3x+19y=0. 3.(2018·浙江五校聯(lián)考)已知動點P的坐標為(x,1-x),x∈R,則動點P的軌跡方程為________,它到原點距離的最小值為________. 解析:設點P的坐標為(x,y),則y=1-x,即動點P的軌跡方程為x+y-1=0.原點到直線x+y-1=0的距離為d==,即為所求原點到動點P的軌跡的最小值. 答案:x+y-1=0  1.在判斷兩條直線的位置關系時,易忽視斜率是否存在,兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進行判

31、斷,若無斜率,要單獨考慮. 2.運用兩平行直線間的距離公式時易忽視兩方程中的x,y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導致出錯. [小題糾偏] 1.已知P:直線l1:x-y-1=0與直線l2:x+ay-2=0平行,Q:a=-1,則P是Q的(  ) A.充要條件         B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 由于直線l1:x-y-1=0與直線l2:x+ay-2=0平行的充要條件是1×a-(-1)×1=0,即a=-1. 所以P是Q的充要條件. 2.(2018·安慶模擬)若直線l1:x+3y+m=0(m>0)與直線l2:2x+6y-

32、3=0的距離為,則m=(  ) A.7 B. C.14 D.17 解析:選B 直線l1:x+3y+m=0(m>0),即2x+6y+2m=0,因為它與直線l2:2x+6y-3=0的距離為,所以=,解得m=. (基礎送分型考點——自主練透) [題組練透] 1.(2018·諸暨模擬)已知a,b為正數(shù),且直線ax+by-6=0與直線2x+(b-3)y+5=0平行,則2a+3b的最小值為________. 解析:由兩直線平行可得,a(b-3)=2b,即2b+3a=ab,+=1.又a,b為正數(shù),所以2a+3b=(2a+3b)·=13++≥13+2 =25,當且僅當a=b=5時取等

33、號,故2a+3b的最小值為25. 答案:25 2.已知直線l1:x+3y=7與直線l2:kx-y=2,以及與x軸,y軸圍成的凸四邊形有外接圓,求實數(shù)k的值. 解:如圖所示,由直線l1,l2及x軸,y軸所圍成四邊形為OABC,其有外接圓的充要條件是對角互補. ∵∠COA=90°, ∴∠CBA=90°,即l1⊥l2. ∴k·=-1,解得k=3. 3.已知兩直線l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,試確定m,n的值,使 (1)l1與l2相交于點P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y軸上的截距為-1. 解:(1)由題意得 解得m=1,n

34、=7. 即m=1,n=7時,l1與l2相交于點P(m,-1). (2)∵l1∥l2,∴ 解得或 即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2時,l1∥l2. (3)當且僅當2m+8m=0, 即m=0時,l1⊥l2. 又-=-1,∴n=8. 即m=0,n=8時,l1⊥l2, 且l1在y軸上的截距為-1. [謹記通法] 1.已知兩直線的斜率存在,判斷兩直線平行垂直的方法 (1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等; (2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于-1. [提醒] 當直線斜率不確定時,要注意斜率不存在的情況. 2.由一般式確定兩直線位置關系的方法 直線

35、方程 l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A+B≠0) l1與l2垂直 的充要條件 A1A2+B1B2=0 l1與l2平行 的充分條件 =≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交 的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1與l2重合 的充分條件 ==(A2B2C2≠0)   [提醒] 在判斷兩直線位置關系時,比例式與,的關系容易記住,在解答選擇、填空題時,建議多用比例式來解答. [典例引領] 1.(2018·衢州模擬)若直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則l1與l2間的距離為(  ) A

36、.         B. C. D. 解析:選B 因為l1∥l2,所以=≠,解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,所以l1與l2之間的距離d==. 2.直線3x+4y-3=0上一點P與點Q(2,-2)的連線的最小值是________. 解析:∵點Q到直線的距離即為P,Q兩點連線的最小值, ∴|PQ|min==1. 答案:1 3.若直線l過點P(-1,2)且到點A(2,3)和點B(-4,5)的距離相等,則直線l的方程為________. 解析:法一:當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0. 由題意知=, 即|

37、3k-1|=|-3k-3|,∴k=-. ∴直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0. 當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,也符合題意. 故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1. 法二:當AB∥l時,有k=kAB=-, ∴直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0. 當l過AB中點時,AB的中點為(-1,4). ∴直線l的方程為x=-1. 故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1. 答案:x+3y-5=0或x=-1 [由題悟法] 處理距離問題的2大策略 (1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求. (2)

38、動點到兩定點距離相等,一般不直接利用兩點間距離公式處理,而是轉化為動點在兩定點所在線段的垂直平分線上,從而使計算簡便. [即時應用] 1.已知P是直線2x-3y+6=0上一點,O為坐標原點,且點A的坐標為(-1,1),若|PO|=|PA|,則P點的坐標為________. 解析:法一:設P(a,b),則 解得a=3,b=4.∴P點的坐標為(3,4). 法二:線段OA的中垂線方程為x-y+1=0, 則由解得則P點的坐標為(3,4). 答案:(3,4) 2.已知直線l:ax+y-1=0和點A(1,2),B(3,6).若點A,B到直線l的距離相等,則實數(shù)a的值為________.

39、解析:法一:要使點A,B到直線l的距離相等, 則AB∥l,或A,B的中點(2,4)在直線l上. 所以-a==2或2a+4-1=0, 解得a=-2或-. 法二:要使點A,B到直線l的距離相等, 則=,解得a=-2或-. 答案:-2或- [鎖定考向] 對稱問題是高考常考內(nèi)容之一,也是考查學生轉化能力的一種常見題型. 常見的命題角度有: (1)點關于點對稱; (2)點關于線對稱; (3)線關于線對稱.      [題點全練] 角度一:點關于點對稱 1.過點P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,則直線l的方

40、程為________________. 解析:設l1與l的交點為A(a,8-2a), 則由題意知,點A關于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,把B點坐標代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,即點A(4,0)在直線l上, 所以由兩點式得直線l的方程為x+4y-4=0. 答案:x+4y-4=0 2.已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2),則直線l關于點A(-1,-2)對稱的直線l′的方程為________. 解析:法一:在l:2x-3y+1=0上任取兩點,如M(1,1),N(4,3), 則M,N關于點A的對稱點M′,N′均在直線l′上.

41、易知M′(-3,-5),N′(-6,-7),由兩點式可得l′的方程為2x-3y-9=0. 法二:設P(x,y)為l′上任意一點,則P(x,y)關于點A(-1,-2)的對稱點為P′(-2-x,-4-y), ∵P′在直線l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0. 答案:2x-3y-9=0 角度二:點關于線對稱 3.已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2).求: (1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標; (2)直線m:3x-2y-6=0關于直線l的對稱直線m′的方程. 解:(1)設A′(x,y),則 解得 ∴A′. (2)在直線m上取一

42、點,如M(2,0), 則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上. 設M′(a,b), 則 解得M′. 設直線m與直線l的交點為N, 則由得N(4,3). 又∵m′經(jīng)過點N(4,3), ∴由兩點式得直線m′的方程為9x-46y+102=0. 角度三:線關于線對稱 4.直線2x-y+3=0關于直線x-y+2=0對稱的直線方程是(  ) A.x-2y+3=0       B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 解析:選A 設所求直線上任意一點P(x,y),則P關于x-y+2=0的對稱點為P′(x0,y0), 由得 由點P′(x0,y

43、0)在直線2x-y+3=0上, ∴2(y-2)-(x+2)+3=0, 即x-2y+3=0. [通法在握] 1.中心對稱問題的2個類型及求解方法 (1)點關于點對稱: 若點M(x1,y1)及N(x,y)關于P(a,b)對稱,則由中點坐標公式得進而求解. (2)直線關于點的對稱,主要求解方法是: ①在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標,再由兩點式求出直線方程; ②求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求直線方程. 2.軸對稱問題的2個類型及求解方法 (1)點關于直線的對稱: 若兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關于直線l

44、:Ax+By+C=0對稱,由方程組 可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2). (2)直線關于直線的對稱: 一般轉化為點關于直線的對稱來解決,有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行. [演練沖關] 1.與直線3x-4y+5=0關于x軸對稱的直線方程為________. 解析:設A(x,y)為所求直線上的任意一點, 則A′(x,-y)在直線3x-4y+5=0上, 即3x-4(-y)+5=0,故所求直線方程為3x+4y+5=0. 答案:3x+4y+5=0 2已知入射光線經(jīng)過點M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射

45、,反射光線經(jīng)過點N(2,6),則反射光線所在直線的方程為________. 解析:設點M(-3,4)關于直線l:x-y+3=0的對稱點為M′(a,b),則反射光線所在直線過點M′, 所以解得a=1,b=0. 又反射光線經(jīng)過點N(2,6), 所以所求直線的方程為=, 即6x-y-6=0. 答案:6x-y-6=0 3.已知△ABC中,頂點A(4,5),點B在直線l:2x-y+2=0上,點C在x軸上,求△ABC周長的最小值. 解:設點A關于直線l:2x-y+2=0的對稱點為A1(x1,y1),點A關于x軸的對稱點為A2(x2,y2),連接A1A2交l于點B,交x軸于點C,則此時△AB

46、C的周長取最小值,且最小值為. ∵A1與A關于直線l:2x-y+2=0對稱, ∴ 解得∴A1(0,7).易求得A2(4,-5), ∴△ABC周長的最小值為 ==4. 一抓基礎,多練小題做到眼疾手快 1.直線2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置關系是(  ) A.平行          B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能確定 解析:選C 由可得3x+2m-n=0,由于3x+2m-n=0有唯一解,故方程組有唯一解,故兩直線相交,兩直線的斜率分別為-2,-,斜率之積不等于-1,故不垂直. 2.(2018·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)“a=-1”是“直線ax+3y+3=0和

47、直線x+(a-2)y+1=0平行”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選C 因為直線ax+3y+3=0和直線x+(a-2)y+1=0平行的充要條件是解得a=-1,故選C. 3.(2018·麗水調(diào)研)已知直線l1過點(-2,0)且傾斜角為30°,直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點坐標為(  ) A.(3,) B.(2,) C.(1,) D. 解析:選C 直線l1的斜率為k1=tan 30°=,因為直線l2與直線l1垂直,所以k2=-=-,所以直線l1的方程為y=(x+2),直線l2

48、的方程為y=-(x-2).兩式聯(lián)立,解得即直線l1與直線l2的交點坐標為(1,). 4.(2018·諸暨期初)已知點A(7,-4)關于直線l的對稱點為B(-5,6),則該對稱直線l的方程為(  ) A.6x+5y-1=0 B.5x+6y+1=0 C.5x-6y-1=0 D.6x-5y-1=0 解析:選D 由題可得,直線l是線段AB的垂直平分線.因為A(7,-4),B(-5,6),所以kAB==-,所以kl=.又因為A(7,-4),B(-5,6)的中點坐標為(1,1).所以直線l的方程為y-1=(x-1),即6x-5y-1=0. 5.若直線2x-y=-10,y=x+1,y=ax

49、-2交于一點,則a的值為________. 解析:由得 即直線2x-y=-10與y=x+1相交于點(-9,-8). 又因為直線2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一點, 所以-8=-9a-2,解得a=. 答案: 二保高考,全練題型做到高考達標 1.(2018·舟山調(diào)研)在直角坐標平面內(nèi),過定點P的直線l:ax+y-1=0與過定點Q的直線m:x-ay+3=0相交于點M,則|MP|2+|MQ|2的值為(  ) A. B. C.5 D.10 解析:選D 由題意知P(0,1),Q(-3,0), ∵過定點P的直線ax+y-1=0與過定點Q的直線x-ay+3=0垂直,

50、 ∴M位于以PQ為直徑的圓上, ∵|PQ|==, ∴|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10. 2.(2018·慈溪模擬)曲線y=2x-x3在x=-1處的切線為l,則點P(3,2)到直線l的距離為(  ) A. B. C. D. 解析:選A 由題可得,切點坐標為(-1,-1).y′=2-3x2,由導數(shù)的幾何意義可知,該切線的斜率為k=2-3=-1,所以切線的方程為x+y+2=0.所以點P(3,2)到直線l的距離為d==. 3.(2018·綿陽模擬)若P,Q分別為直線3x+4y-12=0與6x+8y+5=0上任意一點,則|PQ|的最小值為(  ) A. B. C.

51、 D. 解析:選C 因為=≠,所以兩直線平行, 由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離, 即=, 所以|PQ|的最小值為. 4.(2018·廈門模擬)將一張坐標紙折疊一次,使得點(0,2)與點(4,0)重合,點(7,3)與點(m,n)重合,則m+n等于(  ) A. B. C. D. 解析:選A 由題意可知,紙的折痕應是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線,即直線y=2x-3,它也是點(7,3)與點(m,n)連線的中垂線, 則解得故m+n=. 5.從點(2,3)射出的光線沿與向量a=(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上,則反射光線所在的直線方程為(  ) A

52、.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0 C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0 解析:選A 由直線與向量a=(8,4)平行知,過點(2,3)的直線的斜率k=,所以直線的方程為y-3=(x-2),其與y軸的交點坐標為(0,2),又點(2,3)關于y軸的對稱點為(-2,3),所以反射光線過點(-2,3)與(0,2),由兩點式可得反射光線所在的直線方程為x+2y-4=0. 6.(2018·余姚檢測)已知直線l過點P(3,4)且與點A(-2,2),B(4,-2)等距離,則直線l的方程為________. 解析:顯然直線l的斜率不存在時,不滿足題意; 設所求直線方程為y-4=k(x

53、-3), 即kx-y+4-3k=0, 由已知,得=, ∴k=2或k=-. ∴所求直線l的方程為2x-y-2=0或2x+3y-18=0. 答案:2x-y-2=0或2x+3y-18=0 7.如圖所示,已知兩點A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點,則光線所經(jīng)過的路程為________. 解析:易得AB所在的直線方程為x+y=4,由于點P關于直線AB對稱的點為A1(4,2),點P關于y軸對稱的點為A2(-2,0),則光線所經(jīng)過的路程即A1與A2兩點間的距離.于是|A1A2|==2. 答

54、案:2 8.(2018·紹興一中檢測)兩平行直線l1,l2分別過點P(-1,3),Q(2,-1),它們分別繞P,Q旋轉,但始終保持平行,則l1,l2之間的距離的取值范圍是________. 解析:∵l1∥l2,且P∈l1,Q∈l2,∴l(xiāng)1,l2間的最大距離為|PQ|==5,又l1與l2不重合,∴l(xiāng)1,l2之間距離的取值范圍是(0,5]. 答案:(0,5] 9.已知兩條直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求滿足下列條件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且直線l1過點(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐標原點到這兩條直線的距離相等. 解:(1)∵l1⊥l

55、2,∴a(a-1)-b=0.① 又∵直線l1過點(-3,-1),∴-3a+b+4=0.② 聯(lián)立①②解得a=2,b=2. (2)∵直線l2的斜率存在,l1∥l2, ∴直線l1的斜率存在. ∴k1=k2,即=1-a. 又∵坐標原點到這兩條直線的距離相等, ∴l(xiāng)1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù), 即=b. 故a=2,b=-2或a=,b=2. 10.已知△ABC的頂點A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0,求直線BC的方程. 解:依題意知:kAC=-2,A(5,1), ∴l(xiāng)AC的方程為2x+y-11=0,

56、 聯(lián)立得C(4,3). 設B(x0,y0),則AB的中點M, 代入2x-y-5=0, 得2x0-y0-1=0, 聯(lián)立得B(-1,-3),∴kBC=, ∴直線BC的方程為y-3=(x-4), 即6x-5y-9=0. 三上臺階,自主選做志在沖刺名校 1.已知線段AB的兩個端點A(0,-3),B(3,0),且直線y=2λx+λ+2與線段AB總相交,則實數(shù)λ的取值范圍為________. 解析:如圖所示,因為y=2λx+λ+2恒過定點C,連接AC,CB,所以直線AC的斜率kAC=-10,直線BC的斜率kBC=-. 又直線y=2λx+λ+2與線段AB總相交,所以kAC≤2λ≤kBC,

57、所以λ的取值范圍為. 答案: 2.已知直線l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及點P(3,4). (1)證明直線l過某定點,并求該定點的坐標. (2)當點P到直線l的距離最大時,求直線l的方程. 解:(1)證明:直線l的方程可化為 a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0, 由得 所以直線l恒過定點(-2,3). (2)由(1)知直線l恒過定點A(-2,3), 當直線l垂直于直線PA時,點P到直線l的距離最大. 又直線PA的斜率kPA==, 所以直線l的斜率kl=-5. 故直線l的方程為y-3=-5(x+2), 即5x+y+7=0. 第三節(jié)圓的方程

58、 1.圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡) 標準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圓心:(a,b),半徑:r 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0) 圓心:, 半徑: 2.點與圓的位置關系 點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系: (1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2. [小題體驗]

59、 1.若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為(  ) A.-1           B.1 C.3 D.-3 解析:選B 圓的方程可化為(x+1)2+(y-2)2=5, ∵直線經(jīng)過圓的圓心(-1,2), ∴3×(-1)+2+a=0,得a=1. 2.(2018·浙江五校聯(lián)考)若點(2a,a+1)在圓x2+(y-1)2=5的內(nèi)部,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-1,1) B.(0,1) C. D. 解析:選A 因為點在圓內(nèi),所以(2a)2+(a+1-1)2<5,解得-1

60、調(diào)研)若圓C與圓x2+y2+2x=0關于直線x+y-1=0對稱,則圓心C的坐標為________;圓C的一般方程是________. 解析:已知圓x2+y2+2x=0的圓心坐標是(-1,0)、半徑是1,設圓C的圓心(a,b),則有由此解得a=1,b=2,即圓心C的坐標為(1,2),因此圓C的方程是(x-1)2+(y-2)2=1,即x2+y2-2x-4y+4=0. 答案:(1,2) x2+y2-2x-4y+4=0 對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時易忽視D2+E2-4F>0這一成立條件. [小題糾偏] (2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+

61、4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標是________,半徑是________. 解析:由二元二次方程表示圓的條件可得a2=a+2,解得a=2或-1.當a=2時,方程為4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得2+(y+1)2=-<0,不表示圓; 當a=-1時,方程為x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,則圓心坐標為(-2,-4),半徑是5. 答案:(-2,-4) 5 [題組練透] 1.圓心在y軸上且經(jīng)過點(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是(  ) A.x2+y2+10y=0    B.x2+y2-1

62、0y=0 C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0 解析:選B 設圓心為(0,b),半徑為r,則r=|b|,所以圓的方程為x2+(y-b)2=b2. 因為點(3,1)在圓上,所以9+(1-b)2=b2,解得b=5.所以圓的方程為x2+y2-10y=0. 2.(2018·永康模擬)設a∈R,則“a>1”是“方程x2+2ax+y2+1=0的曲線是圓”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 因為方程是圓,所以可轉化為(x+a)2+y2=a2-1,即a2-1>0,解得a>1或a<-1.所以當“a>1”時,

63、有a2-1>0,得曲線方程是圓的方程;當曲線方程是圓的方程時,有a>1或a<-1,不一定得到a>1.所以是充分不必要條件. 3.(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為________________. 解析:因為圓C的圓心在x軸的正半軸上,設C(a,0),且a>0,所以圓心到直線2x-y=0的距離d==,解得a=2, 所以圓C的半徑r=|CM|==3, 所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9. 答案:(x-2)2+y2=9 4.(2018·湖北八校聯(lián)考)已知圓C關于y軸對稱,經(jīng)過點A(1,0),且

64、被x軸分成兩段弧,弧長之比為1:2,則圓C的標準方程為________. 解析:∵圓C關于y軸對稱,∴可設C(0,b), 設圓C的半徑為r,則圓C的標準方程為x2+(y-b)2=r2, 依題意,得解得 ∴圓C的標準方程為x2+2=. 答案:x2+2= [謹記通法] 1.求圓的方程的2種方法 (1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質,直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法: ①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關,則設圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件

65、列出關于D,E,F(xiàn)的方程組,進而求出D,E,F(xiàn)的值. 2.確定圓心位置的3種方法 (1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上. (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上. (3)兩圓相切時,切點與兩圓圓心共線. [提醒] 解答圓的有關問題時,應注意數(shù)形結合,充分運用圓的幾何性質. [鎖定考向] 與圓有關的最值問題是命題的熱點內(nèi)容,它著重考查數(shù)形結合與轉化思想. 常見的命題角度有: (1)斜率型最值問題; (2)截距型最值問題; (3)距離型最值問題.      [題點全練] 角度一:斜率型最值問題 1.已知點(x,y)在圓(x-2)2+(y+3)2=1上,求的最大值和

66、最小值. 解:可視為點(x,y)與原點連線的斜率,的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值,即直線與圓相切時的斜率. 設過原點的直線的方程為y=kx,由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑,即=1,解得k=-2+或k=-2-.∴的最大值為-2+,最小值為-2-. 角度二:截距型最值問題 2.已知點(x,y)在圓(x-2)2+(y+3)2=1上,求x+y的最大值和最小值. 解:設t=x+y,則y=-x+t,t可視為直線y=-x+t的在y軸上的截距, ∴x+y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值,即直線與圓相切時的在y軸上的截距. 由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑, 即=1,解得t=-1或t=--1. ∴x+y的最大值為-1,最小值為--1. 角度三:距離型最值問題 3.已知點(x,y)在圓(x-2)2+(y+3)2=1上,求的最大值和最小值. 解:=,求它的最值可視為求點(x,y)到定點(-1,2)的距離的最值,可轉化為圓心(2,-3)到定點(-1,2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(-

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