(全國(guó)版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1講 坐標(biāo)系學(xué)案

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1、 第1講 坐標(biāo)系 板塊一 知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1 坐標(biāo)變換 平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換φ:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換. 考點(diǎn)2 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo) 1.極坐標(biāo)系:在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,就建立了極坐標(biāo)系. 2.點(diǎn)的極坐標(biāo):對(duì)于極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的任一點(diǎn)M,若設(shè)|OM|=ρ(ρ≥0),以極軸Ox為始邊,射線O

2、M為終邊的角為θ,則點(diǎn)M可用有序數(shù)對(duì)(,θ)表示. 3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),射線Ox的正方向?yàn)闃O軸方向,取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),它的極坐標(biāo)為(ρ,θ),則相互轉(zhuǎn)化公式為 考點(diǎn)3 常用簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 [考點(diǎn)自測(cè)] 1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)點(diǎn)P在曲線C上,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)一定滿足曲線C的極坐標(biāo)方程.(  ) (2)tanθ=1與θ=表示同一條曲線(ρ≥0).(  ) (3)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-,),那么它的極坐標(biāo)可表示為.(  ) (4)過(guò)極

3、點(diǎn),作傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程可表示為θ=α或θ=π+α(ρ∈R).(  ) (5)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處,且過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2asinθ.(  ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2.[2018·開(kāi)封模擬]方程ρ=-2cosθ和ρ+=4sinθ的曲線的位置關(guān)系為(  ) A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切 答案 B 解析 方程ρ=-2cosθ化為直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=1,ρ+=4sinθ化為直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4,兩圓圓心距為=3=1+2,所以兩圓外切. 3.[2018·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考]在極坐標(biāo)

4、系中,直線ρ(cosθ-sinθ)=2與圓ρ=4sinθ的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 ρ(cosθ-sinθ)=2可化為直角坐標(biāo)方程x-y=2,即y=x-2. ρ=4sinθ可化為x2+y2=4y,把y=x-2代入x2+y2=4y,得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,所以x=,y=1.所以直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),化為極坐標(biāo)為.故選A. 4.[2018·株洲模擬]在極坐標(biāo)系中,直線ρsin(θ+)=2被圓ρ=4截得的弦長(zhǎng)為(  ) A.2 B.2 C.4 D.4 答案 D 解析 直線ρsin(θ+)=2可化為x

5、+y-2=0,圓ρ=4可化為x2+y2=16,由圓中的弦長(zhǎng)公式得2=2=4. 5.[2017·北京高考]在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在圓ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則|AP|的最小值為_(kāi)_______. 答案 1 解析 由ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得 x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1, 圓心坐標(biāo)為C(1,2),半徑長(zhǎng)為1. ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),∴點(diǎn)P在圓C外. 又∵點(diǎn)A在圓C上,∴|AP|min=|PC|-1=2-1=1. 6.[2017·天津高考]在極坐標(biāo)系中,直線4ρcos+1=0與圓ρ=2

6、sinθ的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 答案 2 解析 由4ρcos+1=0得2ρcosθ+2ρsinθ+1=0,故直線的直角坐標(biāo)方程為2x+2y+1=0. 由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ, 故圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y, 即x2+(y-1)2=1.圓心為(0,1),半徑為1. ∵圓心到直線2x+2y+1=0的距離d==<1,∴直線與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn). 板塊二 典例探究·考向突破 考向 平面直角坐標(biāo)系下圖形的變換 例 1 在平面直角坐標(biāo)系中,求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形. (1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1. 解 由伸縮變換

7、得到(*) (1)將(*)代入2x+3y=0,得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形方程是x′+y′=0. 因此,經(jīng)過(guò)伸縮變換后, 直線2x+3y=0變成直線x′+y′=0. (2)將(*)代入x2+y2=1,得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形的方程是+=1. 因此,經(jīng)過(guò)伸縮變換后,圓x2+y2=1變成橢圓+=1. 觸類旁通 平面直角坐標(biāo)系下圖形的變換技巧 平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來(lái)表示.在伸縮變換下,直線仍然變成直線,拋物線仍然變成拋物線,雙曲線仍然變成雙曲線,圓可以變成橢圓,橢圓也可以變成圓. 【變式訓(xùn)練1】 求橢圓+y2=1,經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線方程. 解 由得到① 將①代入+

8、y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1. 因此橢圓+y2=1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2+y2=1. 考向 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 例 2 [2017·全國(guó)卷Ⅱ]在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4. (1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. 解 (1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1

9、=. 由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0). 由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB的面積 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα· =2≤2+. 當(dāng)α=-時(shí),S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 觸類旁通 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化的方法 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,只需把公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化簡(jiǎn)即可;而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程要通過(guò)變形,構(gòu)造形如ρcosθ,ρs

10、inθ,ρ2的形式,進(jìn)行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí),方程必須保持同解,因此應(yīng)注意對(duì)變形過(guò)程的檢驗(yàn). 【變式訓(xùn)練2】 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為sinθ-ρcos2θ=0. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)寫(xiě)出直線l與曲線C交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo). 解 (1)∵sinθ-ρcos2θ=0,∴ρsinθ-ρ2cos2θ=0, 即y-x2=0. (2)將代入y-x2=0得, +t-2=0,即t=0, 從而,交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,), ∴交點(diǎn)的一個(gè)

11、極坐標(biāo)為. 考向 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用 例 3 [2016·全國(guó)卷Ⅱ]在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=,求l的斜率. 解 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcosθ+11=0. (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R). 設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標(biāo)方程 代入C的極坐標(biāo)方程,得ρ2+12ρcosα+11=0. 于是ρ

12、1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|==.由|AB|=,得cos2α=,tanα=±.所以l的斜率為或-. 觸類旁通 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用的類型及解題策略 (1)求極坐標(biāo)方程.可在平面直角坐標(biāo)系中,求出曲線方程,然后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程. (2)求點(diǎn)到直線的距離、線段的長(zhǎng)度.先將極坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線、曲線方程,然后利用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離、線段公式求解. 【變式訓(xùn)練3】 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極

13、坐標(biāo)系中,過(guò)極點(diǎn)O的射線與曲線C相交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A,且點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,θ),其中θ∈. (1)求θ的值; (2)若射線OA與直線l相交于點(diǎn)B,求|AB|的值. 解 (1)由題意知,曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4, ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲線C的極坐標(biāo)方程為(ρcosθ)2+(ρsinθ-2)2=4,即ρ=4sinθ. 由ρ=2,得sinθ=, ∵θ∈,∴θ=. (2)由題易知直線l的普通方程為x+y-4=0, ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ-4=0. 又射線OA的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ≥0), 聯(lián)立,得解得ρ=4. ∴點(diǎn)B的極坐

14、標(biāo)為, ∴|AB|=|ρB-ρA|=4-2=2. 核心規(guī)律 如何解決極坐標(biāo)問(wèn)題 (1)解決極坐標(biāo)系中的一些問(wèn)題時(shí),主要的思路是將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系下求解后,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo). (2)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的核心公式: ? (3)由極坐標(biāo)系上點(diǎn)的對(duì)稱性可得到極坐標(biāo)方程ρ=ρ(θ)的圖形的對(duì)稱性:若ρ(θ)=ρ(-θ),則相應(yīng)圖形關(guān)于極軸對(duì)稱;若ρ(θ)=ρ(π-θ),則圖形關(guān)于射線θ=所在的直線對(duì)稱;若ρ(θ)=ρ(π+θ),則圖形關(guān)于極點(diǎn)O對(duì)稱. 滿分策略 極坐標(biāo)應(yīng)用中的注意事項(xiàng) (1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件:①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合;②極軸與x軸正方

15、向重合;③取相同的長(zhǎng)度單位. (2)若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo),求極角θ時(shí),應(yīng)注意判斷點(diǎn)P所在的象限(即角θ的終邊的位置),以便正確地求出角θ.利用兩種坐標(biāo)的互化,可以把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題. (3)由極坐標(biāo)的意義可知平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))與極坐標(biāo)(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 板塊三 模擬演練·提能增分 [基礎(chǔ)能力達(dá)標(biāo)] 1.[2018·廣東珠海模擬]在極坐標(biāo)系中,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)-6.若以極點(diǎn)O為原點(diǎn),極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. (1)求圓C的參數(shù)方程;

16、 (2)在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y)是圓C上一動(dòng)點(diǎn),試求x+y的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo). 解 (1)因?yàn)棣?=4ρ(cosθ+sinθ)-6, 所以x2+y2=4x+4y-6, 所以x2+y2-4x-4y+6=0, 整理得(x-2)2+(y-2)2=2. 所以圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (2)由(1)可得x+y=4+(sinθ+cosθ) =4+2sin. 當(dāng)θ=,即點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3,3)時(shí),x+y取得最大值,其值為6. 2.[2018·寧波模擬]已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為

17、ρ=2sinθ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π). 解 (1)將消去參數(shù)t, 化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 將代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. (2)C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0. 由 解得或 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,. 3.[2018·南通模擬]在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).以O(shè)為

18、極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求圓C的普通方程; (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin=5,射線OM:θ=與圓C的交點(diǎn)為O,P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng). 解 (1)因?yàn)閳AC的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),所以圓心C的坐標(biāo)為(0,2),半徑為2,圓C的普通方程為x2+(y-2)2=4. (2)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+(y-2)2=4,得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ. 設(shè)P(ρ1,θ1),則由解得ρ1=2,θ1=. 設(shè)Q(ρ2,θ2),則由 解得ρ2=5,θ2=.所以|PQ|=3. 4.[2018·昆明模擬]將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的

19、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍,得曲線Γ. (1)寫(xiě)出Γ的參數(shù)方程; (2)設(shè)直線l:3x+2y-6=0與Γ的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程. 解 (1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點(diǎn),在已知變換下變?yōu)棣I系狞c(diǎn)(x,y),依題意,得即 由x+y=1,得2+2=1,即曲線Γ的方程為+=1. 故Γ的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (2)由解得或 不妨設(shè)P1(2,0),P2(0,3),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所求直線的斜率k=.于是所求直線方程為y-=(x-1),即4x-6y+5=0,化為極坐標(biāo)

20、方程,得4ρcosθ-6ρsinθ+5=0. 5.[2016·全國(guó)卷Ⅲ]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin=2. (1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo). 解 (1)由曲線C1:得即曲線C1的直角坐標(biāo)方程為+y2=1. 由曲線C2:ρsin=2,得ρ(sinθ+cosθ)=2,即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0. (2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cosα,sinα).因?yàn)镃2是直線,所以

21、|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值, d(α)==. 當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+(k∈Z)時(shí),d(α)取得最小值,最小值為,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為. 6.[2018·合肥模擬]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中φ為參數(shù)),曲線C2:x2+y2-2y=0,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線l:θ=α(ρ≥0)與曲線C1,C2分別交于點(diǎn)A,B(均異于原點(diǎn)O) . (1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)當(dāng)0<α<時(shí),求|OA|2+|OB|2的取值范圍. 解 (1)∵(φ為參數(shù)),∴+y2=1. 由得曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2=. ∵x2+y2-2y=0,∴曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ. (2)由(1)得|OA|2=ρ2=,|OB|2=ρ2=4sin2α, ∴|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4, ∵0<α<,∴1<1+sin2α<2,∴6<+4(1+sin2α)<9, ∴|OA|2+|OB|2的取值范圍為(2,5). 10

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