（全國版）2019版高考數學一輪復習 坐標系與參數方程 第1講 坐標系學案

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1、 第1講　坐標系 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　坐標變換 平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換． 考點2　極坐標與直角坐標 1．極坐標系：在平面內取一個定點O，叫做極點，自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，就建立了極坐標系． 2．點的極坐標：對于極坐標系所在平面內的任一點M，若設|OM|＝ρ(ρ≥0)，以極軸Ox為始邊，射線O

2、M為終邊的角為θ，則點M可用有序數對(，θ)表示． 3．極坐標與直角坐標的互化公式：在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，射線Ox的正方向為極軸方向，取相同的長度單位，建立極坐標系．設點P的直角坐標為(x，y)，它的極坐標為(ρ，θ)，則相互轉化公式為 考點3　常用簡單曲線的極坐標方程 [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)點P在曲線C上，則點P的極坐標一定滿足曲線C的極坐標方程．(　　) (2)tanθ＝1與θ＝表示同一條曲線(ρ≥0)．(　　) (3)點P的直角坐標為(－，)，那么它的極坐標可表示為.(　　) (4)過極

3、點，作傾斜角為α的直線的極坐標方程可表示為θ＝α或θ＝π＋α(ρ∈R)．(　　) (5)圓心在極軸上的點(a,0)處，且過極點O的圓的極坐標方程為ρ＝2asinθ.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．[2018·開封模擬]方程ρ＝－2cosθ和ρ＋＝4sinθ的曲線的位置關系為(　　) A．相離 B．外切 C．相交 D．內切 答案　B 解析　方程ρ＝－2cosθ化為直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝1，ρ＋＝4sinθ化為直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4，兩圓圓心距為＝3＝1＋2，所以兩圓外切． 3．[2018·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考]在極坐標

4、系中，直線ρ(cosθ－sinθ)＝2與圓ρ＝4sinθ的交點的極坐標為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　ρ(cosθ－sinθ)＝2可化為直角坐標方程x－y＝2，即y＝x－2. ρ＝4sinθ可化為x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.所以直線與圓的交點坐標為(，1)，化為極坐標為.故選A. 4．[2018·株洲模擬]在極坐標系中，直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長為(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　D 解析　直線ρsin(θ＋)＝2可化為x

5、＋y－2＝0，圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦長公式得2＝2＝4. 5．[2017·北京高考]在極坐標系中，點A在圓ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，點P的坐標為(1,0)，則|AP|的最小值為________． 答案　1 解析　由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圓心坐標為C(1,2)，半徑長為1. ∵點P的坐標為(1,0)，∴點P在圓C外． 又∵點A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1. 6．[2017·天津高考]在極坐標系中，直線4ρcos＋1＝0與圓ρ＝2

6、sinθ的公共點的個數為________． 答案　2 解析　由4ρcos＋1＝0得2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直線的直角坐標方程為2x＋2y＋1＝0. 由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ， 故圓的直角坐標方程為x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1.圓心為(0,1)，半徑為1. ∵圓心到直線2x＋2y＋1＝0的距離d＝＝＜1，∴直線與圓相交，有兩個公共點． 板塊二　典例探究·考向突破 考向　平面直角坐標系下圖形的變換 例　1　在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經過伸縮變換后的圖形． (1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1. 解　由伸縮變換

7、得到(*) (1)將(*)代入2x＋3y＝0，得到經過伸縮變換后的圖形方程是x′＋y′＝0. 因此，經過伸縮變換后， 直線2x＋3y＝0變成直線x′＋y′＝0. (2)將(*)代入x2＋y2＝1，得到經過伸縮變換后的圖形的方程是＋＝1. 因此，經過伸縮變換后，圓x2＋y2＝1變成橢圓＋＝1. 觸類旁通 平面直角坐標系下圖形的變換技巧 平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換來表示．在伸縮變換下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓． 【變式訓練1】　求橢圓＋y2＝1，經過伸縮變換后的曲線方程． 解　由得到① 將①代入＋

8、y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1. 因此橢圓＋y2＝1經伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1. 考向　極坐標與直角坐標的互化 例　2　[2017·全國卷Ⅱ]在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解　(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1

9、＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα· ＝2≤2＋. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 觸類旁通 直角坐標方程與極坐標方程互化的方法 直角坐標方程化為極坐標方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構造形如ρcosθ，ρs

10、inθ，ρ2的形式，進行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應注意對變形過程的檢驗． 【變式訓練2】　已知直線l的參數方程為(t為參數)．在以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的方程為sinθ－ρcos2θ＝0. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)寫出直線l與曲線C交點的一個極坐標． 解　(1)∵sinθ－ρcos2θ＝0，∴ρsinθ－ρ2cos2θ＝0， 即y－x2＝0. (2)將代入y－x2＝0得， ＋t－2＝0，即t＝0， 從而，交點坐標為(1，)， ∴交點的一個

11、極坐標為. 考向　極坐標方程及其應用 例　3　[2016·全國卷Ⅱ]在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數方程是(t為參數)，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcosθ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程 代入C的極坐標方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0. 于是ρ

12、1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝，得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率為或－. 觸類旁通 極坐標方程及其應用的類型及解題策略 (1)求極坐標方程．可在平面直角坐標系中，求出曲線方程，然后再轉化為極坐標方程． (2)求點到直線的距離、線段的長度．先將極坐標系下點的坐標、直線、曲線方程轉化為平面直角坐標系下點的坐標、直線、曲線方程，然后利用直角坐標系中點到直線的距離、線段公式求解． 【變式訓練3】　在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(α為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極

13、坐標系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值． 解　(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲線C的極坐標方程為(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，即ρ＝4sinθ. 由ρ＝2，得sinθ＝， ∵θ∈，∴θ＝. (2)由題易知直線l的普通方程為x＋y－4＝0， ∴直線l的極坐標方程為ρcosθ＋ρsinθ－4＝0. 又射線OA的極坐標方程為θ＝(ρ≥0)， 聯(lián)立，得解得ρ＝4. ∴點B的極坐

14、標為， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2. 核心規(guī)律 如何解決極坐標問題 (1)解決極坐標系中的一些問題時，主要的思路是將極坐標化為直角坐標，在直角坐標系下求解后，再轉化為極坐標． (2)極坐標方程與直角坐標方程互化的核心公式： ? (3)由極坐標系上點的對稱性可得到極坐標方程ρ＝ρ(θ)的圖形的對稱性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，則相應圖形關于極軸對稱；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，則圖形關于射線θ＝所在的直線對稱；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，則圖形關于極點O對稱． 滿分策略 極坐標應用中的注意事項 (1)極坐標與直角坐標互化的前提條件：①極點與原點重合；②極軸與x軸正方

15、向重合；③取相同的長度單位． (2)若把直角坐標化為極坐標，求極角θ時，應注意判斷點P所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ.利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題． (3)由極坐標的意義可知平面上點的極坐標不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的點(除去極點)與極坐標(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對應關系. 板塊三　模擬演練·提能增分 [基礎能力達標] 1．[2018·廣東珠海模擬]在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以極點O為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系． (1)求圓C的參數方程；

16、 (2)在直角坐標系中，點P(x，y)是圓C上一動點，試求x＋y的最大值，并求出此時點P的直角坐標． 解　(1)因為ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6， 所以x2＋y2＝4x＋4y－6， 所以x2＋y2－4x－4y＋6＝0， 整理得(x－2)2＋(y－2)2＝2. 所以圓C的參數方程為(θ為參數)． (2)由(1)可得x＋y＝4＋(sinθ＋cosθ) ＝4＋2sin. 當θ＝，即點P的直角坐標為(3,3)時，x＋y取得最大值，其值為6. 2．[2018·寧波模擬]已知曲線C1的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為

17、ρ＝2sinθ. (1)把C1的參數方程化為極坐標方程； (2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)． 解　(1)將消去參數t， 化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. 所以C1的極坐標方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. (2)C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0. 由 解得或 所以C1與C2交點的極坐標分別為，. 3．[2018·南通模擬]在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(φ為參數)．以O為

18、極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系． (1)求圓C的普通方程； (2)直線l的極坐標方程是2ρsin＝5，射線OM：θ＝與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長． 解　(1)因為圓C的參數方程為(φ為參數)，所以圓心C的坐標為(0,2)，半徑為2，圓C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4. (2)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，得圓C的極坐標方程為ρ＝4sinθ. 設P(ρ1，θ1)，則由解得ρ1＝2，θ1＝. 設Q(ρ2，θ2)，則由 解得ρ2＝5，θ2＝.所以|PQ|＝3. 4．[2018·昆明模擬]將圓x2＋y2＝1上每一點的

19、橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線Γ. (1)寫出Γ的參數方程； (2)設直線l：3x＋2y－6＝0與Γ的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程． 解　(1)設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)棣Ｉ系狞c(x，y)，依題意，得即 由x＋y＝1，得2＋2＝1，即曲線Γ的方程為＋＝1. 故Γ的參數方程為(t為參數)． (2)由解得或 不妨設P1(2,0)，P2(0,3)，則線段P1P2的中點坐標為，所求直線的斜率k＝.于是所求直線方程為y－＝(x－1)，即4x－6y＋5＝0，化為極坐標

20、方程，得4ρcosθ－6ρsinθ＋5＝0. 5．[2016·全國卷Ⅲ]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標． 解　(1)由曲線C1：得即曲線C1的直角坐標方程為＋y2＝1. 由曲線C2：ρsin＝2，得ρ(sinθ＋cosθ)＝2，即曲線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cosα，sinα)．因為C2是直線，所以

21、|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝. 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為. 6．[2018·合肥模擬]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(其中φ為參數)，曲線C2：x2＋y2－2y＝0，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l：θ＝α(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于點A，B(均異于原點O) . (1)求曲線C1，C2的極坐標方程； (2)當0<α<時，求|OA|2＋|OB|2的取值范圍． 解　(1)∵(φ為參數)，∴＋y2＝1. 由得曲線C1的極坐標方程為ρ2＝. ∵x2＋y2－2y＝0，∴曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ. (2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α， ∴|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4， ∵0<α<，∴1<1＋sin2α<2，∴6<＋4(1＋sin2α)<9， ∴|OA|2＋|OB|2的取值范圍為(2,5)． 10