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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二編 專題八 選修4系列 第1講 坐標系與參數(shù)方程配套作業(yè) 文
1.(2018·安徽模擬)將圓x2+y2=1上每一點的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,得曲線C.
(1)寫出C的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線l:3x+y+1=0與C的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.
解 (1)由坐標變換公式得x=3x′,y=y(tǒng)′代入x2+y2=1中得9x′2+y′2=1,
故曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
(2)由題知,P1,P2(0,-1),
P1P2線段中點M,
kP1P2=-3,故P
2、1P2線段中垂線的方程為
y+=
即3x-9y-4=0,則極坐標方程為
3ρcosθ-9ρsinθ-4=0.
2.(2018·廣東模擬)以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程是2ρsin=5,射線OM:θ=,在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).
(1)求圓C的普通方程及極坐標方程;
(2)射線OM與圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.
解 (1)由圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù))知,圓C的圓心為(0,2),半徑為2,
圓C的普通方程為x2+(y-2)2=4,
將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+(y-2)2=4,
3、得圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ.
(2)設(shè)P(ρ1,θ1),則由
解得ρ1=2,θ1=.
設(shè)Q(ρ2,θ2),則由
解得ρ2=5,θ2=,
所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=3.
3.在平面直角坐標系xOy中,傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρcos2θ-4sinθ=0.
(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)已知點P(1,0).若點M的極坐標為,直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于A,B兩點,設(shè)線段AB的中點為Q,求|PQ|的值.
解 (1)∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),
4、
∴直線l的普通方程為y=tanα·(x-1).
由ρcos2θ-4sinθ=0得ρ2cos2θ-4ρsinθ=0,
即x2-4y=0.
∴曲線C的直角坐標方程為x2=4y.
(2)∵點M的極坐標為,
∴點M的直角坐標為(0,1).
∴tanα=-1,直線l的傾斜角α=.
∴直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
代入x2=4y,得t2-6t+2=0.
設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.
∵Q為線段AB的中點,
∴點Q對應(yīng)的參數(shù)值為==3.
又點P(1,0),則|PQ|==3.
4.(2018·福建模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以
5、O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2是圓心為,半徑為1的圓.
(1)求曲線C1的普通方程,C2的直角坐標方程;
(2)設(shè)M為曲線C1上的點,N為曲線C2上的點,求|MN|的取值范圍.
解 (1)由得
①2+②2得+y2=1.
所以曲線C1的普通方程為+y2=1.
C2,設(shè)C2(x,y),則x=3cos=0,
y=3sin=3,故C2(0,3),且r=1,則圓C2的直角坐標方程為x2+(y-3)2=1.
(2)設(shè)M(2cosφ,sinφ),則
|MC2|=
=.
當(dāng)sinφ=1時,|MC2|min=2,
當(dāng)sinφ=-1時,|MC2|max=4,
故|MN
6、|min=2-1=1,|MN|max=4+1=5.
所以|MN|的取值范圍是[1,5].
5.(2018·武漢模擬)在直角坐標系xOy中,已知圓C:(θ為參數(shù)),點P在直線l:x+y-4=0上,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求圓C和直線l的極坐標方程;
(2)射線OP交圓C于R,點Q在射線OP上,且滿足|OP|2=|OR|·|OQ|,求Q點軌跡的極坐標方程.
解 (1)圓C的極坐標方程ρ=2,直線l的極坐標方程為ρ=.
(2)設(shè)P,Q,R的極坐標分別為(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),
因為ρ1=,ρ2=2,
又因為|OP|2=|OR|·|O
7、Q|,即ρ=ρ·ρ2,
所以ρ==×,
所以Q點軌跡的極坐標方程為ρ=.
6.(2018·銀川模擬)以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線l的極坐標方程為ρsin=2,將圓x2+y2+4x+3=0向右平移兩個單位長度,再把所得曲線上每一點的縱坐標保持不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€C.
(1)求直線l的直角坐標方程及曲線C的參數(shù)方程;
(2)若A,B分別為曲線C及直線l上的動點,求|AB|的最小值.
解 (1)由ρsin=2得
ρsinθ+ρcosθ=2,
∴ρsinθ+ρcosθ=4,即x+y-4=0,
∵x2+y2+4x+3=0即(x+2)2+y2=
8、1,
向右平移兩個單位長度,即x2+y2=1,
橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€C:+y2=1.
故曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).
(2)由(1)知曲線C上的點(cosα,sinα),
到直線l:x+y-4=0的距離
d==,
∴當(dāng)α=時,|AB|的最小值為.
7.(2018·陜西質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(t>0,α為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρsin=3.
(1)當(dāng)t=1時,求曲線C上的點到直線l的距離的最大值;
(2)若曲線C上的所有點都在直線l的下方,求實數(shù)t的取值范圍.
解 (1)由ρ
9、sin=3得ρsinθ+ρcosθ=3,
把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得直線l的直角坐標方程為x+y-3=0,
當(dāng)t=1時,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),
消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2+y2=1,
∴曲線C為圓,且圓心為O,則點O到直線l的距離
d==,
∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1+.
(2)∵曲線C上的所有點均在直線l的下方,
∴對任意的α∈R,tcosα+sinα-3<0恒成立,
即cos(α-φ)<3恒成立,
∴<3,又t>0,∴0
10、1),曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,點A的極坐標為,直線l的極坐標方程為ρcos=a,且l過點A;過點B與直線l平行的直線為l1,l1與曲線C相交于兩點M,N.
(1)求曲線C上的點到直線l距離的最小值;
(2)求|MN|的值.
解 (1)∵A在l上,
∴4cos=a,即a=4,
∴直線l的極坐標方程為ρcos=4.
∴ρcosθ+ρsinθ=4.
即x+y-8=0.
設(shè)曲線C上一點P(2cosθ,sinθ),
則d==,
當(dāng)sin(θ+φ)=1時,dmin==.
(2)∵l1∥l,∴k1=k=-1,
設(shè)l1的傾斜角為α,則tanα=-1,∴α=,
∴l(xiāng)1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),
曲線C的普通方程為+=1.
∴32+42=12,
即7t2+2t-10=0,
∴t1+t2=-,t1·t2=-,
∴|MN|=|t1-t2|==.