2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 數(shù)列 專(zhuān)題跟蹤訓(xùn)練18 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 數(shù)列 專(zhuān)題跟蹤訓(xùn)練18 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理 一、選擇題 1.(2018·長(zhǎng)郡中學(xué)摸底)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4+a12-a8=8,a10-a6=4,則S23=(  ) A.23 B.96 C.224 D.276 [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意得a4+a12-a8=2a8-a8=a8=8,a10-a6=4d=4,解得d=1,所以a8=a1+7d=a1+7=8,解得a1=1,所以S23=23×1+×1=276,選D. [答案] D 2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1+1,a3+4,a5+7成等差數(shù)列,則

2、公差d為(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 設(shè){an}的公比為q,由題意得2(a3+4)=a1+1+a5+7?2a3=a1+a5?2q2=1+q4?q2=1,即a1=a3,d=a3+4-(a1+1)=4-1=3,選B. [答案] B 3.等比數(shù)列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,則a9+a11+a13+a15的值為(  ) A.1 B.2 C.3 D.5 [解析] 因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以a5+a7是a1+a3與a9+a11的等比中項(xiàng), 所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11), 故a9+a11===2; 同理,a9+

3、a11是a5+a7與a13+a15的等比中項(xiàng), 所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3. [答案] C 4.已知等比數(shù)列{an}中a2=1,則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪[1,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) [解析] 因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中a2=1, 所以S3=a1+a2+a3=a2=1+q+. 當(dāng)公比q>0時(shí),S3=1+q+≥1+2=3; 當(dāng)公比q<0時(shí),S3=1-≤1-2=-1, 所以S3∈(-∞,

4、-1]∪[3,+∞).故選D. [答案] D 5.(2018·江西七校聯(lián)考)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若=(n∈N*),則=(  ) A.16 B. C. D. [解析] 令Sn=38n2+14n,Tn=2n2+n,∴a6=S6-S5=38×62+14×6-(38×52+14×5)=38×11+14;b7=T7-T6=2×72+7-(2×62+6)=2×13+1,∴===16.故選A. [答案] A 6.(2018·河南鄭州二中期末)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比數(shù)列,若a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,則(n

5、∈N*)的最小值為(  ) A.4 B.3 C.2-2 D. [解析] ∵a1=1,a1、a3、a13成等比數(shù)列, ∴(1+2d)2=1+12d.得d=2或d=0(舍去) ∴an=2n-1, ∴Sn==n2, ∴=.令t=n+1, 則=t+-2≥6-2=4當(dāng)且僅當(dāng)t=3, 即n=2時(shí)等號(hào)成立,∴的最小值為4.故選A. [答案] A 二、填空題 7.(2018·福建四地六校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}中,a3=,則cos(a1+a2+a6)=________. [解析] ∵在等差數(shù)列{an}中,a1+a2+a6=a2+a3+a4=3a3=π,∴cos(a1+a2+a6

6、)=cosπ=-. [答案] - 8.(2018·山西四校聯(lián)考)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且=5,則=________. [解析] 解法一:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由已知得=1+=5,即1+q2=5, 所以q2=4,=1+=1+q4=1+16=17. 解法二:由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比數(shù)列,若設(shè)S2=a,則S4=5a, 由(S4-S2)2=S2·(S6-S4)得S6=21a,同理得S8=85a, 所以==17. [答案] 17 9.已知數(shù)列{xn}各項(xiàng)均為正整數(shù),且滿足xn+1=n∈N*.若x3+x4=3,則x1所有可能取

7、值的集合為_(kāi)_______. [解析] 由題意得x3=1,x4=2或x3=2,x4=1. 當(dāng)x3=1時(shí),x2=2,從而x1=1或4; 當(dāng)x3=2時(shí),x2=1或4, 因此當(dāng)x2=1時(shí),x1=2,當(dāng)x2=4時(shí),x1=8或3. 綜上,x1所有可能取值的集合為{1,2,3,4,8}. [答案] {1,2,3,4,8} 三、解答題 10.(2018·沈陽(yáng)市高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,滿足a1=2,a4=8,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足b2=4,b5=32. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解] (1)設(shè)等

8、差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d==2, 所以an=a1+(n-1)·d=2+(n-1)×2=2n. 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意得q3==8,解得q=2. 因?yàn)閎1==2,所以bn=b1·qn-1=2×2n-1=2n. (2)由(1)可得,Sn=+=n2+n+2n+1-2. 11.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. [解] (1)設(shè){an}的公差為d,由題意得 3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n

9、-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16. 12.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù). (1)對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列; (2)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論. [解] (1)證明:假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使{an}是等比數(shù)列,則有a=a1a3,即2=λ,故λ2-4λ+9=λ2-4λ,即9=0,這與事實(shí)相矛盾.所以對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,數(shù)列{an}都不是等比數(shù)列. (2)因?yàn)閎n+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1·=-(-1)n(an-3n+21)=-bn,b1=-(λ+18),所以當(dāng)λ=-18時(shí),b1=0(n∈N*),此時(shí){bn}不是等比數(shù)列; 當(dāng)λ≠-18時(shí),b1=-(λ+18)≠0, 則bn≠0,所以=-(n∈N*). 故當(dāng)λ≠-18時(shí),數(shù)列{bn}是以-(λ+18)為首項(xiàng),-為公比的等比數(shù)列.

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