2022年高一數(shù)學 增效減負 正弦定理教學案

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1、2022年高一數(shù)學 增效減負 正弦定理教學案 一、設(shè)計思想： 定理教學中有一種簡陋的處理方式：簡單直接的定理呈現(xiàn)、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復制例題”式的應用練習。本課采用實驗探究、自主學習、合作交流的研究性學習方式，重點放在定理的形成、證明的探究及定理基本應用上，努力挖掘定理教學中蘊涵的思維價值。從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題，最后把所學知識應用于實際問題。 二、教學目標： 讓學生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā),通過對特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導學生通過觀察，猜想，比較，推導正弦定理，由此培養(yǎng)學生

2、合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思考能力；培養(yǎng)學生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識，同時通過三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識間的聯(lián)系來幫助學生初步樹立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點。 三、教學重點與難點： 本節(jié)課的重點是正弦定理的探索、證明及其基本應用；難點是正弦定理應用中“已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，判斷解的個數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。 四、教學過程設(shè)計： A B C （一）創(chuàng)設(shè)情境: 如圖，現(xiàn)在河岸兩側(cè)A，B兩點間建一座 橋，需要知道A，B間的距離．由于環(huán)境因素不能直接測量A，B間的距離．你有辦法間接測量A，B兩點間的距離嗎？ 引出：解三角形——已

3、知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程。 [設(shè)計意圖：從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題。] 師：解三角形，需要用到許多三角形的知識，你對三角形中的邊角知識知多少？ 生：······，“大角對大邊，大邊對大角” 師：“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？ 引出課題：“正弦定理 [設(shè)計意圖：從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。] （二）猜想、實驗： 1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形

4、中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？ [學情預設(shè)：此處，學生根據(jù)已有知識“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，可能出現(xiàn)以 下答案情形。如 a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，······等等。] [設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學能力] 2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出a\sinA=b\sinB=c\sinC。 3、實驗驗證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是否成立呢？ 請學生以量角器、刻度尺、

5、計算器為工具，對一般三角形的上述關(guān)系式進行驗證，教師用幾何畫板演示。在此基礎(chǔ)上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有a\sinA=b\sinB=c\sinC。 [設(shè)計意圖：著重培養(yǎng)學生對問題的探究意識和動手實踐能力] （三）證明探究： 對此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學需要理性思維。如何通過嚴格的數(shù)學推理，證明正弦定理呢？ 1、 特殊入手，探究證明 ： 在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。在RtABC中，設(shè)BC=a,A

6、C=b,AB=c,， 根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有，，又, 則 ，從而在直角三角形ABC中，。 2、推廣拓展，探究證明 ： 問題2：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示 “a與、 b與sinB”的關(guān)系呢？ 探究1：能否構(gòu)造直角三角形，將問題化歸為已知問題？ [學情預設(shè)：此處，學生可能出現(xiàn)以下答案情形。學生對直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過以下三種方法構(gòu)造直角三角形。 生1：如圖1，過 C作BC邊上的線CD，交BA的延長線于D，得到直角三角形DBC。 生2：如圖2，過A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個直角三角形問題。 生3：如圖3，分別過B、C作AB、

7、AC邊上的垂線，交于D，連接AD，也得到兩個直角三角形······] 經(jīng)過師生討論指出：方法2，簡單明了，容易得到“c與、 b與sinB”的關(guān)系式。 [知識鏈接：根據(jù)化歸——這一解決數(shù)學問題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問題是自然不過的。而方法3將把問題延伸到四點共圓，深究下去，可得=2R，對此，可留做課后思考解決] 圖1 圖2 _ c _ b _ a _ a _ C ( bcosA , bsinA ) _ D ( acos

8、( - B ) , asin ( - B )) _ B ( c , 0 ) 圖3 圖4 探究2：能否引入向量，歸結(jié)為向量運算？ （1）圖2中蘊涵哪些向量關(guān)系式？ 學生探究，師生、生生之間交流討論，得（這三個式子本質(zhì)上是相同的）, 等, （2）如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系？(施以什么運算?) 生：施以數(shù)量積運算 （3）可取與哪些向量的數(shù)量積運算？ [學情預設(shè)：此處，學生可能會做如下種種嘗試，如兩邊自乘平方、兩邊同時點乘向量（或

9、），均無法如愿。此時引導學生兩邊同時點乘向量,并說出理由：數(shù)量積運算產(chǎn)生余弦，垂直則實現(xiàn)了余弦與正弦的轉(zhuǎn)換。] [知識鏈接：過渡教材中，證明方法所引用的單位向量就是與向量 共線的單位向量。過去，學生常對此感到費解，經(jīng)如此鋪墊方顯自然] 探究3：能否引入向量的坐標形式，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算？ （1）如圖4，建立直角坐標系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA), （2）向量的坐標=？ （bcosA-c，bsinA） （3）哪一點的坐標與向量的坐標相同？由三角函數(shù)的定義，該點的坐標又為多少？ 根據(jù)平行四邊形法則，D（），從而建立等量關(guān)系：bcosA

10、－c= bsinA= , 整理，得c= bcosA+ acosB（這其實是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。 [知識鏈接：向量，融數(shù)與形于一體，是重要的數(shù)學工具，我們可以通過向量的運算來描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如角與距離等），這里學生已經(jīng)學過向量，可根據(jù)學生素質(zhì)情況決定是否采用探究2與3] 問題3：鈍角三角形中如何推導正弦定理？（留做課后作業(yè)） （四）理解定理、基本應用： 1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 問題4、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？ （1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對角的正弦嚴格對應，成

11、正比例，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美。 （2）從方程的觀點看：每個方程含有四個量，知三求一。 從而知正弦定理的基本作用為： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。 2、例題分析 例1．在中，已知，，cm，解三角形。 評述：定理的直接應用，對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。 例2．在中，已知，解三角形 評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。 課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個三角形能唯一確定嗎？為什么？ 3、課堂練習： （1）、引題（問題1） （2）、在△ABC中

12、，sinA＞sinB是A＞B的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [設(shè)計意圖：設(shè)計二個課堂練習，練習（1）目的是首尾呼應、學以致用；練習（2）則是將正弦定理、簡易邏輯與平面幾何知識整合，及時鞏固定理，運用定理。] （五）課堂小結(jié)： 問題5：請同學們用一句話表述學習本課的收獲和感受。 生1：原來我只會解直角三角形，現(xiàn)在我會解一般三角形了 師：通過本課學習，你發(fā)現(xiàn)自己更強大了。 生2：原來我以為正弦定理的證明，只有書上一種方法，今天我們學到了課本以外的眾多方法。 師：我們學習過兩個重要數(shù)學工具

13、，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。 生3：公式很美。 師：美在哪里？ 生3：體現(xiàn)了公式的對稱美，和諧美······ 在同學們的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)： 1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運算角度探求了數(shù)學工具的多樣性。 2、正弦定理反映了邊與其對角正弦成正比的規(guī)律,據(jù)此，可以用角的正弦替代對邊，具有美學價值 3、利用正弦定理解決三類三角形問題： （1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。 （2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊 的對角，

14、進而求出其他的邊和角。 （3）實現(xiàn)邊與角的正弦的互化。 [設(shè)計意圖：通常，課堂小結(jié)均由老師和盤托出，學生接受現(xiàn)成的結(jié)論。本設(shè)計充分發(fā)揮學生思維參與的主動性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結(jié)成為點睛之筆。] （六）分層作業(yè)： 1、書面作業(yè)：課時訓練對應內(nèi)容 2、研究類作業(yè)： 1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。 2）在△ABC中，，研究k的幾何意義 3）已知三角形的兩邊一角，這個三角形能唯一確定嗎？ [設(shè)計意圖：對問題3），根據(jù)分散難點，循序漸進原則，在例2中初步涉及，在課后讓學生先行思考，在“正、余弦定理”第三課時中予以下圖的剖析闡述。] b a b a b a b a a 已知邊阿a a,b 和 A 僅有一個解 有兩個解 僅有一個解 無解解 a ? b CH = bsinA