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1、第二章 第四節(jié) 函數(shù)的奇偶性
題組一
函數(shù)的奇偶性的判定
1.y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，那么以下函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
解析：由奇函數(shù)的定義驗(yàn)證可知②④正確，選D.
答案：D
2.(2021·長(zhǎng)郡模擬)二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋4，假設(shè)f(x＋1)是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為( )
A.－1 B.1 C.－2 D.
2、2
解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4
＝x2＋2x＋1－ax－a＋4
＝x2＋(2－a)x＋5－a，
f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4
＝x2－2x＋1－a＋ax＋4
＝x2＋(a－2)x＋5－a.
∵f(x＋1)是偶函數(shù)，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，
∴a－2＝2－a，即a＝2.
答案：D
3.(2021·浙江高考)假設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋(a∈R)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 ( )
A.?a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函數(shù)
B.?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上
3、是減函數(shù)
C.?a∈R，f(x)是偶函數(shù)
D.?a∈R，f(x)是奇函數(shù)
解析：當(dāng)a＝16時(shí)，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－，
令f′(x)＞0得x＞2.
∴f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)，故A、B錯(cuò).
當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2是偶函數(shù)，故C正確.
D顯然錯(cuò)誤，應(yīng)選C.
答案：C
題組二
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
4.函數(shù)f (x)＝ax4＋bcosx－x，且f (－3)＝7，那么f (3)的值為 ( )
A.1 B.－7 C.4 D.－10
解析：設(shè)g(x)＝ax4＋bcosx，那么g(
4、x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1.
答案：A
5.f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝2x2，那么f(7)＝( )
A.－2 B.2 C.－98 D.98
解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，
又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)，
f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.應(yīng)選A.
答案：A
6.設(shè)函數(shù)f(x)(
5、x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，那么f(5)＝ ( )
A.0 B.1 C. D.5
解析：由f(1)＝，
對(duì)f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，
令x＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(2).
又∵f(x) 為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1).
于是f(2)＝2f(1)＝1；
令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，
于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.
答案：C
7.函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f()＞0＞f(－
6、)，那么方程f(x)＝0的根的個(gè)數(shù)為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：由于函數(shù)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此在(－∞，0)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒()＞0＞f(－)＝f()，所以函數(shù)f(x)在(，)上與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，必在(－，－)上也有一個(gè)交點(diǎn)，故方程f(x)＝0的根的個(gè)數(shù)為2.
答案：C
8.(2021·濱州模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝2021x＋log2021x，那么方程f(x)＝0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為 .
解析：當(dāng)x＞0時(shí)
7、，f(x)＝0即2021x＝－log2021x，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)f1(x)＝2021x，f2(x)＝－log2021x的圖象(圖略)，可知兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝0只有一個(gè)實(shí)根，又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x＜0時(shí)，方程f(x)＝0也有一個(gè)實(shí)根，又因?yàn)閒(0)＝0，所以方程f(x)＝0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為3.
答案：3
題組三
函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題
9.定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，那么( )
A.f(3)＜f(－2)＜f(1) B.f(1)＜f(－2)＜f(
8、3)
C.f(－2)＜f(1)＜f(3) D.f(3)＜f(1)＜f(－2)
解析：由＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(3)＜f(－2)＜f(1)，應(yīng)選A.此類題能用數(shù)形結(jié)合更好.
答案：A
10.(2021·福建高考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)的局部圖象如右圖所示，
那么在(－2,0)上，以下函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性不同的是 ( )
A.y＝x2＋1
B.y＝|x|＋1
C.y＝
D.y＝
解析：∵f(x)為偶函數(shù)，由圖象知，
f(x)在(－2,0)上為減函數(shù)，
而y＝x3＋1在(－∞，0)上為增函數(shù)
9、，應(yīng)選C.
答案：C
11.(2021·山東高考)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2] 上是增函數(shù).假設(shè)方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4， 那么x1＋x2＋x3＋x4＝ .
解析：由f(x－4)＝－f(x)?f(4－x)＝f(x)，
故函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，
又函數(shù)f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，
故f(0)＝0，故函數(shù)f(x)在(0,2]上大于0，
根據(jù)對(duì)稱性知函數(shù)f(x)在[2,4)上大于0，
同理推知函數(shù)f(x)在(4,8)上小于0，故在區(qū)間(
10、0,8)上方程f(x)＝m(m＞0)的兩根關(guān)于 直線x＝2對(duì)稱，
故此兩根之和等于4，
根據(jù)f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
函數(shù)f(x)以8為周期，
故在區(qū)間(－8,0)上方程f(x)＝m(m＞0)的兩根關(guān)于直線x＝－6對(duì)稱，此兩根之和等 于－12，
綜上四個(gè)根之和等于－8.
答案：－8
12.(文)函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值；
(2)假設(shè)函數(shù)f(x)的區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：(1)設(shè)x<0，那么－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(
11、x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，
結(jié)合f(x)的圖象知
所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].
(理)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù).
(1)求a、b的值；
(2)假設(shè)對(duì)任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍.
解：(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，從而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2.
故a＝2，b＝1.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù).
又因f(x)是奇函數(shù)，
從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
等價(jià)于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).
因f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，
即對(duì)一切t∈R有3t2－2t－k>0.
從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
第四節(jié)函數(shù)的奇偶性 課下作業(yè)
