第四節(jié)函數(shù)的奇偶性 課下作業(yè)

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1、第二章 第四節(jié) 函數(shù)的奇偶性 題組一 函數(shù)的奇偶性的判定 1.y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，那么以下函數(shù)中為奇函數(shù)的是 (　　) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x. A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 解析：由奇函數(shù)的定義驗證可知②④正確，選D. 答案：D 2.(2021·長郡模擬)二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋4，假設f(x＋1)是偶函數(shù)，那么實數(shù)a的值為(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.

2、2 解析：∵f(x)＝x2－ax＋4， ∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4 ＝x2＋2x＋1－ax－a＋4 ＝x2＋(2－a)x＋5－a， f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4 ＝x2－2x＋1－a＋ax＋4 ＝x2＋(a－2)x＋5－a. ∵f(x＋1)是偶函數(shù)， ∴f(x＋1)＝f(－x＋1)， ∴a－2＝2－a，即a＝2. 答案：D 3.(2021·浙江高考)假設函數(shù)f(x)＝x2＋(a∈R)，那么以下結(jié)論正確的選項是 (　　) A.?a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函數(shù) B.?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上

3、是減函數(shù) C.?a∈R，f(x)是偶函數(shù) D.?a∈R，f(x)是奇函數(shù) 解析：當a＝16時，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－， 令f′(x)＞0得x＞2. ∴f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)，故A、B錯. 當a＝0時，f(x)＝x2是偶函數(shù)，故C正確. D顯然錯誤，應選C. 答案：C 題組二 函數(shù)奇偶性的應用 4.函數(shù)f (x)＝ax4＋bcosx－x，且f (－3)＝7，那么f (3)的值為 (　　) A.1 B.－7 C.4 D.－10 解析：設g(x)＝ax4＋bcosx，那么g(

4、x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1. 答案：A 5.f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，那么f(7)＝(　　) A.－2 B.2 C.－98 D.98 解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)， 又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)， f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.應選A. 答案：A 6.設函數(shù)f(x)(

5、x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，那么f(5)＝ (　　) A.0 B.1 C. D.5 解析：由f(1)＝， 對f(x＋2)＝f(x)＋f(2)， 令x＝－1， 得f(1)＝f(－1)＋f(2). 又∵f(x) 為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1). 于是f(2)＝2f(1)＝1； 令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝， 于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝. 答案：C 7.函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f()＞0＞f(－

6、)，那么方程f(x)＝0的根的個數(shù)為 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由于函數(shù)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此在(－∞，0)上單調(diào)遞增，又因為f()＞0＞f(－)＝f()，所以函數(shù)f(x)在(，)上與x軸有一個交點，必在(－，－)上也有一個交點，故方程f(x)＝0的根的個數(shù)為2. 答案：C 8.(2021·濱州模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x＞0時，f(x)＝2021x＋log2021x，那么方程f(x)＝0的實根的個數(shù)為　　　　. 解析：當x＞0時

7、，f(x)＝0即2021x＝－log2021x，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)f1(x)＝2021x，f2(x)＝－log2021x的圖象(圖略)，可知兩個圖象只有一個交點，即方程f(x)＝0只有一個實根，又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當x＜0時，方程f(x)＝0也有一個實根，又因為f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的實根的個數(shù)為3. 答案：3 題組三 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問題 9.定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，那么(　　) A.f(3)＜f(－2)＜f(1) B.f(1)＜f(－2)＜f(

8、3) C.f(－2)＜f(1)＜f(3) D.f(3)＜f(1)＜f(－2) 解析：由＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(3)＜f(－2)＜f(1)，應選A.此類題能用數(shù)形結(jié)合更好. 答案：A 10.(2021·福建高考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)的局部圖象如右圖所示， 那么在(－2,0)上，以下函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性不同的是 (　　) A.y＝x2＋1 B.y＝|x|＋1 C.y＝ D.y＝ 解析：∵f(x)為偶函數(shù)，由圖象知， f(x)在(－2,0)上為減函數(shù)， 而y＝x3＋1在(－∞，0)上為增函數(shù)

9、，應選C. 答案：C 11.(2021·山東高考)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2] 上是增函數(shù).假設方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4， 那么x1＋x2＋x3＋x4＝　　　　. 解析：由f(x－4)＝－f(x)?f(4－x)＝f(x)， 故函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對稱， 又函數(shù)f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)， 故f(0)＝0，故函數(shù)f(x)在(0,2]上大于0， 根據(jù)對稱性知函數(shù)f(x)在[2,4)上大于0， 同理推知函數(shù)f(x)在(4,8)上小于0，故在區(qū)間(

10、0,8)上方程f(x)＝m(m＞0)的兩根關(guān)于 直線x＝2對稱， 故此兩根之和等于4， 根據(jù)f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 函數(shù)f(x)以8為周期， 故在區(qū)間(－8,0)上方程f(x)＝m(m＞0)的兩根關(guān)于直線x＝－6對稱，此兩根之和等 于－12， 綜上四個根之和等于－8. 答案：－8 12.(文)函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù). (1)求實數(shù)m的值； (2)假設函數(shù)f(x)的區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍. 解：(1)設x<0，那么－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(

11、x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象知 所以1＜a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]. (理)定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù). (1)求a、b的值； (2)假設對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍. 解：(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1，從而有f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù). 又因f(x)是奇函數(shù)， 從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k). 因f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k， 即對一切t∈R有3t2－2t－k>0. 從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.