（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐 標(biāo) 系 本節(jié)主要包括2個知識點：　1.平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換；2.極坐標(biāo)系. 突破點(一)　平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換　 設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換． 1．判斷題 (1)平面直角坐標(biāo)系中點P(－2,3)在變換φ：的作用下得到的點為P′(－1,1)．(　　) (2)已知伸縮變換φ：經(jīng)φ變換得到點A′(2,4)，則原來點的坐標(biāo)為A(4，－2)．(　　) 答案：(1)√　

2、(2)× 2．填空題 (1)直線l：x－2y＋3＝0經(jīng)過φ：變換后得到的直線l′方程為________________． 解析：設(shè)l′上的任一點P(x′，y′)由題得代入x－2y＋3＝0得x′－y′＋3＝0，直線l′的方程為x－y＋3＝0. 答案：x－y＋3＝0 (2)已知平面直角坐標(biāo)系中點A(－2,4)經(jīng)過φ變換后得A′的坐標(biāo)為，則伸縮變換φ為________． 解析：設(shè)伸縮變換φ： 則有解得∴φ： 答案：φ： 平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換 [典例]　求雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過φ：變換后所得曲線C′的焦點坐標(biāo)． [解]　設(shè)曲線C′上任意一點

3、P′(x′，y′)， 由題意，將代入x2－＝1 得－＝1， 化簡得－＝1， 即－＝1為曲線C′的方程，可見經(jīng)變換后的曲線仍是雙曲線， 則所求焦點坐標(biāo)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)． [方法技巧] 應(yīng)用伸縮變換公式時的兩個注意點 (1)曲線的伸縮變換是通過曲線上任意一點的坐標(biāo)的伸縮變換實現(xiàn)的，解題時一定要區(qū)分變換前的點P的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點P′的坐標(biāo)(x′，y′)，再利用伸縮變換公式建立聯(lián)系． (2)已知變換后的曲線方程f(x，y)＝0，一般都要改寫為方程f(x′，y′)＝0，再利用換元法確定伸縮變換公式．　　 1．求直線l：y＝6x經(jīng)過φ：變換后所得

4、到的直線l′的方程． 解：設(shè)直線l′上任意一點P′(x′，y′)， 由題意，將代入y＝6x得2y′＝6×， 所以y′＝x′，即直線l′的方程為y＝x. 2．在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換． 解：設(shè)變換為代入第二個方程，得2λx－μy＝4，與x－2y＝2比較系數(shù)得λ＝1，μ＝4，即因此，經(jīng)過變換后，直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4. 3．在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C：x2＋y2＝36變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點坐標(biāo)． 解：設(shè)圓x2＋y2＝36上任一點為P(x，y)，伸縮變換后對應(yīng)點的坐標(biāo)為P′(

5、x′，y′)， 則所以4x′2＋9y′2＝36， 即＋＝1. 所以曲線C在伸縮變換后得橢圓＋＝1， 其焦點坐標(biāo)為(±，0)． 突破點(二)　極坐標(biāo)系 1．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系 如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，點O叫做極點，自極點O引一條射線Ox，Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系． (2)極坐標(biāo) 一般地，沒有特殊說明時，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)． (3)點與極坐標(biāo)的關(guān)系 一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個點，特別地，極

6、點O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)，和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示． 如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(ρ，θ) 表示；同時，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點也是唯一確定的． 2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 點M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化公式 1．判斷題 (1)圓心在極軸上的點(a,0)處，且過極點O的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2asin θ.(　　) (2)tan θ＝1與θ＝表示同一條曲線．(　　) (3)點P的直角坐標(biāo)為(－，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√

7、 2.填空題 (1)點P的直角坐標(biāo)為(1，－)，則點P的極坐標(biāo)為________． 解析：因為點P(1，－)在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為－，所以點P的極坐標(biāo)為. 答案： (2)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ在點M(2,0)處的切線的極坐標(biāo)方程為________． 解析：如圖，∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x.由圖象可知圓在點M(2,0)處的切線的直角坐標(biāo)方程為x＝2，即ρcos θ＝2. 答案：ρcos θ＝2 (3)在極坐標(biāo)系中A，B兩點間的距離為________． 解析：法一：在極坐標(biāo)系中，A，B

8、兩點如圖所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 法二：A，B的直角坐標(biāo)為A(1，－)，B(－2,2)． ∴|AB|＝＝＝6. 答案：6 (4)圓ρ＝5cos θ－5sin θ的圓心的極坐標(biāo)為________． 解析：將方程 ρ＝5cos θ－5sin θ兩邊都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ， 化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－5x＋5y＝0. 圓心的坐標(biāo)為，化成極坐標(biāo)為. 答案：(答案不唯一) (5)在極坐標(biāo)系中，直線ρsin＝2被圓ρ＝4截得的弦長為________． 解析：直線ρsin＝2可化為x＋y－2＝0，圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦

9、長公式得2＝2＝4. 答案：4 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 1．極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的步驟 第一步 判斷極坐標(biāo)的極點與直角坐標(biāo)系的原點是否重合，且極軸與x軸正半軸是否重合，若上述兩個都重合，則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化 第二步 通過極坐標(biāo)方程的兩邊同乘ρ或同時平方構(gòu)造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意變形過程中方程要保持同解，不要出現(xiàn)增解或漏解 第三步 根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式及ρ2＝x2＋y2將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程 2．直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程或直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)化為極坐標(biāo) (1)直角坐標(biāo)

10、方程化為極坐標(biāo)方程較為簡單，只需將直角坐標(biāo)方程中的x，y分別用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程． (2)求直角坐標(biāo)系中的點(x，y)對應(yīng)的極坐標(biāo)的一般步驟： [例1]　在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝. (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)． [解]　(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直線l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線

11、l的直角坐標(biāo)方程為：y－x＝1，即x－y＋1＝0. (2)由得 則直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)為. [方法技巧] 1．應(yīng)用互化公式的三個前提條件 (1)取直角坐標(biāo)系的原點為極點． (2)以x軸的正半軸為極軸． (3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長度單位． 2．直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時的兩個注意點 (1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角θ的表示方法具有周期性，故點M的極坐標(biāo)(ρ，θ)的形式不唯一，即一個點的極坐標(biāo)有無窮多個．當(dāng)限定ρ≥0，θ∈[0,2π)時，除極點外，點M的極坐標(biāo)是唯一的． (2)當(dāng)把點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，求極角θ應(yīng)注意判斷點M所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地

12、求出角θ(θ∈[0,2π))的值．　　 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 [例2]　(2018·安徽合肥模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y＝2x關(guān)于點M(0，m)(m≠0)對稱的直線為l′.若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數(shù)m的最大值． [解]　(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0，故圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0. (2)l：y＝2x關(guān)于點M(0，m)對稱的直線l′

13、的方程為y＝2x＋2m，而AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點，故≤2，解得－2－≤m≤－2，于是，實數(shù)m的最大值為－2. [易錯提醒] 用極坐標(biāo)系解決問題時要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決．　　 1.已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin＝，點A的極坐標(biāo)為A，求點A到直線l的距離． 解：由2ρsin＝，得2ρ＝，由坐標(biāo)變換公式，得直線l的直角坐標(biāo)方程為y＋x＝1，即x＋y－1＝0. 由點A的極坐標(biāo)為得點A的直角坐標(biāo)為(2，－2)，

14、所以點A到直線l的距離d＝＝. 2.在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝2，M是C1上任意一點，點P在射線OM上，且滿足|OP|·|OM|＝4，記點P的軌跡為C2. (1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程； (2)求曲線C2上的點到直線C3：ρcos＝的距離的最大值． 解：(1)設(shè)P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依題意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4. 消去ρ1，得曲線C2 的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ(ρ≠0)． (2)將C2，C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2.C2是以點(0,1)為圓心，以1為半徑的圓(坐標(biāo)原點除外)． 圓

15、心到直線C3的距離d＝，故曲線C2上的點到直線C3距離的最大值為1＋. [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM

16、|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)， 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 2．(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a＞0)．在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是

17、哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2， 則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，

18、 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上． 所以a＝1. [課時達標(biāo)檢測] 1．在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標(biāo)方程． 解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． 因為圓C經(jīng)過點P， 所以圓C的半徑PC＝ ＝1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 2．設(shè)M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的

19、動點，求M，N的最小距離． 解：因為M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的動點，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動點，要求M，N兩點間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－1. 3．(2018·揚州質(zhì)檢)求經(jīng)過極點O(0,0)，A，B三點的圓的極坐標(biāo)方程． 解：點O，A，B的直角坐標(biāo)分別為(0,0)，(0,6)，(6,6)， 故△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，圓心為(3,3)，半徑為3， 圓的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋(y

20、－3)2＝18， 即x2＋y2－6x－6y＝0， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝6cos. 4．(2018·山西質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為ρ2＝，點R. (1)以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； (2)設(shè)P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時P點的直角坐標(biāo)． 解：(1)曲線C：ρ2＝，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，從而＋ρ2sin2θ＝1. ∵x＝ρc

21、os θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1， 點R的直角坐標(biāo)為R(2,2)． (2)設(shè)P(cos θ，sin θ)， 根據(jù)題意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ， ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin， 當(dāng)θ＝時，|PQ|＋|QR|取最小值2， ∴矩形PQRS周長的最小值為4， 此時點P的直角坐標(biāo)為. 5．(2018·南京模擬)已知直線l：ρsin＝4和圓C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直線l上的點到圓C上的點的最小距離等于2.求實數(shù)k的值并求圓心C的直角坐標(biāo)． 解：圓C的極坐標(biāo)方程可化為ρ＝kcos θ－ksin θ， 即ρ2＝k

22、ρcos θ－kρsin θ， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－kx＋ky＝0， 即2＋2＝k2， 所以圓心C的直角坐標(biāo)為. 直線l的極坐標(biāo)方程可化為ρsin θ·－ρcos θ·＝4， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋4＝0， 所以－|k|＝2. 即|k＋4|＝2＋|k|， 兩邊平方，得|k|＝2k＋3， 所以或 解得k＝－1，故圓心C的直角坐標(biāo)為. 6．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin2θ－8cos θ＝0，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為α的直線l過點(2,0)． (1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)

23、方程和直線l的參數(shù)方程； (2)設(shè)點Q和點G的極坐標(biāo)分別為，(2，π)，若直線l經(jīng)過點Q，且與曲線C相交于A，B兩點，求△GAB的面積． 解：(1)曲線C的極坐標(biāo)方程化為ρ2sin2θ－8ρcos θ＝0，再化為直角坐標(biāo)方程為y2＝8x. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)點Q的直角坐標(biāo)為(0，－2)． 因為直線l過點P(2,0)和Q(0，－2)， 所以直線l的傾斜角α＝. 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得2＝8.整理，得t2－8t－32＝0. Δ＝(－8)2＋4×32＝256>0. 設(shè)t1，t2為方程t2－8t－32＝

24、0的兩個根， 則t1＋t2＝8，t1·t2＝－32， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝16. 由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得點G的直角坐標(biāo)為(－2,0)． 點G到直線l的距離為d＝|PG|sin 45°＝4×＝2， 所以S△GAB＝×d×|AB|＝×16×2＝16. 7．(2018·貴州聯(lián)考)已知在一個極坐標(biāo)系中點C的極坐標(biāo)為. (1)求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)； (2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點P是圓C上任意一點，Q(5，－)，M是線段PQ的中點，當(dāng)點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通

25、方程． 解：(1)如圖，設(shè)圓C上任意一點A(ρ，θ)，則∠AOC＝θ－或－θ. 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos＝4，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (2)在直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為(1，)，可設(shè)圓C上任意一點P(1＋2cos α，＋2sin α)， 又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是線段PQ的中點， 得點M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 即(α為參數(shù))， ∴點M的軌跡的普通方程為(x－3)2＋y2＝1. 8．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，射線θ＝與曲線

26、C2交于點D. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知極坐標(biāo)系中兩點A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲線C1上，求＋的值． 解：(1)∵C1的參數(shù)方程為 ∴C1的普通方程為＋y2＝1. 由題意知曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2acos θ(a為半徑)， 將D 代入，得2＝2a×， ∴a＝2，∴圓C2的圓心的直角坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2， ∴C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為＋ρ2sin2θ＝1， 即ρ2＝. ∴ρ＝， ρ＝＝. ∴＋＝＋＝. 第二節(jié)　 參數(shù)方程 本節(jié)主要包括2個知識點：　1

27、.參數(shù)方程；　2.參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題. 突破點(一)　參數(shù)方程　 1．參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程． 2．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)橢圓＋＝1(a＞b

28、＞0)的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． 1．判斷題 (1)參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形是直線．(　　) (2)直線y＝x與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù)為1.(　　) 答案：(1)√　(2)× 2．填空題 (1)若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的斜率為________． 解析：∵＝＝－，∴tan α＝－. 答案：－ (2)橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，過左焦點F1的直線l與C相交于A，B兩點，則|AB|min＝________. 解析：由(φ為參數(shù))得，＋＝1，當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|有最小值．∴|AB|min＝2×＝. 答案： (3)曲線C的參數(shù)方程為(

29、θ為參數(shù))，則曲線C的普通方程為________． 解析：由(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ得y＝－2x2(－1≤x≤1)． 答案：y＝－2x2(－1≤x≤1) (4)橢圓(θ為參數(shù))的離心率為________． 解析：由橢圓的參數(shù)方程可知a＝5，b＝2.故c＝＝，故橢圓的離心率e＝＝. 答案： 參數(shù)方程與普通方程的互化 1．參數(shù)方程化為普通方程 基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有：①代入消元法；②加減消元法；③恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法；④平方后再加減消元法等．其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋co

30、s2θ＝1等． 2．普通方程化為參數(shù)方程 (1)選擇參數(shù)的一般原則 曲線上任意一點的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對簡單；當(dāng)參數(shù)取某一值時，可以唯一確定x，y的值； (2)解題的一般步驟 第一步，引入?yún)?shù)，但要選定合適的參數(shù)t； 第二步，確定參數(shù)t與變量x或y的一個關(guān)系式x＝f(t)(或y＝φ(t)); 第三步，把確定的參數(shù)與一個變量的關(guān)系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，問題得解． [例1]　將下列參數(shù)方程化為普通方程． (1)(t為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))． [解]　(1)∵2＋2＝1， ∴x2＋y2＝1. ∵t2

31、－1≥0，∴t≥1或t≤－1. 又x＝，∴x≠0. 當(dāng)t≥1時，0

32、　 直線與圓錐曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用 1．解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題，其一般思路如下： (1)把直線和圓錐曲線的參數(shù)方程都化為普通方程； (2)根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決問題． 2．當(dāng)直線經(jīng)過點P(x0，y0)，且直線的傾斜角為α，求直線與圓錐曲線的交點、弦長問題時，可以把直線的參數(shù)方程設(shè)成(t為參數(shù))，交點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，計算時把直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的直角坐標(biāo)方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝. [例2]　(2018·石家莊質(zhì)量檢測)已知直線l：(t為參數(shù))，曲線C1：(θ為參數(shù))． (1)設(shè)l與

33、C1相交于A，B兩點，求|AB|； (2)若把曲線C1上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的，縱坐標(biāo)壓縮為原來的，得到曲線C2，設(shè)點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l距離的最小值． [解]　(1)l的普通方程為y＝(x－1)，C1的普通方程為x2＋y2＝1，聯(lián)立，得解得l與C1的交點坐標(biāo)分別為(1,0)，，所以|AB|＝＝1. (2)C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，故點P的坐標(biāo)是， 從而點P到直線l的距離d＝＝， 由此當(dāng)sin＝－1時，d取得最小值，且最小值為. [方法技巧] 求解直線與圓錐曲線參數(shù)方程問題的方法 (1)解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時一般是先化為普通方程再根

34、據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來解決問題． (2)對于形如(t為參數(shù))的直線的參數(shù)方程，當(dāng)a2＋b2≠1時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題．　　 1.(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點A，B，若點P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|. 解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ. ∴x2＋y2＝2y，即x2＋(y－)2＝5. (2)將

35、l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程． 得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根，所以 又直線l過點P(3，)， 故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. 2.(2018·鄭州模擬)將曲線C1：x2＋y2＝1上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到曲線C2，A為C1與x軸正半軸的交點，直線l經(jīng)過點A且傾斜角為30°，記l與曲線C1的另一個交點為B，與曲線C2在第一、三象限的交點分別為C，D. (1)寫出曲線C2的普通方程及直線l的參數(shù)方程； (2)求|AC|－|BD|.

36、 解：(1)由題意可得C2：＋y2＝1，對曲線C1，令y＝0，得x＝1，所以l：(t為參數(shù))． (2)將代入＋y2＝1， 整理得5t2＋4t－4＝0. 設(shè)點C，D對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－， 且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos 30°＝， 故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝. 突破點(二)　參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題　 將極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、普通方程交織在一起，考查極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用.將各類方程相互轉(zhuǎn)化是求解該類問題的前提.,解決問題時要

37、注意：,(1)解題時，易將直線與圓的極坐標(biāo)方程混淆.要熟練掌握特殊直線、圓的極坐標(biāo)方程的形式.,(2)應(yīng)用解析法解決實際問題時，要注意選取直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，建立極坐標(biāo)系要注意極點、極軸位置的選擇，注意點和極坐標(biāo)之間的“一對多”關(guān)系.,(3)求曲線方程，常設(shè)曲線上任意一點P(ρ，θ)，利用解三角形的知識，列出等量關(guān)系式，特別是正弦、余弦定理的應(yīng)用.圓的參數(shù)方程常和三角恒等變換結(jié)合在一起，解決取值范圍或最值問題.,(4)參數(shù)方程和普通方程表示同一個曲線時，要注意其中x，y的取值范圍，即注意兩者的等價性. 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題 [典例]　(2018·廣東五校協(xié)

38、作體聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)P為曲線C1上的動點，求點P到曲線C2上點的距離的最小值． [解]　(1)由曲線C1：得 曲線C1的普通方程為＋y2＝1. 由曲線C2：ρsin＝4得ρ(sin θ＋cos θ)＝4， 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－8＝0. (2)由(1)知橢圓C1與直線C2無公共點， 橢圓上的點P(cos α，sin α)到直線x＋y－8＝0的距離為 d＝＝， 所以當(dāng)sin

39、(α＋φ)＝1時，d取得最小值. [方法技巧] 處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程． (2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的．　　 1．已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ . (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜

40、2π)． 解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0. 由 解得或 所以C1與C2交點的極坐標(biāo)分別為，. 2．(2018·南昌十校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，π≤α≤2π)，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos＝t. (1

41、)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)C1與C2有兩個公共點時，求實數(shù)t的取值范圍． 解：(1)∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝t，∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－t＝0. (2)曲線C1的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1(0≤x≤2,0≤y≤1)，為半圓弧， 如圖所示，曲線C2為平行于直線x＋y＝0的直線，或為直線x＋y＝0， 當(dāng)直線C2與曲線C1相切時，由＝1， 解得t＝2－或t＝2＋(舍去)， 當(dāng)直線C2過A，B兩點時，t＝1， 由圖可知，當(dāng)2－

42、 1．(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標(biāo)； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0， 由解得或 從而C與l的交點坐標(biāo)為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝. 當(dāng)a≥－4時，d的最大值為 . 由題設(shè)得＝，解得a＝8； 當(dāng)a＜－4時，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，解得a＝－16.

43、 綜上，a＝8或a＝－16. 2．(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． 解：(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (

44、2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)． 聯(lián)立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. 3．(2016·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)

45、方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2， 將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±. 所以直線l的斜率為或－. 4．(2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通

46、方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo)． 解：(1)C1的普通方程為＋y2＝1，C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(cos α，sin α)． 因為C2是直線， 所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝， 當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標(biāo)為. [課時達標(biāo)檢測] 1．(2018·河南息縣第一高級中學(xué)段測)已知

47、曲線C的參數(shù)方程是(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求曲線C與直線l的普通方程； (2)若直線l與曲線C相交于P，Q兩點，且|PQ|＝，求實數(shù)m的值． 解：(1)由(α為參數(shù))得曲線C的普通方程為x2＋(y－m)2＝1.由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)，所以直線l的普通方程為2x－y＋2＝0. (2)圓心(0，m)到直線l的距離為d＝，由勾股定理得2＋2＝1，解得m＝3或m＝1. 2．在極坐標(biāo)系中，已知三點O(0,0)，A，B. (1)求經(jīng)過點O，A，B的圓C1的極坐標(biāo)方程； (2)以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面

48、直角坐標(biāo)系，圓C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù))，若圓C1與圓C2外切，求實數(shù)a的值． 解：(1)O(0,0)，A，B對應(yīng)的直角坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，則過點O，A，B的圓的普通方程為x2＋y2－2x－2y＝0，將代入可求得經(jīng)過點O，A，B的圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos. (2)圓C2：(θ是參數(shù))對應(yīng)的普通方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圓心為(－1，－1)，半徑為|a|，而圓C1的圓心為(1,1)，半徑為，所以當(dāng)圓C1與圓C2外切時，有＋|a|＝，解得a＝±. 3．(2018·湖北宜昌模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝x，圓C：(φ為參數(shù))，以

49、坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與圓C的交點為M，N，求△CMN的面積． 解：(1)將C的參數(shù)方程化為普通方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. 直線l：y＝x的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． (2)圓心到直線的距離d＝＝， ∴|MN|＝2＝， ∴△CMN的面積S＝××＝. 4．(2018·豫南九校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l：(t為參數(shù))與曲線C：(θ為參數(shù))相交于不同的兩點A，B. (1)若α＝，求線段AB的中點M的坐標(biāo)； (2

50、)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直線l的斜率． 解：(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是＋y2＝1. 當(dāng)α＝ 時，設(shè)點M對應(yīng)的參數(shù)為t0. 直線l的方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0， 設(shè)直線l上的點A，B對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2. 則t0＝＝－， 所以點M的坐標(biāo)為. (2)將代入曲線C的普通方程＋y2＝1， 得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sin α＋4cos α)t＋12＝0， 因為|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7， 所以＝7，得tan2α＝. 由于Δ＝32cos α

51、(2sin α－cos α)>0， 故tan α＝.所以直線l的斜率為. 5．(2018·江西百校聯(lián)盟模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C1：(t為參數(shù))．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0. (1)求C1的普通方程及C2的直角坐標(biāo)方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若P，Q分別為C1，C2上的動點，且|PQ|的最小值為2，求k的值． 解：(1)由可得其普通方程為y＝k(x－1)，它表示過定點(1,0)，斜率為k的直線． 由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐標(biāo)方程為x2＋y

52、2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圓心為(－5,3)，半徑為1的圓． (2)因為圓心(－5,3)到直線y＝k(x－1)的距離d＝＝，故|PQ|的最小值為－1，故－1＝2，得3k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－. 6．(2018·湖南岳陽模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ，以極點O為原點，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程； (2)直線l與曲線C交于B，D兩點，當(dāng)|BD|取到最小值時，求a的值． 解：(1)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ， 即ρ2＝

53、6ρsin θ，化為直角坐標(biāo)方程：x2＋y2＝6y， 配方為：x2＋(y－3)2＝9，圓心C(0,3)，半徑r＝3. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去參數(shù)t可得：x－ay＋a＋1＝0. (2)由直線l經(jīng)過定點P(－1,1)，此點在圓的內(nèi)部， 因此當(dāng)CP⊥l時，|BD|取到最小值， 則kCP·kl＝×kl＝－1， 解得kl＝－. ∴＝－，解得a＝－2. 7．(2018·河南六市聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已

54、知點M是曲線C1上任意一點，點N是曲線C2上任意一點，求|MN|的取值范圍． 解：(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x. (2)將曲線C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－1)2＋y2＝1，它表示圓心為C2(1,0)，半徑r＝1的圓． 由題意，|MN|max＝|MC2|max＋r，|MN|min＝|MC2|min－r.設(shè)M(4cos φ，3sin φ)． 則|MC2|2＝(4cos φ－1)2＋(3sin φ－0)2＝7cos2φ－8cos φ＋10. 當(dāng)cos φ＝時，|MC2|＝； 當(dāng)cos φ＝－1時，|MC2|＝25.

55、∴|MN|max＝|MC2|max＋r＝6，|MN|min＝|MC2|min－r＝－1， ∴|MN|∈. 8．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝8cos θ. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸的交點為F，求＋的值． 解：(1)由ρsin2θ＝8cos θ，得ρ2sin2θ＝8ρcos θ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝8x. (2)易得直線l與x軸的交點為F(2,0)，將直線l的方程代入y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，整理得sin2α·t2－8cos α·t－16＝0. 由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0， ∴t1＋t2＝，t1t2＝－＜0， 故＋＝＋ ＝＝＝ ＝ ＝. 25