(通用版)2019版高考數(shù)學一輪復習 選修部分 坐標系與參數(shù)方程學案 理

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1、 坐標系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐 標 系 本節(jié)主要包括2個知識點: 1.平面直角坐標系下圖形的伸縮變換;2.極坐標系. 突破點(一) 平面直角坐標系下圖形的伸縮變換  設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換φ:的作用下,點P(x,y)對應到點P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換. 1.判斷題 (1)平面直角坐標系中點P(-2,3)在變換φ:的作用下得到的點為P′(-1,1).(  ) (2)已知伸縮變換φ:經(jīng)φ變換得到點A′(2,4),則原來點的坐標為A(4,-2).(  ) 答案:(1)√ 

2、(2)× 2.填空題 (1)直線l:x-2y+3=0經(jīng)過φ:變換后得到的直線l′方程為________________. 解析:設l′上的任一點P(x′,y′)由題得代入x-2y+3=0得x′-y′+3=0,直線l′的方程為x-y+3=0. 答案:x-y+3=0 (2)已知平面直角坐標系中點A(-2,4)經(jīng)過φ變換后得A′的坐標為,則伸縮變換φ為________. 解析:設伸縮變換φ: 則有解得∴φ: 答案:φ: 平面直角坐標系下圖形的伸縮變換 [典例] 求雙曲線C:x2-=1經(jīng)過φ:變換后所得曲線C′的焦點坐標. [解] 設曲線C′上任意一點

3、P′(x′,y′), 由題意,將代入x2-=1 得-=1, 化簡得-=1, 即-=1為曲線C′的方程,可見經(jīng)變換后的曲線仍是雙曲線, 則所求焦點坐標為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0). [方法技巧] 應用伸縮變換公式時的兩個注意點 (1)曲線的伸縮變換是通過曲線上任意一點的坐標的伸縮變換實現(xiàn)的,解題時一定要區(qū)分變換前的點P的坐標(x,y)與變換后的點P′的坐標(x′,y′),再利用伸縮變換公式建立聯(lián)系. (2)已知變換后的曲線方程f(x,y)=0,一般都要改寫為方程f(x′,y′)=0,再利用換元法確定伸縮變換公式.   1.求直線l:y=6x經(jīng)過φ:變換后所得

4、到的直線l′的方程. 解:設直線l′上任意一點P′(x′,y′), 由題意,將代入y=6x得2y′=6×, 所以y′=x′,即直線l′的方程為y=x. 2.在同一平面直角坐標系中,將直線x-2y=2變成直線2x′-y′=4,求滿足圖象變換的伸縮變換. 解:設變換為代入第二個方程,得2λx-μy=4,與x-2y=2比較系數(shù)得λ=1,μ=4,即因此,經(jīng)過變換后,直線x-2y=2變成直線2x′-y′=4. 3.在同一平面直角坐標系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C:x2+y2=36變?yōu)楹畏N曲線,并求曲線的焦點坐標. 解:設圓x2+y2=36上任一點為P(x,y),伸縮變換后對應點的坐標為P′(

5、x′,y′), 則所以4x′2+9y′2=36, 即+=1. 所以曲線C在伸縮變換后得橢圓+=1, 其焦點坐標為(±,0). 突破點(二) 極坐標系 1.極坐標系的概念 (1)極坐標系 如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點O,點O叫做極點,自極點O引一條射線Ox,Ox叫做極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系. (2)極坐標 一般地,沒有特殊說明時,我們認為ρ≥0,θ可取任意實數(shù). (3)點與極坐標的關(guān)系 一般地,極坐標(ρ,θ)與(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一個點,特別地,極

6、點O的坐標為(0,θ)(θ∈R),和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示. 如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(ρ,θ) 表示;同時,極坐標(ρ,θ)表示的點也是唯一確定的. 2.極坐標與直角坐標的互化 點M 直角坐標(x,y) 極坐標(ρ,θ) 互化公式 1.判斷題 (1)圓心在極軸上的點(a,0)處,且過極點O的圓的極坐標方程為ρ=2asin θ.(  ) (2)tan θ=1與θ=表示同一條曲線.(  ) (3)點P的直角坐標為(-,),那么它的極坐標可表示為.(  ) 答案:(1)× (2)× (3)√

7、 2.填空題 (1)點P的直角坐標為(1,-),則點P的極坐標為________. 解析:因為點P(1,-)在第四象限,與原點的距離為2,且OP與x軸所成的角為-,所以點P的極坐標為. 答案: (2)在極坐標系中,圓ρ=2cos θ在點M(2,0)處的切線的極坐標方程為________. 解析:如圖,∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ,化為直角坐標方程為x2+y2=2x.由圖象可知圓在點M(2,0)處的切線的直角坐標方程為x=2,即ρcos θ=2. 答案:ρcos θ=2 (3)在極坐標系中A,B兩點間的距離為________. 解析:法一:在極坐標系中,A,B

8、兩點如圖所示,|AB|=|OA|+|OB|=6. 法二:A,B的直角坐標為A(1,-),B(-2,2). ∴|AB|===6. 答案:6 (4)圓ρ=5cos θ-5sin θ的圓心的極坐標為________. 解析:將方程 ρ=5cos θ-5sin θ兩邊都乘以ρ得: ρ2=5ρcos θ-5ρsin θ, 化成直角坐標方程為x2+y2-5x+5y=0. 圓心的坐標為,化成極坐標為. 答案:(答案不唯一) (5)在極坐標系中,直線ρsin=2被圓ρ=4截得的弦長為________. 解析:直線ρsin=2可化為x+y-2=0,圓ρ=4可化為x2+y2=16,由圓中的弦

9、長公式得2=2=4. 答案:4 極坐標與直角坐標的互化 1.極坐標方程化為直角坐標方程的步驟 第一步 判斷極坐標的極點與直角坐標系的原點是否重合,且極軸與x軸正半軸是否重合,若上述兩個都重合,則極坐標方程與直角坐標方程可以互化 第二步 通過極坐標方程的兩邊同乘ρ或同時平方構(gòu)造ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,一定要注意變形過程中方程要保持同解,不要出現(xiàn)增解或漏解 第三步 根據(jù)極坐標方程與直角坐標方程的互化公式及ρ2=x2+y2將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程 2.直角坐標方程化為極坐標方程或直角坐標系中點的坐標化為極坐標 (1)直角坐標

10、方程化為極坐標方程較為簡單,只需將直角坐標方程中的x,y分別用ρcos θ,ρsin θ代替即可得到相應極坐標方程. (2)求直角坐標系中的點(x,y)對應的極坐標的一般步驟: [例1] 在極坐標系下,已知圓O:ρ=cos θ+sin θ和直線l:ρsin=. (1)求圓O和直線l的直角坐標方程; (2)當θ∈(0,π)時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標. [解] (1)圓O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圓O的直角坐標方程為:x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0,直線l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1, 則直線

11、l的直角坐標方程為:y-x=1,即x-y+1=0. (2)由得 則直線l與圓O公共點的一個極坐標為. [方法技巧] 1.應用互化公式的三個前提條件 (1)取直角坐標系的原點為極點. (2)以x軸的正半軸為極軸. (3)兩種坐標系規(guī)定相同的長度單位. 2.直角坐標化為極坐標時的兩個注意點 (1)根據(jù)終邊相同的角的意義,角θ的表示方法具有周期性,故點M的極坐標(ρ,θ)的形式不唯一,即一個點的極坐標有無窮多個.當限定ρ≥0,θ∈[0,2π)時,除極點外,點M的極坐標是唯一的. (2)當把點的直角坐標化為極坐標時,求極角θ應注意判斷點M所在的象限(即角θ的終邊的位置),以便正確地

12、求出角θ(θ∈[0,2π))的值.   極坐標方程的應用 [例2] (2018·安徽合肥模擬)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標方程; (2)已知圓C與x軸相交于A,B兩點,直線l:y=2x關(guān)于點M(0,m)(m≠0)對稱的直線為l′.若直線l′上存在點P使得∠APB=90°,求實數(shù)m的最大值. [解] (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,即x2+y2-4x=0,故圓C的直角坐標方程為x2+y2-4x=0. (2)l:y=2x關(guān)于點M(0,m)對稱的直線l′

13、的方程為y=2x+2m,而AB為圓C的直徑,故直線l′上存在點P使得∠APB=90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點,故≤2,解得-2-≤m≤-2,于是,實數(shù)m的最大值為-2. [易錯提醒] 用極坐標系解決問題時要注意題目中的幾何關(guān)系,如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標表示時,可以先化為直角坐標方程,將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決.   1.已知直線l的極坐標方程為2ρsin=,點A的極坐標為A,求點A到直線l的距離. 解:由2ρsin=,得2ρ=,由坐標變換公式,得直線l的直角坐標方程為y+x=1,即x+y-1=0. 由點A的極坐標為得點A的直角坐標為(2,-2),

14、所以點A到直線l的距離d==. 2.在極坐標系中,直線C1的極坐標方程為ρsin θ=2,M是C1上任意一點,點P在射線OM上,且滿足|OP|·|OM|=4,記點P的軌跡為C2. (1)求曲線C2的極坐標方程; (2)求曲線C2上的點到直線C3:ρcos=的距離的最大值. 解:(1)設P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依題意有ρ1sin θ=2,ρρ1=4. 消去ρ1,得曲線C2 的極坐標方程為ρ=2sin θ(ρ≠0). (2)將C2,C3的極坐標方程化為直角坐標方程,得C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2.C2是以點(0,1)為圓心,以1為半徑的圓(坐標原點除外). 圓

15、心到直線C3的距離d=,故曲線C2上的點到直線C3距離的最大值為1+. [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律]                     1.(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程; (2)設點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. 解:(1)設P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設知|OP|=ρ,|OM

16、|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16,得C2的極坐標方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0), 由題設知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α· =2≤2+. 當α=-時,S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 2.(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是

17、哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. 解:(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2, 則C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0, 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,

18、 從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1. 當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,且在C3上. 所以a=1. [課時達標檢測] 1.在極坐標系中,已知圓C經(jīng)過點P,圓心為直線ρsin=-與極軸的交點,求圓C的極坐標方程. 解:在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,所以圓C的圓心坐標為(1,0). 因為圓C經(jīng)過點P, 所以圓C的半徑PC= =1,于是圓C過極點,所以圓C的極坐標方程為ρ=2cos θ. 2.設M,N分別是曲線ρ+2sin θ=0和ρsin=上的

19、動點,求M,N的最小距離. 解:因為M,N分別是曲線ρ+2sin θ=0和ρsin=上的動點,即M,N分別是圓x2+y2+2y=0和直線x+y-1=0上的動點,要求M,N兩點間的最小距離,即在直線x+y-1=0上找一點到圓x2+y2+2y=0的距離最小,即圓心(0,-1)到直線x+y-1=0的距離減去半徑,故最小值為-1=-1. 3.(2018·揚州質(zhì)檢)求經(jīng)過極點O(0,0),A,B三點的圓的極坐標方程. 解:點O,A,B的直角坐標分別為(0,0),(0,6),(6,6), 故△OAB是以OB為斜邊的等腰直角三角形,圓心為(3,3),半徑為3, 圓的直角坐標方程為(x-3)2+(y

20、-3)2=18, 即x2+y2-6x-6y=0, 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上述方程, 得ρ2-6ρ(cos θ+sin θ)=0, 即ρ=6cos. 4.(2018·山西質(zhì)檢)在極坐標系中,曲線C的方程為ρ2=,點R. (1)以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,R點的極坐標化為直角坐標; (2)設P為曲線C上一動點,以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值,及此時P點的直角坐標. 解:(1)曲線C:ρ2=,即ρ2+2ρ2sin2θ=3,從而+ρ2sin2θ=1. ∵x=ρc

21、os θ,y=ρsin θ, ∴曲線C的直角坐標方程為+y2=1, 點R的直角坐標為R(2,2). (2)設P(cos θ,sin θ), 根據(jù)題意可得|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ, ∴|PQ|+|QR|=4-2sin, 當θ=時,|PQ|+|QR|取最小值2, ∴矩形PQRS周長的最小值為4, 此時點P的直角坐標為. 5.(2018·南京模擬)已知直線l:ρsin=4和圓C:ρ=2kcos(k≠0),若直線l上的點到圓C上的點的最小距離等于2.求實數(shù)k的值并求圓心C的直角坐標. 解:圓C的極坐標方程可化為ρ=kcos θ-ksin θ, 即ρ2=k

22、ρcos θ-kρsin θ, 所以圓C的直角坐標方程為x2+y2-kx+ky=0, 即2+2=k2, 所以圓心C的直角坐標為. 直線l的極坐標方程可化為ρsin θ·-ρcos θ·=4, 所以直線l的直角坐標方程為x-y+4=0, 所以-|k|=2. 即|k+4|=2+|k|, 兩邊平方,得|k|=2k+3, 所以或 解得k=-1,故圓心C的直角坐標為. 6.已知曲線C的極坐標方程是ρsin2θ-8cos θ=0,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系xOy.在直角坐標系中,傾斜角為α的直線l過點(2,0). (1)寫出曲線C的直角坐標

23、方程和直線l的參數(shù)方程; (2)設點Q和點G的極坐標分別為,(2,π),若直線l經(jīng)過點Q,且與曲線C相交于A,B兩點,求△GAB的面積. 解:(1)曲線C的極坐標方程化為ρ2sin2θ-8ρcos θ=0,再化為直角坐標方程為y2=8x. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (2)點Q的直角坐標為(0,-2). 因為直線l過點P(2,0)和Q(0,-2), 所以直線l的傾斜角α=. 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程,得2=8.整理,得t2-8t-32=0. Δ=(-8)2+4×32=256>0. 設t1,t2為方程t2-8t-32=

24、0的兩個根, 則t1+t2=8,t1·t2=-32, 所以|AB|=|t1-t2|===16. 由極坐標與直角坐標互化公式得點G的直角坐標為(-2,0). 點G到直線l的距離為d=|PG|sin 45°=4×=2, 所以S△GAB=×d×|AB|=×16×2=16. 7.(2018·貴州聯(lián)考)已知在一個極坐標系中點C的極坐標為. (1)求出以C為圓心,半徑長為2的圓的極坐標方程(寫出解題過程); (2)在直角坐標系中,以圓C所在極坐標系的極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系,點P是圓C上任意一點,Q(5,-),M是線段PQ的中點,當點P在圓C上運動時,求點M的軌跡的普通

25、方程. 解:(1)如圖,設圓C上任意一點A(ρ,θ),則∠AOC=θ-或-θ. 由余弦定理得,4+ρ2-4ρcos=4,所以圓C的極坐標方程為ρ=4cos. (2)在直角坐標系中,點C的坐標為(1,),可設圓C上任意一點P(1+2cos α,+2sin α), 又令M(x,y),由Q(5,-),M是線段PQ的中點, 得點M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), 即(α為參數(shù)), ∴點M的軌跡的普通方程為(x-3)2+y2=1. 8.在平面直角坐標系中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓,射線θ=與曲線

26、C2交于點D. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程; (2)已知極坐標系中兩點A(ρ1,θ0),B,若A,B都在曲線C1上,求+的值. 解:(1)∵C1的參數(shù)方程為 ∴C1的普通方程為+y2=1. 由題意知曲線C2的極坐標方程為ρ=2acos θ(a為半徑), 將D 代入,得2=2a×, ∴a=2,∴圓C2的圓心的直角坐標為(2,0),半徑為2, ∴C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4. (2)曲線C1的極坐標方程為+ρ2sin2θ=1, 即ρ2=. ∴ρ=, ρ==. ∴+=+=. 第二節(jié)  參數(shù)方程 本節(jié)主要包括2個知識點: 1

27、.參數(shù)方程; 2.參數(shù)方程與極坐標方程的綜合問題. 突破點(一) 參數(shù)方程  1.參數(shù)方程 一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù):并且對于t的每一個允許值,由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程. 2.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點M(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (2)圓心在點M0(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (3)橢圓+=1(a>b

28、>0)的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)). 1.判斷題 (1)參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形是直線.(  ) (2)直線y=x與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù)為1.(  ) 答案:(1)√ (2)× 2.填空題 (1)若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則直線的斜率為________. 解析:∵==-,∴tan α=-. 答案:- (2)橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),過左焦點F1的直線l與C相交于A,B兩點,則|AB|min=________. 解析:由(φ為參數(shù))得,+=1,當AB⊥x軸時,|AB|有最小值.∴|AB|min=2×=. 答案: (3)曲線C的參數(shù)方程為(

29、θ為參數(shù)),則曲線C的普通方程為________. 解析:由(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ得y=-2x2(-1≤x≤1). 答案:y=-2x2(-1≤x≤1) (4)橢圓(θ為參數(shù))的離心率為________. 解析:由橢圓的參數(shù)方程可知a=5,b=2.故c==,故橢圓的離心率e==. 答案: 參數(shù)方程與普通方程的互化 1.參數(shù)方程化為普通方程 基本思路是消去參數(shù),常用的消參方法有:①代入消元法;②加減消元法;③恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法;④平方后再加減消元法等.其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧,三角恒等式消元法常利用公式sin2θ+co

30、s2θ=1等. 2.普通方程化為參數(shù)方程 (1)選擇參數(shù)的一般原則 曲線上任意一點的坐標與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對簡單;當參數(shù)取某一值時,可以唯一確定x,y的值; (2)解題的一般步驟 第一步,引入?yún)?shù),但要選定合適的參數(shù)t; 第二步,確定參數(shù)t與變量x或y的一個關(guān)系式x=f(t)(或y=φ(t)); 第三步,把確定的參數(shù)與一個變量的關(guān)系式代入普通方程F(x,y)=0,求得另一關(guān)系y=g(t)(或x=ψ(t)),問題得解. [例1] 將下列參數(shù)方程化為普通方程. (1)(t為參數(shù)); (2)(θ為參數(shù)). [解] (1)∵2+2=1, ∴x2+y2=1. ∵t2

31、-1≥0,∴t≥1或t≤-1. 又x=,∴x≠0. 當t≥1時,0

32、  直線與圓錐曲線的參數(shù)方程及應用 1.解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應用問題,其一般思路如下: (1)把直線和圓錐曲線的參數(shù)方程都化為普通方程; (2)根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決問題. 2.當直線經(jīng)過點P(x0,y0),且直線的傾斜角為α,求直線與圓錐曲線的交點、弦長問題時,可以把直線的參數(shù)方程設成(t為參數(shù)),交點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,計算時把直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的直角坐標方程,求出t1+t2,t1·t2,得到|AB|=|t1-t2|=. [例2] (2018·石家莊質(zhì)量檢測)已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(θ為參數(shù)). (1)設l與

33、C1相交于A,B兩點,求|AB|; (2)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的,縱坐標壓縮為原來的,得到曲線C2,設點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l距離的最小值. [解] (1)l的普通方程為y=(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1,聯(lián)立,得解得l與C1的交點坐標分別為(1,0),,所以|AB|==1. (2)C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),故點P的坐標是, 從而點P到直線l的距離d==, 由此當sin=-1時,d取得最小值,且最小值為. [方法技巧] 求解直線與圓錐曲線參數(shù)方程問題的方法 (1)解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應用問題時一般是先化為普通方程再根

34、據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來解決問題. (2)對于形如(t為參數(shù))的直線的參數(shù)方程,當a2+b2≠1時,應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題.   1.(2018·唐山模擬)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程; (2)設圓C與直線l交于點A,B,若點P的坐標為(3,),求|PA|+|PB|. 解:(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ. ∴x2+y2=2y,即x2+(y-)2=5. (2)將

35、l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程. 得2+2=5,即t2-3t+4=0. 由于Δ=(3)2-4×4=2>0,故可設t1,t2是上述方程的兩實根,所以 又直線l過點P(3,), 故由上式及t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3. 2.(2018·鄭州模擬)將曲線C1:x2+y2=1上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)得到曲線C2,A為C1與x軸正半軸的交點,直線l經(jīng)過點A且傾斜角為30°,記l與曲線C1的另一個交點為B,與曲線C2在第一、三象限的交點分別為C,D. (1)寫出曲線C2的普通方程及直線l的參數(shù)方程; (2)求|AC|-|BD|.

36、 解:(1)由題意可得C2:+y2=1,對曲線C1,令y=0,得x=1,所以l:(t為參數(shù)). (2)將代入+y2=1, 整理得5t2+4t-4=0. 設點C,D對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-, 且|AC|=t1,|AD|=-t2.又|AB|=2|OA|cos 30°=, 故|AC|-|BD|=|AC|-(|AD|-|AB|)=|AC|-|AD|+|AB|=t1+t2+=. 突破點(二) 參數(shù)方程與極坐標方程的綜合問題  將極坐標方程與參數(shù)方程、普通方程交織在一起,考查極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用.將各類方程相互轉(zhuǎn)化是求解該類問題的前提.,解決問題時要

37、注意:,(1)解題時,易將直線與圓的極坐標方程混淆.要熟練掌握特殊直線、圓的極坐標方程的形式.,(2)應用解析法解決實際問題時,要注意選取直角坐標系還是極坐標系,建立極坐標系要注意極點、極軸位置的選擇,注意點和極坐標之間的“一對多”關(guān)系.,(3)求曲線方程,常設曲線上任意一點P(ρ,θ),利用解三角形的知識,列出等量關(guān)系式,特別是正弦、余弦定理的應用.圓的參數(shù)方程常和三角恒等變換結(jié)合在一起,解決取值范圍或最值問題.,(4)參數(shù)方程和普通方程表示同一個曲線時,要注意其中x,y的取值范圍,即注意兩者的等價性. 參數(shù)方程與極坐標方程的綜合問題 [典例] (2018·廣東五校協(xié)

38、作體聯(lián)考)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin=4. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程; (2)設P為曲線C1上的動點,求點P到曲線C2上點的距離的最小值. [解] (1)由曲線C1:得 曲線C1的普通方程為+y2=1. 由曲線C2:ρsin=4得ρ(sin θ+cos θ)=4, 即曲線C2的直角坐標方程為x+y-8=0. (2)由(1)知橢圓C1與直線C2無公共點, 橢圓上的點P(cos α,sin α)到直線x+y-8=0的距離為 d==, 所以當sin

39、(α+φ)=1時,d取得最小值. [方法技巧] 處理極坐標、參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然,還要結(jié)合題目本身特點,確定選擇何種方程. (2)數(shù)形結(jié)合的應用,即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,或者利用ρ和θ的幾何意義,直接求解,能達到化繁為簡的解題目的.   1.已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2sin θ . (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程; (2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<

40、2π). 解:(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 將代入x2+y2-8x-10y+16=0 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的極坐標方程為ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0. 由 解得或 所以C1與C2交點的極坐標分別為,. 2.(2018·南昌十校模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù),π≤α≤2π),以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρcos=t. (1

41、)求C2的直角坐標方程; (2)當C1與C2有兩個公共點時,求實數(shù)t的取值范圍. 解:(1)∵曲線C2的極坐標方程為ρ=t,∴曲線C2的直角坐標方程為x+y-t=0. (2)曲線C1的普通方程為(x-1)2+(y-1)2=1(0≤x≤2,0≤y≤1),為半圓弧, 如圖所示,曲線C2為平行于直線x+y=0的直線,或為直線x+y=0, 當直線C2與曲線C1相切時,由=1, 解得t=2-或t=2+(舍去), 當直線C2過A,B兩點時,t=1, 由圖可知,當2-

42、 1.(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=-1,求C與l的交點坐標; (2)若C上的點到l距離的最大值為,求a. 解:(1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0, 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0, 故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離為 d=. 當a≥-4時,d的最大值為 . 由題設得=,解得a=8; 當a<-4時,d的最大值為. 由題設得=,解得a=-16.

43、 綜上,a=8或a=-16. 2.(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑. 解:(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 設P(x,y),由題設得 消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (

44、2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 聯(lián)立 得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,從而cos2θ=,sin2θ=. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5, 所以交點M的極徑為. 3.(2016·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程; (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標

45、方程為ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ=α(ρ∈R). 設A,B所對應的極徑分別為ρ1,ρ2, 將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|= =. 由|AB|=得cos2α=,tan α=±. 所以直線l的斜率為或-. 4.(2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin=2. (1)寫出C1的普通

46、方程和C2的直角坐標方程; (2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. 解:(1)C1的普通方程為+y2=1,C2的直角坐標方程為x+y-4=0. (2)由題意,可設點P的直角坐標為(cos α,sin α). 因為C2是直線, 所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值, d(α)==, 當且僅當α=2kπ+(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為. [課時達標檢測] 1.(2018·河南息縣第一高級中學段測)已知

47、曲線C的參數(shù)方程是(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求曲線C與直線l的普通方程; (2)若直線l與曲線C相交于P,Q兩點,且|PQ|=,求實數(shù)m的值. 解:(1)由(α為參數(shù))得曲線C的普通方程為x2+(y-m)2=1.由x=1+t,得t=x-1,代入y=4+t,得y=4+2(x-1),所以直線l的普通方程為2x-y+2=0. (2)圓心(0,m)到直線l的距離為d=,由勾股定理得2+2=1,解得m=3或m=1. 2.在極坐標系中,已知三點O(0,0),A,B. (1)求經(jīng)過點O,A,B的圓C1的極坐標方程; (2)以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面

48、直角坐標系,圓C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù)),若圓C1與圓C2外切,求實數(shù)a的值. 解:(1)O(0,0),A,B對應的直角坐標分別為O(0,0),A(0,2),B(2,2),則過點O,A,B的圓的普通方程為x2+y2-2x-2y=0,將代入可求得經(jīng)過點O,A,B的圓C1的極坐標方程為ρ=2cos. (2)圓C2:(θ是參數(shù))對應的普通方程為(x+1)2+(y+1)2=a2,圓心為(-1,-1),半徑為|a|,而圓C1的圓心為(1,1),半徑為,所以當圓C1與圓C2外切時,有+|a|=,解得a=±. 3.(2018·湖北宜昌模擬)在直角坐標系xOy中,直線l:y=x,圓C:(φ為參數(shù)),以

49、坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求直線l與圓C的極坐標方程; (2)設直線l與圓C的交點為M,N,求△CMN的面積. 解:(1)將C的參數(shù)方程化為普通方程為(x+1)2+(y+2)2=1,極坐標方程為ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0. 直線l:y=x的極坐標方程為θ=(ρ∈R). (2)圓心到直線的距離d==, ∴|MN|=2=, ∴△CMN的面積S=××=. 4.(2018·豫南九校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中,設傾斜角為α的直線l:(t為參數(shù))與曲線C:(θ為參數(shù))相交于不同的兩點A,B. (1)若α=,求線段AB的中點M的坐標; (2

50、)若|PA|·|PB|=|OP|2,其中P(2,),求直線l的斜率. 解:(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是+y2=1. 當α= 時,設點M對應的參數(shù)為t0. 直線l的方程為(t為參數(shù)), 代入曲線C的普通方程+y2=1,得13t2+56t+48=0, 設直線l上的點A,B對應參數(shù)分別為t1,t2. 則t0==-, 所以點M的坐標為. (2)將代入曲線C的普通方程+y2=1, 得(cos2α+4sin2α)t2+(8sin α+4cos α)t+12=0, 因為|PA|·|PB|=|t1t2|=,|OP|2=7, 所以=7,得tan2α=. 由于Δ=32cos α

51、(2sin α-cos α)>0, 故tan α=.所以直線l的斜率為. 5.(2018·江西百校聯(lián)盟模擬)在平面直角坐標系xOy中,C1:(t為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C2:ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0. (1)求C1的普通方程及C2的直角坐標方程,并說明它們分別表示什么曲線; (2)若P,Q分別為C1,C2上的動點,且|PQ|的最小值為2,求k的值. 解:(1)由可得其普通方程為y=k(x-1),它表示過定點(1,0),斜率為k的直線. 由ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0可得其直角坐標方程為x2+y

52、2+10x-6y+33=0,整理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圓心為(-5,3),半徑為1的圓. (2)因為圓心(-5,3)到直線y=k(x-1)的距離d==,故|PQ|的最小值為-1,故-1=2,得3k2+4k=0,解得k=0或k=-. 6.(2018·湖南岳陽模擬)已知曲線C的極坐標方程為ρ=6sin θ,以極點O為原點,極軸為x軸的非負半軸建立直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程; (2)直線l與曲線C交于B,D兩點,當|BD|取到最小值時,求a的值. 解:(1)曲線C的極坐標方程為ρ=6sin θ, 即ρ2=

53、6ρsin θ,化為直角坐標方程:x2+y2=6y, 配方為:x2+(y-3)2=9,圓心C(0,3),半徑r=3. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),消去參數(shù)t可得:x-ay+a+1=0. (2)由直線l經(jīng)過定點P(-1,1),此點在圓的內(nèi)部, 因此當CP⊥l時,|BD|取到最小值, 則kCP·kl=×kl=-1, 解得kl=-. ∴=-,解得a=-2. 7.(2018·河南六市聯(lián)考)在平面直角坐標系中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2cos θ. (1)求曲線C2的直角坐標方程; (2)已

54、知點M是曲線C1上任意一點,點N是曲線C2上任意一點,求|MN|的取值范圍. 解:(1)∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ, ∴曲線C2的直角坐標方程為x2+y2=2x. (2)將曲線C2的方程化為標準形式為(x-1)2+y2=1,它表示圓心為C2(1,0),半徑r=1的圓. 由題意,|MN|max=|MC2|max+r,|MN|min=|MC2|min-r.設M(4cos φ,3sin φ). 則|MC2|2=(4cos φ-1)2+(3sin φ-0)2=7cos2φ-8cos φ+10. 當cos φ=時,|MC2|=; 當cos φ=-1時,|MC2|=25.

55、∴|MN|max=|MC2|max+r=6,|MN|min=|MC2|min-r=-1, ∴|MN|∈. 8.極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位,以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=8cos θ. (1)求曲線C的直角坐標方程; (2)設直線l與曲線C交于A,B兩點,與x軸的交點為F,求+的值. 解:(1)由ρsin2θ=8cos θ,得ρ2sin2θ=8ρcos θ, ∴曲線C的直角坐標方程為y2=8x. (2)易得直線l與x軸的交點為F(2,0),將直線l的方程代入y2=8x,得(tsin α)2=8(2+tcos α),整理得sin2α·t2-8cos α·t-16=0. 由已知sin α≠0,Δ=(-8cos α)2-4×(-16)sin2α=64>0, ∴t1+t2=,t1t2=-<0, 故+=+ === = =. 25

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