2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學案 理

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1、2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學案 理 1．三角函數(shù)的定義 若角α的終邊過點P(x，y)，則sinα＝，cosα＝，tanα＝(其中r＝)． 2．誘導公式 (1)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)． (2)sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝＝tanα. (3)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα. (4)sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－c

2、osα，tan(π－α)＝－tanα. (5)sin＝cosα，cos＝sinα， sin＝cosα，cos＝－sinα. 3．基本關(guān)系 sin2x＋cos2x＝1，tanx＝. [對點訓練] 1．(2018·山東壽光一模)若角α的終邊過點A(2,1)，則 sin＝(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　根據(jù)三角函數(shù)的定義可知cosα＝＝，則sin＝－cosα＝－，故選A. [答案]　A 2．已知sin＝，則cos＝(　　) A．－ B. C. D．－ [解析]　cos＝cos ＝sin＝sin ＝－sin＝－sin＝－. [答案]　A 3

3、．已知P(sin40°，－cos140°)為銳角α終邊上的點，則α＝(　　) A．40° B．50° C．70° D．80° [解析]　∵P(sin40°，－cos140°)為角α終邊上的點，因而tanα＝＝＝＝tan50°，又α為銳角，則α＝50°，故選B. [答案]　B 4．(2018·福建泉州質(zhì)檢)已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________. [解析]　由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－. [

4、答案]?。? [快速審題]　(1)看到終邊上點的坐標，想到三角函數(shù)的定義． (2)看到三角函數(shù)求值，想到誘導公式及切弦互化． 誘導公式及三角函數(shù)關(guān)系式的應用策略 (1)已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解．轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應用． (2)對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的式子，結(jié)合誘導公式將角進行轉(zhuǎn)化． 考點二　三角函數(shù)的圖象與解析式 1．“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應的y的值，描點、連線

5、可得． 2．兩種圖象變換 [解析]　(1)∵f(x)＝cos＝sin＝sin，∴只需將函數(shù)g(x)＝sin的圖象向左平移個單位長度即可得到f(x)的圖象．故選C. (2)由＝π－π＝，得T＝π， 又知T＝，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)． 又知f＝－2，∴2sin＝－2， 即sin＝－1.∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)． ∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又∵－<φ<0，∴φ＝－. [答案]　(1)C　(2)－ 解決三角函數(shù)圖象問題的策略 (1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、

6、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． (2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向． [對點訓練] 1．[原創(chuàng)題]將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象上每一點的橫坐標先伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度得到y(tǒng)＝sinx的圖象，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z [解析]　解

7、法一：將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，則函數(shù)變?yōu)閥＝sin，再向左平移個單位長度得到的函數(shù)為y＝sin＝sin＝sinx，又ω>0，所以又－≤φ<，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故選C. 解法二：將y＝sinx的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)為y＝sin，將函數(shù)y＝sin的圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，則函數(shù)變?yōu)閥＝sin＝f(x)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故選C. [答案]　C 2．(2

8、018·湖北七市(州)3月聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈，x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝(　　) A．1 B. C. D. [解析]　由題圖知A＝1，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2＝π，所以＝π，即ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又因為點在圖象的上升段上，所以－＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin，可知在上，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱，因為x1，x2∈，f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝.故選D.

9、[答案]　D 考點三　三角函數(shù)的性質(zhì) 1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)； y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tanx的遞增區(qū)間是(k∈Z)． 2．三角函數(shù)的奇偶性與對稱性 y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得

10、． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)． 角度1：研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性 [解析]　∵f(x)的最小正周期為π，∴＝π，ω＝2， ∴f(x)的圖象向右平移個單位后得到g(x)＝sin＝sin的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴<，∴k＝－1，φ＝－，∴f(x)＝sin，當x＝時，2x－＝－， ∴A、C錯誤，當x＝時，2x－＝，∴B正確，D錯誤． [答案]　B [探究追問]　在本例中條件不變，若將“圖象關(guān)于原點對稱”改為“圖象關(guān)于y軸對稱”，則f(x)的圖象對稱性是怎樣的？ [

11、解析]　g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則－＋φ＝＋kπ，k∈Z，可求φ＝，∴f(x)＝sin，2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，令k＝1，則x＝，故選D. [答案]　D 角度2：求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值 [解]　(1)f(x)＝2cosωx·sinωx＋sin2ωx－cos2ωx ＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin. 由f(x)圖象的一個對稱中心，到最近的對稱軸的距離為，知·＝，即ω＝1.所以f(x)＝2sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z. 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)因為0≤x≤，所以－

12、≤2x－≤， 所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2. 即函數(shù)f(x)的值域為[－1,2]． 三角函數(shù)性質(zhì)問題的解題策略 (1)討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù)． (2)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間，是將ωx＋φ作為一個整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當A>0，ω<0時，需先利用誘導公式變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝－Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)

13、間． (3)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在某一區(qū)間的最值時，將ωx＋φ視為整體，借助正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解． [對點訓練] 1．[角度1](2018·內(nèi)蒙古赤峰二中三模)已知函數(shù)f(x)＝2sin－1，則下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A．f(x)的最小正周期為π B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．f(x)在區(qū)間上是增函數(shù) D．函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝2sin2x－1的圖象向右平移個單位長度得到 [解析]　對于函數(shù)f(x)＝2sin－1，由于它的最小正周期為π，故A項正確；當x＝時，f(x)＝2sin－1＝1，函數(shù)取得最大值，故f(x)的圖象關(guān)于

14、直線x＝對稱，故B項正確；當x在區(qū)間上時，2x－∈，故f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C項正確；由于把g(x)＝2sin2x－1的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)＝2sin2－1＝2sin－1的圖象，故D項錯誤．故選D. [答案]　D 2．[角度2](2018·河南濮陽一模)先將函數(shù)f(x)＝sinx的圖象上的各點向左平移個單位，再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?其中ω∈N*)，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的最大值為________． [解析]　由題意易知g(x)＝sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有k∈Z，即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z. 由12k－4≤8k＋可得k≤，當k

15、＝1時，ω∈，所以正整數(shù)ω的最大值為9. [答案]　9 1．(2018·天津卷)將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)(　　) A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減 [解析]　將y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為y＝sin＝sin2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以y＝sin2x的遞增區(qū)間為(k∈Z)，當k＝1時，y＝sin2x在上單調(diào)遞增，故選A. [答案]　A 2．(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a

16、]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A. B. C. D．π [解析]　f(x)＝cosx－sinx＝cos， 由題意得a>0，故－a＋<， 因為f(x)＝cos在[－a，a]是減函數(shù)，所以解得0

17、(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正確；由于f＝cos＝cosπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調(diào)，故D錯誤． [答案]　D 4．(2017·山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0. (1)求ω； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值． [解]　(1)因為f(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx ＝sinωx－cosωx ＝ ＝sin. 由題設(shè)知f＝

18、0，所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因為x∈， 所以x－∈， 當x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－. 高考對此部分內(nèi)容主要以選擇、填空題的形式考查，難度為中等偏下，大多出現(xiàn)在6～12或第14～15題位置上，命題的熱點主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題． 熱點課題7　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質(zhì)的綜合應用 [感悟體驗] 1．(2018·西

19、安三模)若將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向右平移φ個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小正值是(　　) A. B. C. D．－ [解析]　將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向右平移φ個單位長度后得到函數(shù)y＝2sin的圖象．因為所得圖象關(guān)于y軸對稱，所以－2φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－－(k∈Z)．當k＝－1時，φ＝.故選A. [答案]　A 2．(2018·湖南湘中高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數(shù)，若f(x)≤對x∈R恒成立，且f>f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z)

20、 [解析]　因為f(x)≤對x∈R恒成立，即＝＝1，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因為f>f(π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sinφ<0，所以φ＝－π＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin，所以由三角函數(shù)的單調(diào)性知2x－∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，故選C. [答案]　C 專題跟蹤訓練(十四) 一、選擇題 1．若sin＝－，且α∈，則sin(π－2α)＝(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　由sin＝cosα＝－，且α∈，得sinα＝，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－，故選D. [答案]　D 2．(2018·福州質(zhì)

21、量檢測)若將函數(shù)y＝3cos的圖象向右平移個單位長度，則平移后圖象的一個對稱中心是(　　) A. B. C. D. [解析]　將函數(shù)y＝3cos的圖象向右平移個單位長度，得y＝3cos＝3cos的圖象，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，當k＝0時，x＝，所以平移后圖象的一個對稱中心是，故選A. [答案]　A 3．(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知tanα＝－，則sinα·(sinα－cosα)＝(　　) A. B. C. D. [解析]　sinα·(sinα－cosα)＝sin2α－sinα·cosα＝＝，將tanα＝－代入，得原式＝＝，故選A. [答案

22、]　A 4．(2018·太原模擬試題)已知函數(shù)f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)在(0，π)上有且只有兩個零點，則實數(shù)ω的取值范圍為(　　) A. B. C. D. [解析]　f(x)＝2sin，設(shè)t＝ωx－，因為0

23、來的2倍，縱坐標不變 B．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變 C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變 D．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變 [解析]　由圖象可知，A＝1，最小正周期T＝π，所以ω＝2.將點代入y＝sin(2x＋φ)可得φ＝，所以y＝sin，故只需將y＝sinx的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的即可．故選D. [答案]　D 6．(2018·太原質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數(shù)f是偶函數(shù)，下

24、列判斷正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2π B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱 C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱 D．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增 [解析]　由題意得函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為2×＝π，所以＝π，解得ω＝2.因為函數(shù)f是偶函數(shù)，所以2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，因為|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin.函數(shù)f(x)的最小正周期為π，A錯誤；因為f＝sin＝－1≠0，所以B錯誤；因為f＝sin＝－≠±1，所以C錯誤；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

25、，k∈Z，令k＝1得函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，因為?，所以D正確．綜上所述，故選D. [答案]　D 二、填空題 7．(2018·河北滄州模擬)已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則＝________. [解析]　設(shè)點P(a,2a)(a≠0)為角θ終邊上任意一點，根據(jù)三角函數(shù)的定義有tanθ＝＝2，再根據(jù)誘導公式，得 ＝ ＝＝2. [答案]　2 8．(2018·河北石家莊一模)若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值為________． [解析]　f(x)＝s

26、in(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin，則由題意，知f＝2sin＝0，又因為0<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin2x，又因為函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在上的最小值為f＝－2sin＝－. [答案]　－ 9．已知函數(shù)f(x)＝sinωx－cosωx＋m(ω>0，x∈R，m是常數(shù))圖象上的一個最高點為，且與點距離最近的一個最低點是，則函數(shù)f(x)的解析式為__________________． [解析]　f(x)＝sinωx－cosωx＋m＝2sin＋m， 因為點和點分別是函數(shù)f(x)圖象上的最高點和最低點，且它們是相鄰

27、的， 所以＝＝－＝，且m＝，所以ω＝2，m＝－1.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin－1. [答案]　f(x)＝2sin－1 三、解答題 10．(2018·北京西城二模)已知函數(shù)f(x)＝tan. (1)求函數(shù)f(x)的定義域； (2)設(shè)β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值． [解]　(1)由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z. 所以函數(shù)f(x)的定義域是. (2)依題意，得tan＝2cos. 所以＝2sin. 整理得sin·＝0， 所以sin＝0或cos＝. 因為β∈(0，π)，所以β＋∈. 由sin＝0，得β＋＝π，即β＝； 由co

28、s＝，即β＋＝，即β＝. 所以β＝或β＝. 11．(2018·云南曲靖一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝2cosxsin＋sin2x＋sinxcosx. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期． (2)若f(x)－m＝0在恰有一實數(shù)根，求m的取值范圍． [解]　(1)函數(shù)f(x)＝2cosxsin＋sin2x＋sinxcosx＝2cosx＋sin2x＋sinxcosx＝2cosx·＋sin2x＋sinxcosx＝2sinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＝2sin. 故函數(shù)f(x)的最小正周期為＝π. (2)在x∈時，f(x)＝2sin的圖象如下． ∵f(0)＝

29、2sin＝－，f＝2sin＝0， ∴當方程f(x)－m＝0在恰有一實數(shù)根時，m的取值范圍為[－，0)∪{2}． 12．[原創(chuàng)題]已知函數(shù)f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋. (1)求f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程； (2)當x∈時，求f(x)的最小值和最大值． [解]　(1)由題意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－cos2x＋＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin2x－cos2x＋＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π； 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，則x＝＋(k∈Z)， 故所求圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)當0≤x≤時，－≤2x－≤. 由函數(shù)圖象(圖略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin＋≤. 故f(x)的最小值為0，最大值為.