(江蘇專版)2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題10 平面解析幾何學(xué)案
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1、 專題十 平面解析幾何 ———————命題觀察·高考定位——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第44頁(yè)) 1.(2016·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1的焦距是________. 2 [∵a2=7,b2=3,∴c2=a2+b2=7+3=10, ∴c=,∴2c=2.] 2.(2016·江蘇高考)如圖10-1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是橢圓+=1(a>b>0) 的右焦點(diǎn),直線y= 與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是________. 圖10-1 [由題意得B,C,∴=,=,∵·=0,因此c2-2+2=0?3c2=2a2?e=.] 3
2、.(2015·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________. (x-1)2+y2=2 [直線mx-y-2m-1=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,-1). 當(dāng)圓與直線相切于點(diǎn)(2,-1)時(shí),圓的半徑最大,此時(shí)半徑r滿足r2=(1-2)2+(0+1)2=2.] 4.(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q,其焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,則四邊形F1PF2Q的面積是________. 2 [如圖所示,雙曲線-y2=1的焦點(diǎn)為F1(-2,0),F(xiàn)
3、2(2,0), 所以|F1F2|=4. 雙曲線-y2=1的右準(zhǔn)線方程為x==, 漸近線方程為y=±x. 由得P. 同理可得Q. ∴|PQ|=, ∴S四邊形F1PF2Q=·|F1F2|·|PQ|=×4×=2.] 5.(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上.若·≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394068】 [-5,1] [法一:因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上, 所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,±)(-5≤x≤5). 因?yàn)锳(-12,0),B(0,6), 所以=(-
4、12-x,-)或=(-12-x,), =(-x,6-)或=(-x,6+). 因?yàn)椤ぁ?0,先取P(x,)進(jìn)行計(jì)算, 所以(-12-x)·(-x)+(-)(6-)≤20, 即2x+5≤. 當(dāng)2x+5≤0,即x≤-時(shí),上式恒成立; 當(dāng)2x+5≥0,即x≥-時(shí),(2x+5)2≤50-x2, 解得-≤x≤1,故x≤1. 同理可得P(x,-)時(shí),x≤-5. 又-5≤x≤5,所以-5≤x≤1. 故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[-5,1]. 法二:設(shè)P(x,y),則=(-12-x,-y),=(-x,6-y). ∵·≤20, ∴(-12-x)·(-x)+(-y)·(6-y)≤20,
5、 即2x-y+5≤0. 如圖,作圓O:x2+y2=50, 直線2x-y+5=0與⊙O交于E,F(xiàn)兩點(diǎn), ∵P在圓O上且滿足2x-y+5≤0, ∴點(diǎn)P在上. 由得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1, 又D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-5, ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為[-5,1].] 6.(2016·江蘇高考) 如圖10-2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4). 圖10-2 (1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程;
6、
(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得+=,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394069】
[解] 圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,
所以圓心M(6,7),半徑為5.
(1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0).
因?yàn)閳AN與x軸相切,與圓M外切,
所以0 7、BC=OA==2,
而MC2=d2+2,
所以25=+5,
解得m=5或m=-15.
故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).
因?yàn)锳(2,4),T(t,0),+=,
所以①
因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②
將①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.
于是點(diǎn)P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,
從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點(diǎn),
所以5-5≤≤5+5,
解得2-2≤ 8、t≤2+2.
因此,實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2-2,2+2].
[命題規(guī)律]
(1)題量穩(wěn)定:解析幾何在高考試卷中試題大約出現(xiàn)3個(gè)題目左右,其中填空題占兩道,解答題占一道;其所占平均分值為22分左右,所占平均分值比例約為14%.
(2)整體平衡,重點(diǎn)突出:重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考,直線與圓的方程,圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是高考命題的重點(diǎn).
主要集中在如下幾個(gè)類型:
①求曲線方程(類型確定,甚至給出曲線方程);
②直線、圓和圓錐曲線間的交點(diǎn)問(wèn)題(含切線問(wèn)題);
③與圓錐曲線定義有關(guān)的問(wèn)題(涉及焦半徑、焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形和準(zhǔn)線,利用余弦定理等);
④與曲線有關(guān)的最值問(wèn)題(含三角形和 9、四邊形面積);
⑤與曲線有關(guān)的幾何證明(圓線相切、四點(diǎn)共圓、對(duì)稱性或求對(duì)稱曲線、平行、垂直等);
⑥探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征(很少).
———————主干整合·歸納拓展———————
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第45頁(yè))
[第1步▕ 核心知識(shí)再整合]
1.直線的方程
點(diǎn)斜式:y-y1=k(x-x1); 截距式:y=kx+b;兩點(diǎn)式:=; 截距式:+=1;一般式:Ax+By+C=0,其中A、B不同時(shí)為0.
2.兩條直線的位置關(guān)系
(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等或兩直線斜率都不存在;
(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積為-1或一直線斜率不存在,另一直線斜率為零;
( 10、3)與已知直線Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)平行的直線系方程為Ax+By+m=0(C≠m);
(4)若給定的方程是一般式,即l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0,則有下列結(jié)論:
l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
(5)兩平行直線間距離公式:
Ax+By+C1=0(A≠0,B≠0)與Ax+By+C2=0(A≠0,B≠0,C1≠C2)的距離d=.
3.圓的方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心為(a,b),半徑為r.
(2)圓的一般方程:x2+y2+Dx 11、+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心為,半徑為r=.
4.直線與圓相關(guān)問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)三個(gè)定理:切線的性質(zhì)定理,切線長(zhǎng)定理,垂徑定理.
(2)兩個(gè)公式:點(diǎn)到直線的距離公式d=,弦長(zhǎng)公式|AB|=2(弦心距d).
5.圓錐曲線的定義
(1)橢圓:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)雙曲線:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)拋物線:|MF|=d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).
6.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)橢圓:+=1(a>b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或+=1(a>b>0)(焦點(diǎn)在y軸上);
(2)雙曲線:-=1(a> 12、0,b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或-=1(a>0,b>0)(焦點(diǎn)在y軸上);
(3)拋物線:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).
7.圓錐曲線的幾何性質(zhì)
(1)橢圓:e==.
(2)雙曲線:①e==;
②漸近線方程:y=±x或y=±x;
(3)拋物線:設(shè)y2=2px(p>0),C(x1,y1),D(x2,y2)為拋物線上的點(diǎn),F(xiàn)為其焦點(diǎn).
①焦半徑|CF|=x1+;
②過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|CD|=x1+x2+p;
③若直線CD過(guò)焦點(diǎn),則x1x2=,y1y2=-p2.
8.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法:
將直線方程 13、與橢圓方程聯(lián)立,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元二次方程.若Δ>0,則直線與橢圓相交;若Δ=0,則直線與橢圓相切;若Δ<0,則直線與橢圓相離.
(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法:
將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去y(或x),得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
①若a≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與雙曲線相交;當(dāng)Δ=0時(shí),直線與雙曲線相切;當(dāng)Δ<0時(shí),直線與雙曲線相離 .
②若a=0時(shí),直線與漸近線平行,與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).
(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法:
將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去y(或x),得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+ 14、by+c=0).
①當(dāng)a≠0時(shí),用Δ判定,方法同上.
②當(dāng)a=0時(shí),直線與拋物線的對(duì)稱軸平行,只有一個(gè)交點(diǎn).
9.有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題
有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題,應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系,“設(shè)而不求”;有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題,要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用,以簡(jiǎn)化運(yùn)算.
(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(zhǎng)|P1P2|=|x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|,其中求|x2-x1|與|y2-y1|時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,即作如下變形:
|x2-x1|=,
|y2-y1|=.
(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式 15、).
10.弦的中點(diǎn)問(wèn)題
有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題,應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”,“設(shè)而不求法”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.
[第2步▕ 高頻考點(diǎn)細(xì)突破]
直線方程
【例1】 已知直線3x+4y-3=0與直線6x+my+14=0平行,則它們之間的距離是________.
[解析] 由題意=,m=8,所以直線方程為6x+8y+14=0,即3x+4y+7=0,d==2.
[答案] 2
[規(guī)律方法] (1)若給定的方程是一般式,即l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0,則有下列結(jié)論:l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 給定兩條 16、直線l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,則有下列結(jié)論:l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1;
(2)求直線方程就是求出確定直線的幾何要素,即直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)和直線的傾斜角,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),只需求出直線的斜率和直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可.對(duì)于直線的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程,前者是直線的斜率和直線經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)確定直線,后者是兩點(diǎn)確定直線.
[舉一反三]
已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若l1⊥l2,則實(shí)數(shù)a的值是________.
0或-3 [由題意得:a+a(a+2)=0?a=0或a=-3.]
圓的方程及應(yīng)用
【例2】 ( 17、江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研) 如圖10-3所示,已知圓A的圓心在直線y=-2x上,且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱,又圓A與直線l1:x+2y+7=0相切,過(guò)點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M,N兩點(diǎn),Q是MN的中點(diǎn),直線l與l1相交于點(diǎn)P.
圖10-3
(1)求圓A的方程;
(2)當(dāng)|MN|=2時(shí),求直線l的方程;
(3)(+)·是否為定值?如果是,求出其定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394070】
[解] (1)由圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱知圓心A在直線x+y-1=0上,
由得A(-1,2),
設(shè)圓A的半 18、徑為R,因?yàn)閳AA與直線l1:x+2y+7=0相切,
所以R==2,
所以圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),易知x=-2符合題意,
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),
即kx-y+2k=0,連接AQ(圖略),則AQ⊥MN,
∵|MN|=2,
∴|AQ|==1,
由|AQ|==1,得k=,
∴直線l的方程為3x-4y+6=0,
∴所求直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0.
(3)∵AQ⊥BP,
∴·=0,
∴(+)·=2·=2(+)·=2(·+·)=2·,
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),得P,則=,又=(1 19、,2),
∴(+)·=2·=2·=-10.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),
由解得P,
∴=,
∴(+)·=2·=2·
=2=-10,
綜上所述,(+)·是定值,且為-10.
[規(guī)律方法] 求圓的方程一般有兩類方法:
(1)幾何法,通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程;
(2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù).其一般步驟:①根據(jù)題意選擇方程的形式:標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;②利用條件列出關(guān)于a,b,R,或D,E,F(xiàn)的方程組;③解出a,b,R,或D,E,F(xiàn)的值,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程,此外,根據(jù)條件 20、要盡量減少參數(shù)設(shè)方程,這樣可減少運(yùn)算量.
[舉一反三]
(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x-4)2+(y-8)2=1,圓C2:(x-6)2+(y+6)2=9.若圓心在x軸上的圓C同時(shí)平分圓C1和圓C2的圓周,則圓C的方程是________.
x2+y2=81 [由題意,圓C與圓C1和圓C2的公共弦分別為圓C1和圓C2的直徑,
設(shè)C(x,0),則(x-4)2+(0-8)2+1=(x-6)2+(0+6)2+9,∴x=0,
∴圓C的方程是x2+y2=81.]
直線與圓的位置關(guān)系
【例3】 (江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考) 21、直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|≥2,則k的取值范圍是________.
[解析] 由圓的方程得:圓心(2,3),半徑r=2,
∵圓心到直線y=kx+3的距離d=,|MN|≥2,
∴2=2≥2,
變形得:4-≥3,即4k2+4-4k2≥3k2+3,解得:-≤k≤,
則k的取值范圍是.
[答案]
[規(guī)律方法] 直線與圓的位置關(guān)系由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系確定,d=r相切;d 22、足勾股定理.圓的切線問(wèn)題一般利用d=r求解,但要注意切線斜率不存在的情形,與圓有關(guān)的最值,范圍問(wèn)題要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.直線與圓中常見(jiàn)的最值問(wèn)題:①圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值.②直線與圓相離,圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最值.③過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最值.④直線與圓相離,過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的切線,切線長(zhǎng)的最小值問(wèn)題.⑤兩圓相離,兩圓上點(diǎn)的距離的最值.
[舉一反三]
(2017·江蘇省無(wú)錫市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線l與圓x2+y2=5交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)在第一象限,且=2,則直線l的方程為_(kāi)_______.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):563940 23、71】
x-y-1=0 [由題意,設(shè)直線x=my+1與圓x2+y2=5聯(lián)立,可得(m2+1)y2+2my-4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y2=-2y1,y1+y2=-,y1y2=-,
聯(lián)立解得m=1,∴直線l的方程為x-y-1=0.]
圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
【例4】 (江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測(cè)試)如圖10-4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
圖10-4
+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(3,1)在橢圓上,△PF1F2的面積為2.
(1)①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
②若∠F1QF2=,求QF1·QF2的值.
24、
(2)直線y=x+k與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的值.
[解] (1)①由條件
可知+=1,c=2,
又a2=b2+c2,
所以a2=12,b2=4,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
②當(dāng)θ=時(shí),有
所以QF1·QF2=.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由,得4x2+6kx+3k2-12=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系及直線方程可知:
x1+x2=-,x1x2=,y1y2=,
因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則·=x1x2+y1y2=k2-6=0,
解得k=±,此時(shí)Δ=120>0,滿足條件,
因此k=±.
[規(guī)律方法] 25、(1)對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記,還要深入理解細(xì)節(jié)部分:比如橢圓的定義中要求+>,雙曲線的定義中要求<.
(2)求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法:(1)定義法;(2)待定系數(shù)法,①頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線,可設(shè)為y2=2ax或x2=2ay (a≠0),避開(kāi)對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論,此時(shí)a不具有p的幾何意義.②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為+=1(m>0,n>0),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為-=1(mn>0),這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算.
[舉一反三]
(江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)已知橢圓C:+=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn),點(diǎn)N是MF的中點(diǎn),O是橢圓的中 26、點(diǎn),ON=4,則點(diǎn)M到橢圓C的左準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______.
[設(shè)點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離為MF′,則MF′=2×4=8,由定義可知該點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離MF=10-8=2,由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可得點(diǎn)M到橢圓C的左準(zhǔn)線的距離為d===.]
圓錐曲線的幾何性質(zhì)
【例5】 (江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)恰好是雙曲線-=1的右焦點(diǎn),則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______.
[解析] 根據(jù)題意,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:y2=16x,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),
則雙曲線-=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),則c=4,
有12+b2=16,解可得b=2,
則雙曲線的方程 27、為-=1,
則該雙曲線的漸近線方程y=±x.
[答案] y=±x
[規(guī)律方法] 求橢圓、雙曲線的離心率,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值;在雙曲線中由于e2=1+2,故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān),求離心率的范圍問(wèn)題關(guān)鍵是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a,c的不等式,由這個(gè)不等式確定a,c的關(guān)系.
[舉一反三]
(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)如圖10-5,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A,B1,B2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的右、下、上頂點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn).若 28、B2F⊥AB1,則橢圓C的離心率是________.
圖10-5
[由題意得-×=-1?b2=ac?a2-c2=ac?1-e2=e,0<e<1?e=.]
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
【例6】 (江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)如圖10-6,橢圓C:
圖10-6
+=1(a>b>0),圓O:x2+y2=b2,過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l:y=kx+b分別交圓O、橢圓C于不同的兩點(diǎn)P、Q,設(shè)=λ.
(1)若點(diǎn)P(-3,0),點(diǎn)Q(-4,-1),求橢圓C的方程;
(2)若λ=3,求橢圓C的離心率e的取值范圍.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394072】
[解] (1)由P(- 29、3,0)在圓O:x2+y2=b2上,可得b=3.
又點(diǎn)Q在橢圓C上,得+=1,解得a2=18.
∴橢圓C的方程為+=1;
(2)聯(lián)立得x=0或xP=-,
聯(lián)立得x=0或xQ=-.
∵=λ,λ=3,∴=,
∴·=,即k2==4e2-1.
∵k2>0,∴4e2>1,得e>或e<-.
又0<e<1,∴<e<1.
[規(guī)律方法] (1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元二次方程.若Δ>0,則直線與橢圓相交;若Δ=0,則直線與橢圓相切;若Δ<0,則直線與橢圓相離.
(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法
將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立 30、,消去y或x,得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0,或ay2+by+c=0,若a≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與雙曲線相交;當(dāng)Δ=0時(shí),直線與雙曲線相切;當(dāng)Δ<0時(shí),直線與雙曲線相離;若a=0,直線與漸近線平行,與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).
(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法
將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去y或x,得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0,或ay2+by+c=0,當(dāng)a≠0時(shí),用Δ判定,方法同上;當(dāng)a=0時(shí),直線與拋物線的對(duì)稱軸平行,與拋物線有一個(gè)交點(diǎn).
拋物線y2=2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長(zhǎng)|AB|=x 31、1+x2+p.同樣可得拋物線y2=-2px,x2=2py,x2=-2py類似的性質(zhì).
(4)解決直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題方法是:設(shè)而不求,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)行整體代入.即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)時(shí),|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|,而|x1-x2|=.
[舉一反三]
(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)如圖10-7,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.
圖10-7
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為橢圓上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作OP的垂線交直線y=于點(diǎn)Q,求+的值.
[解] 32、 (1)由題意得,=,-c=1,
解得a=,c=1,b=1.
所以橢圓的方程為+y2=1.
(2)由題意知OP的斜率存在.
當(dāng)OP的斜率為0時(shí),OP=,OQ=,所以+=1.
當(dāng)OP的斜率不為0時(shí),設(shè)直線OP方程為y=kx.
由得(2k2+1)x2=2,解得x2=,所以y2=,
所以O(shè)P2=.
因?yàn)镺P⊥OQ,所以直線OQ的方程為y=-x.
由得x=-k,所以O(shè)Q2=2k2+2.
所以+=+=1.
綜上,可知+=1.
圓錐曲線中的范圍問(wèn)題
【例7】 (江蘇省南京市2017屆高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分 33、別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方),連接PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q,設(shè)=λ.
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為,且△PQF2的周長(zhǎng)為8,求橢圓C的方程;
(2)若PF2垂直于x軸,且橢圓C的離心率e∈,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
[解] (1) 因?yàn)镕1,F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點(diǎn),且P,Q為橢圓上的點(diǎn),
所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a,從而△PQF2的周長(zhǎng)為4a.
由題意,得4a=8,解得a=2.
因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為,所以+=1,
解得b2=3.
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)法一:因?yàn)镻F2⊥x軸,且P在x軸上方,故設(shè)P(c,y0),y0>0.
設(shè)Q(x1,y1 34、).
因?yàn)镻在橢圓上,所以+=1,解得y0=,即P.
因?yàn)镕1(-c,0),所以=,=(x1+c,y1).
由=λ,得-2c=λ(x1+c),-=λy1,
解得x1=-c,y1=-,所以Q.
因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,所以2e2+=1,
即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1,
因?yàn)棣耍?≠0,
所以(λ+3)e2=λ-1,從而λ==-3.
因?yàn)閑∈,所以≤e2≤,即≤λ≤5.
所以λ的取值范圍為.
法二 因?yàn)镻F2⊥x軸,且P在x軸上方,故設(shè)P(c,y0),y0>0.
因?yàn)镻在橢圓上,所以+=1,解得y0=,即P.
因?yàn)镕1(-c,0),故 35、直線PF1的方程為y=(x+c).
由得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0.
因?yàn)橹本€PF1與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)為P.設(shè)Q(x1,y1),
則x1+c=-,即-c-x1=.
因?yàn)椋溅耍?
所以λ======-3.
因?yàn)閑∈,所以≤e2≤,即≤λ≤5.
所以λ的取值范圍為.
[規(guī)律方法] (1)求范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù),通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍.在建立函數(shù)的過(guò)程中要根據(jù)題目的其他已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示,有時(shí)為了運(yùn)算的方便,在建立關(guān)系的過(guò)程中也可以采用多個(gè)變量,只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可,同時(shí)要特 36、別注意變量的取值范圍.
(2)求解特定字母取值范圍問(wèn)題的常用方法:①構(gòu)造不等式法:根據(jù)題設(shè)條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如:曲線的范圍、對(duì)稱性、位置關(guān)系等),建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組),然后解不等式(或不等式組),求得特定字母的取值范圍.②構(gòu)造函數(shù)法:根據(jù)題設(shè)條件,用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母,即建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù),然后研究該函數(shù)的值域或最值情況,從而得到特定字母的取值范圍.③數(shù)形結(jié)合法:研究特定字母所對(duì)應(yīng)的幾何意義,然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
[舉一反三]
(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知橢圓C:+=1(a 37、>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F(-1,0),左準(zhǔn)線為x=-2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn).
①若直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn)P,且滿足=λ,=μ,求證:λ+μ為常數(shù);
②若OA⊥OB(O為原點(diǎn)),求△AOB的面積的取值范圍.
[解] (1) ∵橢圓C:+=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F(-1,0),
左準(zhǔn)線為x=-2,
∴由題設(shè)知c=1,=2,a2=2c,
∴a2=2,b2=a2-c2=1,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)①由題設(shè)知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),則P(0,k),設(shè)A(x1 38、,y1),B(x2,y2),直線l代入橢圓得x2+2k2(x+1)2=2,
整理,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
由=λ,=μ,知λ=,μ=,
∴λ+μ=-
=-
=-=-4(定值).
∴λ+μ為常數(shù)-4.
②當(dāng)直線OA,OB分別與坐標(biāo)軸重合時(shí),△AOB的面積S△AOB=,當(dāng)直線OA,OB的斜率均存在且不為零時(shí),設(shè)OA:y=kx,OB:y=-x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=kx代入橢圓C,得到x2+2k2x2=2,
∴x=,y=,
同理,x=,y=,
△AOB的面積S△AOB==,
令t=k2+1∈[1,+ 39、∞),則S△AOB==,
令μ=∈(0,1],則S△AOB==∈.
綜上所述,△AOB的面積的取值范圍是.
圓錐曲線中的存在性問(wèn)題
【例8】 (淮安市2014-2015學(xué)年度第二學(xué)期高二調(diào)查測(cè)試)已知橢圓M:+=1(a>b>0),點(diǎn)F1(-1,0)、C(-2,0)分別是橢圓M的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1的直線l(不與x軸重合)交M于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若A(0,),求△AOB的面積;
(3)是否存在直線l,使得點(diǎn)B在以線段F1C為直徑的圓上,若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
[解] (1)由F1(-1,0)、C(-2,0)得:a=2, 40、b=,
所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1;
(2)因?yàn)锳(0,),F(xiàn)1(-1,0),所以過(guò)A,F(xiàn)1的直線l的方程為:+=1,
即x-y+=0,
解方程組得y1=,y2=-,
S△ABC=×1×|y1-y2|=;
(3)設(shè)B(x0,y0)(-2<x0<2),則+=1.因?yàn)镃(-2,0),F(xiàn)1(-1,0),
所以·=(-1-x0,-y0)·(-2-x0,-y0)=2+3x0+x+y
=x+3x0+5=0,
解得:x0=-2或-10,
又因?yàn)椋?<x0<2,所以點(diǎn)B不在以F1C為直徑的圓上,
即不存在直線l,使得點(diǎn)B在以F1C為直徑的圓上.
[規(guī)律方法] (1)求解存在性問(wèn)題時(shí), 41、通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算,若不出現(xiàn)矛盾,并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值,就說(shuō)明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在;若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾,則說(shuō)明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在,同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程.
(2)解決存在性問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論;②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件;③當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要思維開(kāi)放,采取另外的途徑.
(3)解決存在性問(wèn)題的解題步驟:第一步:先假設(shè)存在,引入?yún)⒆兞?,根?jù)題目條件列出關(guān)于參變 42、量的方程(組)或不等式(組);第二步:解此方程(組)或不等式(組),若有解則存在,若無(wú)解則不存在;第三步:得出結(jié)論.
[舉一反三]
(江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,1),P是動(dòng)點(diǎn),且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA.
圖10-8
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn),且=λ,直線OP與QA交于點(diǎn)M.
問(wèn):是否存在點(diǎn)P,使得△PQA和△PAM的面積滿足SPQA=2S△PAM?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394073】
[解] ( 43、1)設(shè)點(diǎn)P(x,y).∵kOP+kOA=kPA,∴+(-1)=,化為y=x2(x≠0且x≠-1).
即為點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(x1,x),Q(x2,x),使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM,
①如圖所示,點(diǎn)M為線段AQ的中點(diǎn).
∵=λ,∴PQ∥OA,得kPQ=kAO=-1.
∴
解得
此時(shí)P(-1,1),Q(0,0)分別與A,O重合,因此不符合題意.
故假設(shè)不成立,此時(shí)不存在滿足條件的點(diǎn)P.
②如圖所示,當(dāng)點(diǎn)M在QA的延長(zhǎng)線時(shí),由S△PQA=2S△PAM,可得=2,
∵=λ,∴=2,PQ∥OA.
由PQ∥OA,可得kPQ=kA 44、O=-1.
設(shè)M(m,n).
由=2,=2,
可得:-1-x2=2(m+1),-x1=2m,
化為x1-x2=3.
聯(lián)立
解得
此時(shí),P(1,1)滿足條件.
綜上可知:P(1,1)滿足條件.
圓錐曲線中的定值問(wèn)題
【例9】 (2017·江蘇省無(wú)錫市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為,橢圓的右頂點(diǎn)為A.
圖10-9
(1)求該橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)D(,-)作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,求證:直線AP,AQ的斜率之和為定值.
[解] (1)由題意可知:橢圓+=1(a>b>0),焦點(diǎn)在x軸上,2c=1 45、,c=1,
橢圓的離心率e==,則a=,b2=a2-c2=1,
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1;
(2)證明:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),A(,0),
由題意PQ的方程:y=k(x-)-,
則整理得:(2k2+1)x2-(4k2+4k)x+4k2+8k+2=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系可知:x1+x2=,x1x2=,
則y1+y2=k(x1+x2)-2k-2
=,
則kAP+kAQ=+
=,
由y1x2+y2x1=[k(x1-)-]x2+[k(x2-)-]x1=2kx1x2-(k+)(x1+x2)=-,
kAP+kAQ=
==1,
∴直線AP,AQ的斜率之和為定值 46、1.
[規(guī)律方法] (1)解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,而始終是一個(gè)確定的值.
(2)求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種:①?gòu)奶厥馊胧?,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);②直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.
(3)定點(diǎn)、定值問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量,那么就可以用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值,就是要求的定點(diǎn)、定值.化解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線 47、方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.
[舉一反三]
(江蘇省南京市2017屆高考三模)如圖10-10,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,M是線段AB的中點(diǎn),且·=-b2.
圖10-10
(1)求橢圓的離心率;
(2)若a=2,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓,AB∥CD,記直線AD,BC的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.
[解] (1)A(a,0),B(0,b),線段AB的中點(diǎn)M.
=(-a,b),=.
∵·=-b2.
∴-+b2=-b2,化為:a=2b.
∴橢圓的離心率e== 48、=.
(2)證明:由a=2,可得b=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1,A(2,0),B(0,1).
設(shè)直線BC的方程為y=k2x+1,聯(lián)立化為:(1+4k)x2+8k2x=0,
解得xC=,∴yC=.即C.
直線AD的方程為y=k1(x-2),聯(lián)立化為(1+4k)x2-16kx+16k-4=0,
∴2xD=,解得xD=,yD=,可得D,
∴kCD==-,化為:1-16kk+2k1-2k2+8k1k-8k2k=0.
∴(4k1k2+4k1-4k2+1)=0,
∴k1k2=.
圓錐曲線中的最值問(wèn)題
【例10】 如圖10-11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1
49、(a>b>0)的左,右頂點(diǎn)分別為A1(-,0),A2(,0),若直線3x+4y+5=0上有且僅有一個(gè)點(diǎn)M,使得∠F1MF2=90°.
圖10-11
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)圓T的圓心T(0,t)在x軸上方,且圓T經(jīng)過(guò)橢圓C兩焦點(diǎn).點(diǎn)P,Q分別為橢圓C和圓T上的一動(dòng)點(diǎn).若·=0時(shí),PQ取得最大值為,求實(shí)數(shù)t的值.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394074】
[解] (1)因?yàn)闄E圓C:+=1(a>b>0)左,右頂點(diǎn)分別為A1(-,0),A2(,0),所以a2=2.
又因?yàn)橹本€3x+4y+5=0上恰存在一個(gè)點(diǎn)M,使得∠F1MF2=90°,
即以原點(diǎn)O為圓心,半徑為r=OF1=c作圓 50、O,使得圓O與直線3x+4y+5=0相切即可(圖略).
又圓心O到直線3x+4y+5=0的距離d==1,
所以c=1,b2=a2-c2=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1;
(2)設(shè)P(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以有+y=1,因?yàn)閳AT的圓心T(0,t)在x軸上方,且圓T經(jīng)過(guò)橢圓C兩焦點(diǎn),所以圓T的方程為x2+(y-t)2=t2+1(t>0),由·=0得PQ2=PT2-QT2=x+(y0-t)2-(t2+1),又+y=1,所以PQ2=-(y0+t)2+t2+1,
①當(dāng)-t≤-1即t≥1時(shí),當(dāng)y0=-1時(shí),PQ取得最大值,因?yàn)镻Q的最大值為,所以=,解得t=,又t≥1,故舍去.
51、
②當(dāng)-t>-1即0<t<1時(shí),當(dāng)y0=-t時(shí),PQ取最大值,
所以=,解得t2=,又0<t<1,所以t=.
綜上,當(dāng)t=時(shí),PQ的最大值為.
[規(guī)律方法] (1)圓錐曲線中的最值問(wèn)題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何方法,即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解;二是利用代數(shù)方法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.
(2)常見(jiàn)的幾何方法有:①直線外一定點(diǎn)P到直線上各點(diǎn)距離的最小值為該點(diǎn)P到直線的垂線段的長(zhǎng)度;②圓C外一定點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)距離的最大值為|PC|+ 52、R,最小值為|PC|-R(R為圓C半徑);③過(guò)圓C內(nèi)一定點(diǎn)P的圓的最長(zhǎng)的弦即為經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑,最短的弦為過(guò)P點(diǎn)且與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)直徑垂直的弦;④圓錐曲線上本身存在最值問(wèn)題,如a.橢圓上兩點(diǎn)間最大距離為2a(長(zhǎng)軸長(zhǎng));b.雙曲線上兩點(diǎn)間最小距離為2a(實(shí)軸長(zhǎng));c.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[a-c,a+c],a-c與a+c分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最小與最大距離;d.拋物線中頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最近.
(3)常用的代數(shù)方法有:a.利用二次函數(shù)求最值;b.通過(guò)三角換元,利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值;c.利用基本不等式求最值;d.利用導(dǎo)數(shù)法求最值;e.利用函數(shù)單調(diào)性求最值.
[舉一反三 53、]
已知圓M:x2+(y-4)2=4,點(diǎn)P是直線l:x-2y=0上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B.
(1)當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為2時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若△PAM的外接圓為圓N,試問(wèn):當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí),圓N是否過(guò)定點(diǎn)?若存在,求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)求線段AB長(zhǎng)度的最小值.
[解] (1)由題可知,圓M的半徑r=2,設(shè)P(2b,b),
因?yàn)镻A是圓M的一條切線,所以∠MAP=90°,
所以MP===4,解得b=0或b=,
所以P(0,0)或P.
(2)設(shè)P(2b,b),因?yàn)椤螹AP=90°,所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑,
54、
其方程為:(x-b)2+2=,
即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0,
由
解得或
所以圓過(guò)定點(diǎn)(0,4),.
(3)因?yàn)閳AN方程為(x-b)2+2=,
即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0.
圓M:x2+(y-4)2=4,即x2+y2-8y+12=0.
②-①得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為
2bx+(b-4)y+12-4b=0,
點(diǎn)M到直線AB的距離d=.
相交弦長(zhǎng)即:AB=2=4=4,b=時(shí),AB有最小值.
[第3步▕ 高考易錯(cuò)明辨析]
1.忽視直線斜率不存在的情況
已知圓C的方程為x2+y2=4,直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2),且與圓 55、C交于A、B兩點(diǎn).若|AB|=2,求直線l的方程.
[錯(cuò)解] 方程可設(shè)為y-2=k(x-1),又設(shè)圓心到直線l的距離為d.
由d2=r2-2,得k=,
代入y-2=k(x-1),得y-2=(x-1),
即3x-4y+5=0.所以直線l的方程為3x-4y+5=0.
[錯(cuò)解分析] 在利用直線的點(diǎn)斜式與斜截式解題時(shí),要防止由于“無(wú)斜率”而漏解,本題就是忽略斜率不存在導(dǎo)致圓的切線方程只有一條.
[正解] (1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),畫出圖象可知,直線x=1也符合題意.
(2)當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí),其方程可設(shè)為y-2=k(x-1),又設(shè)圓心到直線l的距離為d.
由d2=r2-2,得k 56、=,代入y-2=k(x-1),得y-2=(x-1),
即3x-4y+5=0.所以直線l的方程為3x-4y+5=0和x=1.
2.忽略對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷的情況
已知雙曲線x2-=1,問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(1,1)能否作直線l,使l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),并且A為線段PQ的中點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說(shuō)明理由.
[錯(cuò)解] 設(shè)符合題意的直線l存在,并設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),
則
①-②得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),③
因?yàn)锳(1,1)為線段PQ的中點(diǎn),所以
將④⑤代入③得x1-x2=(y1-y2),若x1≠x2,則直線l的斜 57、率k==2,
所以符合題設(shè)條件的直線l存在,其方程為2x-y-1=0.
[錯(cuò)解分析] 由于點(diǎn)A(1,1)在雙曲線外,過(guò)點(diǎn)A(1,1)的直線,不一定都與雙曲線相交,故應(yīng)對(duì)所求直線進(jìn)行檢驗(yàn),上述錯(cuò)解沒(méi)有做到這一點(diǎn),故是錯(cuò)誤的.
[正解] 設(shè)符合題意的直線l存在,并設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),則
①-②得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),③
因?yàn)锳(1,1)為線段PQ的中點(diǎn),所以
將④⑤代入③得x1-x2=(y1-y2),
若x1≠x2,則直線l的斜率k==2,
再由得2x2-4x+3=0,
根據(jù)Δ=-8<0,說(shuō)明所求直線不存在.
3.忽略對(duì)定 58、義的理解的情況
已知圓O1:x2+y2=1,圓O2:x2+y2-10x+9=0都內(nèi)切于動(dòng)圓,試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.
[錯(cuò)解] 圓O2:x2+y2-10x+9=0,即為(x-5)2+y2=16,
所以圓O2的圓心為O2(5,0),半徑r2=4,而圓O1:x2+y2=1的圓心為O1(0,0),半徑r1=1,
設(shè)所求動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r,則r=|O1M|+1且r=|O2M|+4,所以|O1M|-|O2M|=3,
即-=3,化簡(jiǎn)得16x2-80x-9y2+64=0,
即-=1為所求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.
[錯(cuò)解分析] 上述解法將|O1M|-|O2M|=3看成||O1M| 59、-|O2M||=3,誤認(rèn)為動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線,這是雙曲線的概念不清所致.
[正解] 圓O2:x2+y2-10x+9=0,即為(x-5)2+y2=16,
所以圓O2的圓心為O2(5,0),半徑r2=4,而圓O1:x2+y2=1的圓心為O1(0,0),半徑r1=1,
設(shè)所求動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r,則r=|O1M|+1且r=|O2M|+4,所以|O1M|-|O2M|=3,即-=3,化簡(jiǎn)得16x2-80x-9y2+64=0,又因?yàn)閨O1M|-|O2M|=3,表示動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)O1及O2的距離差為常數(shù)3.
且|O1O2|=5>3,點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右支,方程為-=1(x≥4). 60、
4.忽略直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行只有一個(gè)交點(diǎn)
過(guò)點(diǎn)(0,3)作直線l,如果它與雙曲線-=1只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線l的條數(shù)是________.
[錯(cuò)解] 2
[錯(cuò)解分析] 在探討直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí),可以考慮直線方程與雙曲線方程的解的情況,但容易忽視直線與漸進(jìn)線平行的特殊情況,這時(shí)構(gòu)成的方程是一次的.
直線與雙曲線的位置關(guān)系分為:相交、相離、相切三種.其判定方法有兩種:一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元二次方程ax2+bx+c=0.
若a≠0,Δ>0,直線與雙曲線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);若a=0,直線與漸進(jìn)線平行,有一個(gè)交點(diǎn).
若a≠0,Δ=0,直線與雙曲 61、線相切,有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
若a≠0,Δ<0,直線與雙曲線相離,沒(méi)有公共點(diǎn).
二是可以利用數(shù)形結(jié)合的思想.
[正解] 用數(shù)形結(jié)合的方法:過(guò)點(diǎn)(0,3)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線分兩類.一類是平行于漸進(jìn)線的,有兩條;一類是與雙曲線相切的有兩條.如圖所示:
故填4.
———————專家預(yù)測(cè)·鞏固提升———————
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第53頁(yè))
1.(改編題)已知拋物線y2=4x與雙曲線-=1(a>0,b>0)有相同的焦點(diǎn)F,點(diǎn)A,B是兩曲線的交點(diǎn),若(+)·=0,則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.
+1 [因?yàn)閽佄锞€y2=4x與雙曲線-=1(a>0,b>0)有相同的焦點(diǎn)F,點(diǎn) 62、A,B是兩曲線的交點(diǎn),且(+)·=0,由二次曲線對(duì)稱性可得,AF⊥x軸,所以F(1,0),AF=2,A(1,2),則
解得a=-1,所以e===+1.]
2.(改編題)已知拋物線y2=2px(p>0),過(guò)其焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.
x=-2 [因?yàn)橹本€傾斜角為135°,故它的斜率為-1,又∵焦點(diǎn)為,
∴設(shè)直線為y=-,
∵直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),∴∴消參得4x2-12px+p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=3p,
∵線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6,
∴=6,∴ 63、p=4,
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2.]
3.(改編題)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0),兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖10-12,動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l,F(xiàn)2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394075】
圖10-12
[解] (1)橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0),所以半焦距c=1,又因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,所以=,解得a=2,b=,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1; 4分 64、
(2)將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,
Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡(jiǎn)得:m2=4k2+3. 6分
設(shè)d1=|F1M|=,d2=|F2N|=,
法一:當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)直線l的傾斜角為θ,則|d1-d2|=|MN|×|tan θ|,
∴|MN|=,S=(d1+d2)====,
8分
∵m2=4k2+3,∴當(dāng)k≠0時(shí),|m|>,|m|+>+=,S<2.
當(dāng)k=0時(shí),四邊形F1MNF2是矩形,S=2.
所以四邊形F1MNF2面積S的最 65、大值為2. 12分
法二:∵d+d=2+2==,
d1d2=·===3.
∴|MN|=
==. 8分
四邊形F1MNF2的面積
S=|MN|(d1+d2)=(d1+d2),
S2=(d+d+2d1d2)==16-42≤12.
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),S2=12,S=2,故Smax=2.
所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值為2. 12分
4.(改編題)設(shè)定圓M:(x+)2+y2=16,動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F(,0)且與圓M相切,記動(dòng)圓N圓心N的軌跡為N.過(guò)曲線N上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸,垂足為Q,點(diǎn)C在QP的延長(zhǎng)線上,且|QP|=|PC|.
(1)求動(dòng)圓N圓心N的軌跡N與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的 66、方程;
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A,B,直線AC(C點(diǎn)不同于A,B)與直線x=2交于點(diǎn)R,D為線段RB的中點(diǎn).試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
[解] (1)∵點(diǎn)F(,0)在圓M:(x+)2+y2=16內(nèi),∴圓N內(nèi)切于圓M,
∴|NM|+|NF|=4>|FM|,
∴點(diǎn)N的軌跡N的方程為+y2=1.
設(shè)C(x,y),P(x0,y0),由題意得
即又+y=1,
代入得+2=1,
即x2+y2=4.
即動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為x2+y2=4.6分
(2)設(shè)C(m,n),點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,t),
∵A,C,R三點(diǎn)共線,∴∥,而=(m+2,n),=(4,t),則4n=t(m+2),∴t=,8分
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為,點(diǎn)D的坐標(biāo)為,
∴直線CD的斜率為k===,而m2+n2=4,
∴m2-4=-n2,∴k==-,10分
∴直線CD的方程為y-n=-(x-m),化簡(jiǎn)得mx+ny-4=0,
∴圓心O到直線CD的距離d===2=r,所以直線CD與圓O相切.
32
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