(江蘇專版)2018年高考數(shù)學二輪復習 第1部分 知識專題突破 專題10 平面解析幾何學案

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1、 專題十 平面解析幾何 ———————命題觀察·高考定位——————— (對應學生用書第44頁) 1.(2016·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-=1的焦距是________. 2 [∵a2=7,b2=3,∴c2=a2+b2=7+3=10, ∴c=,∴2c=2.] 2.(2016·江蘇高考)如圖10-1,在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是橢圓+=1(a>b>0) 的右焦點,直線y= 與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是________. 圖10-1  [由題意得B,C,∴=,=,∵·=0,因此c2-2+2=0?3c2=2a2?e=.] 3

2、.(2015·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為__________. (x-1)2+y2=2 [直線mx-y-2m-1=0經過定點(2,-1). 當圓與直線相切于點(2,-1)時,圓的半徑最大,此時半徑r滿足r2=(1-2)2+(0+1)2=2.] 4.(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-y2=1的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P,Q,其焦點是F1,F(xiàn)2,則四邊形F1PF2Q的面積是________. 2 [如圖所示,雙曲線-y2=1的焦點為F1(-2,0),F(xiàn)

3、2(2,0), 所以|F1F2|=4. 雙曲線-y2=1的右準線方程為x==, 漸近線方程為y=±x. 由得P. 同理可得Q. ∴|PQ|=, ∴S四邊形F1PF2Q=·|F1F2|·|PQ|=×4×=2.] 5.(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若·≤20,則點P的橫坐標的取值范圍是________. 【導學號:56394068】 [-5,1] [法一:因為點P在圓O:x2+y2=50上, 所以設P點坐標為(x,±)(-5≤x≤5). 因為A(-12,0),B(0,6), 所以=(-

4、12-x,-)或=(-12-x,), =(-x,6-)或=(-x,6+). 因為·≤20,先取P(x,)進行計算, 所以(-12-x)·(-x)+(-)(6-)≤20, 即2x+5≤. 當2x+5≤0,即x≤-時,上式恒成立; 當2x+5≥0,即x≥-時,(2x+5)2≤50-x2, 解得-≤x≤1,故x≤1. 同理可得P(x,-)時,x≤-5. 又-5≤x≤5,所以-5≤x≤1. 故點P的橫坐標的取值范圍為[-5,1]. 法二:設P(x,y),則=(-12-x,-y),=(-x,6-y). ∵·≤20, ∴(-12-x)·(-x)+(-y)·(6-y)≤20,

5、 即2x-y+5≤0. 如圖,作圓O:x2+y2=50, 直線2x-y+5=0與⊙O交于E,F(xiàn)兩點, ∵P在圓O上且滿足2x-y+5≤0, ∴點P在上. 由得F點的橫坐標為1, 又D點的橫坐標為-5, ∴P點的橫坐標的取值范圍為[-5,1].] 6.(2016·江蘇高考) 如圖10-2,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4). 圖10-2 (1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程; (2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程;

6、 (3)設點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得+=,求實數(shù)t的取值范圍. 【導學號:56394069】 [解] 圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25, 所以圓心M(6,7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設N(6,y0). 因為圓N與x軸相切,與圓M外切, 所以0

7、BC=OA==2, 而MC2=d2+2, 所以25=+5, 解得m=5或m=-15. 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)設P(x1,y1),Q(x2,y2). 因為A(2,4),T(t,0),+=, 所以① 因為點Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.② 將①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點, 所以5-5≤≤5+5, 解得2-2≤

8、t≤2+2. 因此,實數(shù)t的取值范圍是[2-2,2+2]. [命題規(guī)律] (1)題量穩(wěn)定:解析幾何在高考試卷中試題大約出現(xiàn)3個題目左右,其中填空題占兩道,解答題占一道;其所占平均分值為22分左右,所占平均分值比例約為14%. (2)整體平衡,重點突出:重點內容重點考,直線與圓的方程,圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質等是高考命題的重點. 主要集中在如下幾個類型: ①求曲線方程(類型確定,甚至給出曲線方程); ②直線、圓和圓錐曲線間的交點問題(含切線問題); ③與圓錐曲線定義有關的問題(涉及焦半徑、焦點弦、焦點三角形和準線,利用余弦定理等); ④與曲線有關的最值問題(含三角形和

9、四邊形面積); ⑤與曲線有關的幾何證明(圓線相切、四點共圓、對稱性或求對稱曲線、平行、垂直等); ⑥探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征(很少). ———————主干整合·歸納拓展——————— (對應學生用書第45頁) [第1步▕ 核心知識再整合] 1.直線的方程 點斜式:y-y1=k(x-x1); 截距式:y=kx+b;兩點式:=; 截距式:+=1;一般式:Ax+By+C=0,其中A、B不同時為0. 2.兩條直線的位置關系 (1)兩直線平行?兩直線的斜率相等或兩直線斜率都不存在; (2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積為-1或一直線斜率不存在,另一直線斜率為零; (

10、3)與已知直線Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)平行的直線系方程為Ax+By+m=0(C≠m); (4)若給定的方程是一般式,即l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0,則有下列結論: l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. (5)兩平行直線間距離公式: Ax+By+C1=0(A≠0,B≠0)與Ax+By+C2=0(A≠0,B≠0,C1≠C2)的距離d=. 3.圓的方程 (1)圓的標準方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心為(a,b),半徑為r. (2)圓的一般方程:x2+y2+Dx

11、+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心為,半徑為r=. 4.直線與圓相關問題的兩個關鍵點 (1)三個定理:切線的性質定理,切線長定理,垂徑定理. (2)兩個公式:點到直線的距離公式d=,弦長公式|AB|=2(弦心距d). 5.圓錐曲線的定義 (1)橢圓:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)雙曲線:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)拋物線:|MF|=d(d為M點到準線的距離). 6.圓錐曲線的標準方程 (1)橢圓:+=1(a>b>0)(焦點在x軸上)或+=1(a>b>0)(焦點在y軸上); (2)雙曲線:-=1(a>

12、0,b>0)(焦點在x軸上)或-=1(a>0,b>0)(焦點在y軸上); (3)拋物線:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0). 7.圓錐曲線的幾何性質 (1)橢圓:e==. (2)雙曲線:①e==; ②漸近線方程:y=±x或y=±x; (3)拋物線:設y2=2px(p>0),C(x1,y1),D(x2,y2)為拋物線上的點,F(xiàn)為其焦點. ①焦半徑|CF|=x1+; ②過焦點的弦長|CD|=x1+x2+p; ③若直線CD過焦點,則x1x2=,y1y2=-p2. 8.直線與圓錐曲線的位置關系 (1)直線與橢圓的位置關系的判定方法: 將直線方程

13、與橢圓方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到一個一元二次方程.若Δ>0,則直線與橢圓相交;若Δ=0,則直線與橢圓相切;若Δ<0,則直線與橢圓相離. (2)直線與雙曲線的位置關系的判定方法: 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去y(或x),得到一個一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). ①若a≠0,當Δ>0時,直線與雙曲線相交;當Δ=0時,直線與雙曲線相切;當Δ<0時,直線與雙曲線相離 . ②若a=0時,直線與漸近線平行,與雙曲線有一個交點. (3)直線與拋物線的位置關系的判定方法: 將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去y(或x),得到一個一元方程ax2+bx+c=0(或ay2+

14、by+c=0). ①當a≠0時,用Δ判定,方法同上. ②當a=0時,直線與拋物線的對稱軸平行,只有一個交點. 9.有關弦長問題 有關弦長問題,應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關系,“設而不求”;有關焦點弦長問題,要重視圓錐曲線定義的運用,以簡化運算. (1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長|P1P2|=|x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|,其中求|x2-x1|與|y2-y1|時通常使用根與系數(shù)的關系,即作如下變形: |x2-x1|=, |y2-y1|=. (2)當斜率k不存在時,可求出交點坐標,直接運算(利用兩點間距離公式

15、). 10.弦的中點問題 有關弦的中點問題,應靈活運用“點差法”,“設而不求法”來簡化運算. [第2步▕ 高頻考點細突破] 直線方程 【例1】 已知直線3x+4y-3=0與直線6x+my+14=0平行,則它們之間的距離是________. [解析] 由題意=,m=8,所以直線方程為6x+8y+14=0,即3x+4y+7=0,d==2. [答案] 2 [規(guī)律方法] (1)若給定的方程是一般式,即l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0,則有下列結論:l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 給定兩條

16、直線l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,則有下列結論:l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1; (2)求直線方程就是求出確定直線的幾何要素,即直線經過的點和直線的傾斜角,當直線的斜率存在時,只需求出直線的斜率和直線經過的點即可.對于直線的點斜式方程和兩點式方程,前者是直線的斜率和直線經過的一點確定直線,后者是兩點確定直線. [舉一反三] 已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若l1⊥l2,則實數(shù)a的值是________. 0或-3 [由題意得:a+a(a+2)=0?a=0或a=-3.] 圓的方程及應用 【例2】 (

17、江蘇省如東高級中學2017屆高三上學期第二次學情調研) 如圖10-3所示,已知圓A的圓心在直線y=-2x上,且該圓存在兩點關于直線x+y-1=0對稱,又圓A與直線l1:x+2y+7=0相切,過點B(-2,0)的動直線l與圓A相交于M,N兩點,Q是MN的中點,直線l與l1相交于點P. 圖10-3 (1)求圓A的方程; (2)當|MN|=2時,求直線l的方程; (3)(+)·是否為定值?如果是,求出其定值;如果不是,請說明理由. 【導學號:56394070】 [解] (1)由圓存在兩點關于直線x+y-1=0對稱知圓心A在直線x+y-1=0上, 由得A(-1,2), 設圓A的半

18、徑為R,因為圓A與直線l1:x+2y+7=0相切, 所以R==2, 所以圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20. (2)當直線l與x軸垂直時,易知x=-2符合題意, 當直線l與x軸不垂直時,設直線l的方程為y=k(x+2), 即kx-y+2k=0,連接AQ(圖略),則AQ⊥MN, ∵|MN|=2, ∴|AQ|==1, 由|AQ|==1,得k=, ∴直線l的方程為3x-4y+6=0, ∴所求直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0. (3)∵AQ⊥BP, ∴·=0, ∴(+)·=2·=2(+)·=2(·+·)=2·, 當直線l與x軸垂直時,得P,則=,又=(1

19、,2), ∴(+)·=2·=2·=-10. 當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x+2), 由解得P, ∴=, ∴(+)·=2·=2· =2=-10, 綜上所述,(+)·是定值,且為-10. [規(guī)律方法] 求圓的方程一般有兩類方法: (1)幾何法,通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系,進而求得圓的基本量和方程; (2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設出圓的方程,再由條件求得各系數(shù).其一般步驟:①根據(jù)題意選擇方程的形式:標準方程或一般方程;②利用條件列出關于a,b,R,或D,E,F(xiàn)的方程組;③解出a,b,R,或D,E,F(xiàn)的值,代入標準方程或一般方程,此外,根據(jù)條件

20、要盡量減少參數(shù)設方程,這樣可減少運算量. [舉一反三] (2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學二模)在平面直角坐標系xOy中,已知圓C1:(x-4)2+(y-8)2=1,圓C2:(x-6)2+(y+6)2=9.若圓心在x軸上的圓C同時平分圓C1和圓C2的圓周,則圓C的方程是________. x2+y2=81 [由題意,圓C與圓C1和圓C2的公共弦分別為圓C1和圓C2的直徑, 設C(x,0),則(x-4)2+(0-8)2+1=(x-6)2+(0+6)2+9,∴x=0, ∴圓C的方程是x2+y2=81.] 直線與圓的位置關系 【例3】 (江蘇省泰州中學2017屆高三上學期第二次月考)

21、直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥2,則k的取值范圍是________. [解析] 由圓的方程得:圓心(2,3),半徑r=2, ∵圓心到直線y=kx+3的距離d=,|MN|≥2, ∴2=2≥2, 變形得:4-≥3,即4k2+4-4k2≥3k2+3,解得:-≤k≤, 則k的取值范圍是. [答案]  [規(guī)律方法] 直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離d與半徑r的關系確定,d=r相切;dr時相離.解有關直線與圓的相交問題要靈活運用圓的幾何性質,特別是半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形,滿

22、足勾股定理.圓的切線問題一般利用d=r求解,但要注意切線斜率不存在的情形,與圓有關的最值,范圍問題要注意數(shù)形結合思想的運用.直線與圓中常見的最值問題:①圓外一點與圓上任一點的距離的最值.②直線與圓相離,圓上任一點到直線的距離的最值.③過圓內一定點的直線被圓截得的弦長的最值.④直線與圓相離,過直線上一點作圓的切線,切線長的最小值問題.⑤兩圓相離,兩圓上點的距離的最值. [舉一反三] (2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學一模)在平面直角坐標系xOy中,過點M(1,0)的直線l與圓x2+y2=5交于A,B兩點,其中A點在第一象限,且=2,則直線l的方程為________. 【導學號:563940

23、71】 x-y-1=0 [由題意,設直線x=my+1與圓x2+y2=5聯(lián)立,可得(m2+1)y2+2my-4=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2),則y2=-2y1,y1+y2=-,y1y2=-, 聯(lián)立解得m=1,∴直線l的方程為x-y-1=0.] 圓錐曲線的定義及標準方程 【例4】 (江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學習測試)如圖10-4,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C: 圖10-4 +=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P(3,1)在橢圓上,△PF1F2的面積為2. (1)①求橢圓C的標準方程; ②若∠F1QF2=,求QF1·QF2的值.

24、 (2)直線y=x+k與橢圓C相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓經過坐標原點,求實數(shù)k的值. [解] (1)①由條件 可知+=1,c=2, 又a2=b2+c2, 所以a2=12,b2=4, 所以橢圓的標準方程為+=1. ②當θ=時,有 所以QF1·QF2=. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由,得4x2+6kx+3k2-12=0, 由根與系數(shù)的關系及直線方程可知: x1+x2=-,x1x2=,y1y2=, 因為以AB為直徑的圓經過坐標原點,則·=x1x2+y1y2=k2-6=0, 解得k=±,此時Δ=120>0,滿足條件, 因此k=±. [規(guī)律方法] 

25、(1)對于圓錐曲線的定義不僅要熟記,還要深入理解細節(jié)部分:比如橢圓的定義中要求+>,雙曲線的定義中要求<. (2)求圓錐曲線標準方程常用的方法:(1)定義法;(2)待定系數(shù)法,①頂點在原點,對稱軸為坐標軸的拋物線,可設為y2=2ax或x2=2ay (a≠0),避開對焦點在哪個半軸上的分類討論,此時a不具有p的幾何意義.②橢圓的標準方程可設為+=1(m>0,n>0),雙曲線的標準方程可設為-=1(mn>0),這樣可以避免討論和繁瑣的計算. [舉一反三] (江蘇省如東高級中學2017屆高三上學期第二次學情調研)已知橢圓C:+=1的左焦點為F,點M是橢圓C上一點,點N是MF的中點,O是橢圓的中

26、點,ON=4,則點M到橢圓C的左準線的距離為________.  [設點M到右焦點的距離為MF′,則MF′=2×4=8,由定義可知該點到左焦點的距離MF=10-8=2,由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可得點M到橢圓C的左準線的距離為d===.] 圓錐曲線的幾何性質 【例5】 (江蘇省揚州市2017屆高三上學期期末)已知拋物線y2=16x的焦點恰好是雙曲線-=1的右焦點,則雙曲線的漸近線方程為________. [解析] 根據(jù)題意,拋物線的標準方程:y2=16x,其焦點坐標為(4,0), 則雙曲線-=1的右焦點坐標為(4,0),則c=4, 有12+b2=16,解可得b=2, 則雙曲線的方程

27、為-=1, 則該雙曲線的漸近線方程y=±x. [答案] y=±x [規(guī)律方法] 求橢圓、雙曲線的離心率,關鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關系,然后把b用a,c代換,求的值;在雙曲線中由于e2=1+2,故雙曲線的漸近線與離心率密切相關,求離心率的范圍問題關鍵是確立一個關于a,b,c的不等式,再根據(jù)a,b,c的關系消掉b得到關于a,c的不等式,由這個不等式確定a,c的關系. [舉一反三] (蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期中)如圖10-5,在平面直角坐標系xOy中,已知A,B1,B2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的右、下、上頂點,F(xiàn)是橢圓C的右焦點.若

28、B2F⊥AB1,則橢圓C的離心率是________. 圖10-5  [由題意得-×=-1?b2=ac?a2-c2=ac?1-e2=e,0<e<1?e=.] 直線與圓錐曲線的位置關系 【例6】 (江蘇省揚州市2017屆高三上學期期末)如圖10-6,橢圓C: 圖10-6 +=1(a>b>0),圓O:x2+y2=b2,過橢圓C的上頂點A的直線l:y=kx+b分別交圓O、橢圓C于不同的兩點P、Q,設=λ. (1)若點P(-3,0),點Q(-4,-1),求橢圓C的方程; (2)若λ=3,求橢圓C的離心率e的取值范圍. 【導學號:56394072】 [解] (1)由P(-

29、3,0)在圓O:x2+y2=b2上,可得b=3. 又點Q在橢圓C上,得+=1,解得a2=18. ∴橢圓C的方程為+=1; (2)聯(lián)立得x=0或xP=-, 聯(lián)立得x=0或xQ=-. ∵=λ,λ=3,∴=, ∴·=,即k2==4e2-1. ∵k2>0,∴4e2>1,得e>或e<-. 又0<e<1,∴<e<1. [規(guī)律方法] (1)直線與橢圓的位置關系的判定方法 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到一個一元二次方程.若Δ>0,則直線與橢圓相交;若Δ=0,則直線與橢圓相切;若Δ<0,則直線與橢圓相離. (2)直線與雙曲線的位置關系的判定方法 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立

30、,消去y或x,得到一個一元方程ax2+bx+c=0,或ay2+by+c=0,若a≠0,當Δ>0時,直線與雙曲線相交;當Δ=0時,直線與雙曲線相切;當Δ<0時,直線與雙曲線相離;若a=0,直線與漸近線平行,與雙曲線有一個交點. (3)直線與拋物線的位置關系的判定方法 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去y或x,得到一個一元方程ax2+bx+c=0,或ay2+by+c=0,當a≠0時,用Δ判定,方法同上;當a=0時,直線與拋物線的對稱軸平行,與拋物線有一個交點. 拋物線y2=2px(p>0)的過焦點F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長|AB|=x

31、1+x2+p.同樣可得拋物線y2=-2px,x2=2py,x2=-2py類似的性質. (4)解決直線與圓錐曲線相交時的弦長問題方法是:設而不求,根據(jù)根與系數(shù)的關系,進行整體代入.即當直線與圓錐曲線交于點A(x1,y1),B(x2,y2)時,|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|,而|x1-x2|=. [舉一反三] (2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學一模)如圖10-7,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,焦點到相應準線的距離為1. 圖10-7 (1)求橢圓的標準方程; (2)若P為橢圓上的一點,過點O作OP的垂線交直線y=于點Q,求+的值. [解]

32、 (1)由題意得,=,-c=1, 解得a=,c=1,b=1. 所以橢圓的方程為+y2=1. (2)由題意知OP的斜率存在. 當OP的斜率為0時,OP=,OQ=,所以+=1. 當OP的斜率不為0時,設直線OP方程為y=kx. 由得(2k2+1)x2=2,解得x2=,所以y2=, 所以OP2=. 因為OP⊥OQ,所以直線OQ的方程為y=-x. 由得x=-k,所以OQ2=2k2+2. 所以+=+=1. 綜上,可知+=1. 圓錐曲線中的范圍問題 【例7】 (江蘇省南京市2017屆高三上學期學情調研)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分

33、別為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上一點(在x軸上方),連接PF1并延長交橢圓于另一點Q,設=λ. (1)若點P的坐標為,且△PQF2的周長為8,求橢圓C的方程; (2)若PF2垂直于x軸,且橢圓C的離心率e∈,求實數(shù)λ的取值范圍. [解] (1) 因為F1,F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點,且P,Q為橢圓上的點, 所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a,從而△PQF2的周長為4a. 由題意,得4a=8,解得a=2. 因為點P的坐標為,所以+=1, 解得b2=3. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)法一:因為PF2⊥x軸,且P在x軸上方,故設P(c,y0),y0>0. 設Q(x1,y1

34、). 因為P在橢圓上,所以+=1,解得y0=,即P. 因為F1(-c,0),所以=,=(x1+c,y1). 由=λ,得-2c=λ(x1+c),-=λy1, 解得x1=-c,y1=-,所以Q. 因為點Q在橢圓上,所以2e2+=1, 即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1, 因為λ+1≠0, 所以(λ+3)e2=λ-1,從而λ==-3. 因為e∈,所以≤e2≤,即≤λ≤5. 所以λ的取值范圍為. 法二 因為PF2⊥x軸,且P在x軸上方,故設P(c,y0),y0>0. 因為P在橢圓上,所以+=1,解得y0=,即P. 因為F1(-c,0),故

35、直線PF1的方程為y=(x+c). 由得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0. 因為直線PF1與橢圓有一個交點為P.設Q(x1,y1), 則x1+c=-,即-c-x1=. 因為=λ, 所以λ======-3. 因為e∈,所以≤e2≤,即≤λ≤5. 所以λ的取值范圍為. [規(guī)律方法] (1)求范圍問題的關鍵是建立求解關于某個變量的目標函數(shù),通過求這個函數(shù)的值域確定目標的范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示,有時為了運算的方便,在建立關系的過程中也可以采用多個變量,只要在最后結果中把多變量歸結為單變量即可,同時要特

36、別注意變量的取值范圍. (2)求解特定字母取值范圍問題的常用方法:①構造不等式法:根據(jù)題設條件以及曲線的幾何性質(如:曲線的范圍、對稱性、位置關系等),建立關于特定字母的不等式(或不等式組),然后解不等式(或不等式組),求得特定字母的取值范圍.②構造函數(shù)法:根據(jù)題設條件,用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母,即建立關于特定字母的目標函數(shù),然后研究該函數(shù)的值域或最值情況,從而得到特定字母的取值范圍.③數(shù)形結合法:研究特定字母所對應的幾何意義,然后根據(jù)相關曲線的定義、幾何性質,利用數(shù)形結合的方法求解. [舉一反三] (2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學二模)已知橢圓C:+=1(a

37、>0,b>0)的左焦點為F(-1,0),左準線為x=-2. (1)求橢圓C的標準方程; (2)已知直線l交橢圓C于A,B兩點. ①若直線l經過橢圓C的左焦點F,交y軸于點P,且滿足=λ,=μ,求證:λ+μ為常數(shù); ②若OA⊥OB(O為原點),求△AOB的面積的取值范圍. [解] (1) ∵橢圓C:+=1(a>0,b>0)的左焦點為F(-1,0), 左準線為x=-2, ∴由題設知c=1,=2,a2=2c, ∴a2=2,b2=a2-c2=1, ∴橢圓C的標準方程為+y2=1. (2)①由題設知直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x+1),則P(0,k),設A(x1

38、,y1),B(x2,y2),直線l代入橢圓得x2+2k2(x+1)2=2, 整理,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 由=λ,=μ,知λ=,μ=, ∴λ+μ=- =- =-=-4(定值). ∴λ+μ為常數(shù)-4. ②當直線OA,OB分別與坐標軸重合時,△AOB的面積S△AOB=,當直線OA,OB的斜率均存在且不為零時,設OA:y=kx,OB:y=-x,設A(x1,y1),B(x2,y2),將y=kx代入橢圓C,得到x2+2k2x2=2, ∴x=,y=, 同理,x=,y=, △AOB的面積S△AOB==, 令t=k2+1∈[1,+

39、∞),則S△AOB==, 令μ=∈(0,1],則S△AOB==∈. 綜上所述,△AOB的面積的取值范圍是. 圓錐曲線中的存在性問題 【例8】 (淮安市2014-2015學年度第二學期高二調查測試)已知橢圓M:+=1(a>b>0),點F1(-1,0)、C(-2,0)分別是橢圓M的左焦點、左頂點,過點F1的直線l(不與x軸重合)交M于A,B兩點. (1)求橢圓M的標準方程; (2)若A(0,),求△AOB的面積; (3)是否存在直線l,使得點B在以線段F1C為直徑的圓上,若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由. [解] (1)由F1(-1,0)、C(-2,0)得:a=2,

40、b=, 所以橢圓M的標準方程為+=1; (2)因為A(0,),F(xiàn)1(-1,0),所以過A,F(xiàn)1的直線l的方程為:+=1, 即x-y+=0, 解方程組得y1=,y2=-, S△ABC=×1×|y1-y2|=; (3)設B(x0,y0)(-2<x0<2),則+=1.因為C(-2,0),F(xiàn)1(-1,0), 所以·=(-1-x0,-y0)·(-2-x0,-y0)=2+3x0+x+y =x+3x0+5=0, 解得:x0=-2或-10, 又因為-2<x0<2,所以點B不在以F1C為直徑的圓上, 即不存在直線l,使得點B在以F1C為直徑的圓上. [規(guī)律方法] (1)求解存在性問題時,

41、通常的方法是首先假設滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算,若不出現(xiàn)矛盾,并且得到了相應的幾何元素或參數(shù)值,就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在;若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾,則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在,同時推理與計算的過程就是說明理由的過程. (2)解決存在性問題應注意以下幾點:①當條件和結論不唯一時要分類討論;②當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件;③當條件和結論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要思維開放,采取另外的途徑. (3)解決存在性問題的解題步驟:第一步:先假設存在,引入?yún)⒆兞?,根?jù)題目條件列出關于參變

42、量的方程(組)或不等式(組);第二步:解此方程(組)或不等式(組),若有解則存在,若無解則不存在;第三步:得出結論. [舉一反三] (江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學期第二次調研)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,1),P是動點,且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA. 圖10-8 (1)求點P的軌跡C的方程; (2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點,且=λ,直線OP與QA交于點M. 問:是否存在點P,使得△PQA和△PAM的面積滿足SPQA=2S△PAM?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由. 【導學號:56394073】 [解] (

43、1)設點P(x,y).∵kOP+kOA=kPA,∴+(-1)=,化為y=x2(x≠0且x≠-1). 即為點P的軌跡方程. (2)假設存在點P(x1,x),Q(x2,x),使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM, ①如圖所示,點M為線段AQ的中點. ∵=λ,∴PQ∥OA,得kPQ=kAO=-1. ∴ 解得 此時P(-1,1),Q(0,0)分別與A,O重合,因此不符合題意. 故假設不成立,此時不存在滿足條件的點P. ②如圖所示,當點M在QA的延長線時,由S△PQA=2S△PAM,可得=2, ∵=λ,∴=2,PQ∥OA. 由PQ∥OA,可得kPQ=kA

44、O=-1. 設M(m,n). 由=2,=2, 可得:-1-x2=2(m+1),-x1=2m, 化為x1-x2=3. 聯(lián)立 解得 此時,P(1,1)滿足條件. 綜上可知:P(1,1)滿足條件. 圓錐曲線中的定值問題 【例9】 (2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學一模)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為,橢圓的右頂點為A. 圖10-9 (1)求該橢圓的方程; (2)過點D(,-)作直線PQ交橢圓于兩個不同點P,Q,求證:直線AP,AQ的斜率之和為定值. [解] (1)由題意可知:橢圓+=1(a>b>0),焦點在x軸上,2c=1

45、,c=1, 橢圓的離心率e==,則a=,b2=a2-c2=1, 則橢圓的標準方程為+y2=1; (2)證明:設P(x1,y1),Q(x2,y2),A(,0), 由題意PQ的方程:y=k(x-)-, 則整理得:(2k2+1)x2-(4k2+4k)x+4k2+8k+2=0, 由根與系數(shù)的關系可知:x1+x2=,x1x2=, 則y1+y2=k(x1+x2)-2k-2 =, 則kAP+kAQ=+ =, 由y1x2+y2x1=[k(x1-)-]x2+[k(x2-)-]x1=2kx1x2-(k+)(x1+x2)=-, kAP+kAQ= ==1, ∴直線AP,AQ的斜率之和為定值

46、1. [規(guī)律方法] (1)解析幾何中的定值問題是指某些幾何量線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關,不依參數(shù)的變化而變化,而始終是一個確定的值. (2)求定值問題常見的方法有兩種:①從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關;②直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值. (3)定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值,就是要求的定點、定值.化解這類問題的關鍵就是引進變化的參數(shù)表示直線

47、方程、數(shù)量積、比例關系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量. [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模)如圖10-10,在平面直角坐標系xOy中,橢圓+=1(a>b>0)的右頂點和上頂點分別為點A,B,M是線段AB的中點,且·=-b2. 圖10-10 (1)求橢圓的離心率; (2)若a=2,四邊形ABCD內接于橢圓,AB∥CD,記直線AD,BC的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值. [解] (1)A(a,0),B(0,b),線段AB的中點M. =(-a,b),=. ∵·=-b2. ∴-+b2=-b2,化為:a=2b. ∴橢圓的離心率e==

48、=. (2)證明:由a=2,可得b=1, ∴橢圓的標準方程為+y2=1,A(2,0),B(0,1). 設直線BC的方程為y=k2x+1,聯(lián)立化為:(1+4k)x2+8k2x=0, 解得xC=,∴yC=.即C. 直線AD的方程為y=k1(x-2),聯(lián)立化為(1+4k)x2-16kx+16k-4=0, ∴2xD=,解得xD=,yD=,可得D, ∴kCD==-,化為:1-16kk+2k1-2k2+8k1k-8k2k=0. ∴(4k1k2+4k1-4k2+1)=0, ∴k1k2=. 圓錐曲線中的最值問題 【例10】 如圖10-11,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1

49、(a>b>0)的左,右頂點分別為A1(-,0),A2(,0),若直線3x+4y+5=0上有且僅有一個點M,使得∠F1MF2=90°. 圖10-11 (1)求橢圓C的標準方程; (2)設圓T的圓心T(0,t)在x軸上方,且圓T經過橢圓C兩焦點.點P,Q分別為橢圓C和圓T上的一動點.若·=0時,PQ取得最大值為,求實數(shù)t的值. 【導學號:56394074】 [解] (1)因為橢圓C:+=1(a>b>0)左,右頂點分別為A1(-,0),A2(,0),所以a2=2. 又因為直線3x+4y+5=0上恰存在一個點M,使得∠F1MF2=90°, 即以原點O為圓心,半徑為r=OF1=c作圓

50、O,使得圓O與直線3x+4y+5=0相切即可(圖略). 又圓心O到直線3x+4y+5=0的距離d==1, 所以c=1,b2=a2-c2=1,所以橢圓C的標準方程為+y2=1; (2)設P(x0,y0),因為點P在橢圓上,所以有+y=1,因為圓T的圓心T(0,t)在x軸上方,且圓T經過橢圓C兩焦點,所以圓T的方程為x2+(y-t)2=t2+1(t>0),由·=0得PQ2=PT2-QT2=x+(y0-t)2-(t2+1),又+y=1,所以PQ2=-(y0+t)2+t2+1, ①當-t≤-1即t≥1時,當y0=-1時,PQ取得最大值,因為PQ的最大值為,所以=,解得t=,又t≥1,故舍去.

51、 ②當-t>-1即0<t<1時,當y0=-t時,PQ取最大值, 所以=,解得t2=,又0<t<1,所以t=. 綜上,當t=時,PQ的最大值為. [規(guī)律方法] (1)圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何方法,即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解;二是利用代數(shù)方法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解. (2)常見的幾何方法有:①直線外一定點P到直線上各點距離的最小值為該點P到直線的垂線段的長度;②圓C外一定點P到圓上各點距離的最大值為|PC|+

52、R,最小值為|PC|-R(R為圓C半徑);③過圓C內一定點P的圓的最長的弦即為經過P點的直徑,最短的弦為過P點且與經過P點直徑垂直的弦;④圓錐曲線上本身存在最值問題,如a.橢圓上兩點間最大距離為2a(長軸長);b.雙曲線上兩點間最小距離為2a(實軸長);c.橢圓上的點到焦點的距離的取值范圍為[a-c,a+c],a-c與a+c分別表示橢圓焦點到橢圓上點的最小與最大距離;d.拋物線中頂點與拋物線的準線距離最近. (3)常用的代數(shù)方法有:a.利用二次函數(shù)求最值;b.通過三角換元,利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值;c.利用基本不等式求最值;d.利用導數(shù)法求最值;e.利用函數(shù)單調性求最值. [舉一反三

53、] 已知圓M:x2+(y-4)2=4,點P是直線l:x-2y=0上的一動點,過點P作圓M的切線PA、PB,切點為A、B. (1)當切線PA的長度為2時,求點P的坐標; (2)若△PAM的外接圓為圓N,試問:當P運動時,圓N是否過定點?若存在,求出所有的定點的坐標;若不存在,說明理由; (3)求線段AB長度的最小值. [解] (1)由題可知,圓M的半徑r=2,設P(2b,b), 因為PA是圓M的一條切線,所以∠MAP=90°, 所以MP===4,解得b=0或b=, 所以P(0,0)或P. (2)設P(2b,b),因為∠MAP=90°,所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑,

54、 其方程為:(x-b)2+2=, 即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0, 由 解得或 所以圓過定點(0,4),. (3)因為圓N方程為(x-b)2+2=, 即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0. 圓M:x2+(y-4)2=4,即x2+y2-8y+12=0. ②-①得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為 2bx+(b-4)y+12-4b=0, 點M到直線AB的距離d=. 相交弦長即:AB=2=4=4,b=時,AB有最小值. [第3步▕ 高考易錯明辨析] 1.忽視直線斜率不存在的情況 已知圓C的方程為x2+y2=4,直線l過點P(1,2),且與圓

55、C交于A、B兩點.若|AB|=2,求直線l的方程. [錯解] 方程可設為y-2=k(x-1),又設圓心到直線l的距離為d. 由d2=r2-2,得k=, 代入y-2=k(x-1),得y-2=(x-1), 即3x-4y+5=0.所以直線l的方程為3x-4y+5=0. [錯解分析] 在利用直線的點斜式與斜截式解題時,要防止由于“無斜率”而漏解,本題就是忽略斜率不存在導致圓的切線方程只有一條. [正解] (1)當直線l的斜率不存在時,畫出圖象可知,直線x=1也符合題意. (2)當直線l的斜率k存在時,其方程可設為y-2=k(x-1),又設圓心到直線l的距離為d. 由d2=r2-2,得k

56、=,代入y-2=k(x-1),得y-2=(x-1), 即3x-4y+5=0.所以直線l的方程為3x-4y+5=0和x=1. 2.忽略對直線與圓錐曲線位置關系的判斷的情況 已知雙曲線x2-=1,問過點A(1,1)能否作直線l,使l與雙曲線交于P、Q兩點,并且A為線段PQ的中點?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說明理由. [錯解] 設符合題意的直線l存在,并設P(x1,y1)、Q(x2,y2), 則 ①-②得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),③ 因為A(1,1)為線段PQ的中點,所以 將④⑤代入③得x1-x2=(y1-y2),若x1≠x2,則直線l的斜

57、率k==2, 所以符合題設條件的直線l存在,其方程為2x-y-1=0. [錯解分析] 由于點A(1,1)在雙曲線外,過點A(1,1)的直線,不一定都與雙曲線相交,故應對所求直線進行檢驗,上述錯解沒有做到這一點,故是錯誤的. [正解] 設符合題意的直線l存在,并設P(x1,y1)、Q(x2,y2),則 ①-②得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),③ 因為A(1,1)為線段PQ的中點,所以 將④⑤代入③得x1-x2=(y1-y2), 若x1≠x2,則直線l的斜率k==2, 再由得2x2-4x+3=0, 根據(jù)Δ=-8<0,說明所求直線不存在. 3.忽略對定

58、義的理解的情況 已知圓O1:x2+y2=1,圓O2:x2+y2-10x+9=0都內切于動圓,試求動圓圓心的軌跡方程. [錯解] 圓O2:x2+y2-10x+9=0,即為(x-5)2+y2=16, 所以圓O2的圓心為O2(5,0),半徑r2=4,而圓O1:x2+y2=1的圓心為O1(0,0),半徑r1=1, 設所求動圓圓心M的坐標為(x,y),半徑為r,則r=|O1M|+1且r=|O2M|+4,所以|O1M|-|O2M|=3, 即-=3,化簡得16x2-80x-9y2+64=0, 即-=1為所求動圓圓心的軌跡方程. [錯解分析] 上述解法將|O1M|-|O2M|=3看成||O1M|

59、-|O2M||=3,誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線,這是雙曲線的概念不清所致. [正解] 圓O2:x2+y2-10x+9=0,即為(x-5)2+y2=16, 所以圓O2的圓心為O2(5,0),半徑r2=4,而圓O1:x2+y2=1的圓心為O1(0,0),半徑r1=1, 設所求動圓圓心M的坐標為(x,y),半徑為r,則r=|O1M|+1且r=|O2M|+4,所以|O1M|-|O2M|=3,即-=3,化簡得16x2-80x-9y2+64=0,又因為|O1M|-|O2M|=3,表示動點M到定點O1及O2的距離差為常數(shù)3. 且|O1O2|=5>3,點M的軌跡為雙曲線右支,方程為-=1(x≥4).

60、 4.忽略直線與雙曲線的漸進線平行只有一個交點 過點(0,3)作直線l,如果它與雙曲線-=1只有一個公共點,則直線l的條數(shù)是________. [錯解] 2 [錯解分析] 在探討直線與雙曲線的位置關系時,可以考慮直線方程與雙曲線方程的解的情況,但容易忽視直線與漸進線平行的特殊情況,這時構成的方程是一次的. 直線與雙曲線的位置關系分為:相交、相離、相切三種.其判定方法有兩種:一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù),得到一個一元二次方程ax2+bx+c=0. 若a≠0,Δ>0,直線與雙曲線相交,有兩個交點;若a=0,直線與漸進線平行,有一個交點. 若a≠0,Δ=0,直線與雙曲

61、線相切,有且只有一個公共點. 若a≠0,Δ<0,直線與雙曲線相離,沒有公共點. 二是可以利用數(shù)形結合的思想. [正解] 用數(shù)形結合的方法:過點(0,3)與雙曲線只有一個公共點的直線分兩類.一類是平行于漸進線的,有兩條;一類是與雙曲線相切的有兩條.如圖所示: 故填4. ———————專家預測·鞏固提升——————— (對應學生用書第53頁) 1.(改編題)已知拋物線y2=4x與雙曲線-=1(a>0,b>0)有相同的焦點F,點A,B是兩曲線的交點,若(+)·=0,則雙曲線的離心率為________. +1 [因為拋物線y2=4x與雙曲線-=1(a>0,b>0)有相同的焦點F,點

62、A,B是兩曲線的交點,且(+)·=0,由二次曲線對稱性可得,AF⊥x軸,所以F(1,0),AF=2,A(1,2),則 解得a=-1,所以e===+1.] 2.(改編題)已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且傾斜角為135°的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標為6,則該拋物線的準線方程為________. x=-2 [因為直線傾斜角為135°,故它的斜率為-1,又∵焦點為, ∴設直線為y=-, ∵直線交拋物線于A,B兩點,∴∴消參得4x2-12px+p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=3p, ∵線段AB的中點的橫坐標為6, ∴=6,∴

63、p=4, ∴拋物線的準線方程為x=-2.] 3.(改編題)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點是(1,0),兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形. (1)求橢圓C的方程; (2)如圖10-12,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F1M⊥l,F(xiàn)2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值. 【導學號:56394075】 圖10-12 [解] (1)橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點是(1,0),所以半焦距c=1,又因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形,所以=,解得a=2,b=,所以橢圓C的標準方程為+=1; 4分

64、 (2)將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由直線l與橢圓C僅有一個公共點知, Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡得:m2=4k2+3. 6分 設d1=|F1M|=,d2=|F2N|=, 法一:當k≠0時,設直線l的傾斜角為θ,則|d1-d2|=|MN|×|tan θ|, ∴|MN|=,S=(d1+d2)====, 8分 ∵m2=4k2+3,∴當k≠0時,|m|>,|m|+>+=,S<2. 當k=0時,四邊形F1MNF2是矩形,S=2. 所以四邊形F1MNF2面積S的最

65、大值為2. 12分 法二:∵d+d=2+2==, d1d2=·===3. ∴|MN|= ==. 8分 四邊形F1MNF2的面積 S=|MN|(d1+d2)=(d1+d2), S2=(d+d+2d1d2)==16-42≤12. 當且僅當k=0時,S2=12,S=2,故Smax=2. 所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值為2. 12分 4.(改編題)設定圓M:(x+)2+y2=16,動圓N過點F(,0)且與圓M相切,記動圓N圓心N的軌跡為N.過曲線N上任一點P作PQ⊥x軸,垂足為Q,點C在QP的延長線上,且|QP|=|PC|. (1)求動圓N圓心N的軌跡N與動點C的軌跡E的

66、方程; (2)設橢圓的左右頂點分別為A,B,直線AC(C點不同于A,B)與直線x=2交于點R,D為線段RB的中點.試判斷直線CD與曲線E的位置關系,并證明你的結論. [解] (1)∵點F(,0)在圓M:(x+)2+y2=16內,∴圓N內切于圓M, ∴|NM|+|NF|=4>|FM|, ∴點N的軌跡N的方程為+y2=1. 設C(x,y),P(x0,y0),由題意得 即又+y=1, 代入得+2=1, 即x2+y2=4. 即動點C的軌跡E的方程為x2+y2=4.6分 (2)設C(m,n),點R的坐標為(2,t), ∵A,C,R三點共線,∴∥,而=(m+2,n),=(4,t),則4n=t(m+2),∴t=,8分 ∴點R的坐標為,點D的坐標為, ∴直線CD的斜率為k===,而m2+n2=4, ∴m2-4=-n2,∴k==-,10分 ∴直線CD的方程為y-n=-(x-m),化簡得mx+ny-4=0, ∴圓心O到直線CD的距離d===2=r,所以直線CD與圓O相切. 32

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