2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題對點練5 立體幾何（1）文

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1、2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題對點練5 立體幾何（1）文 一、選擇題 1．如圖2，四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則(　　) 圖2 A. MN∥PD　　　　　　　　 B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能 B　[因為MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN?平面PAC，所以MN∥PA.故選B.] 2．(2018·成都模擬)一個棱錐的三視圖如圖3所示，其中側視圖為邊長為1的正三角形，則四棱錐側面中最大側面的面積是(　　) 圖3 A.　　 　B．1　　 　C.　　 　D. D　[由四棱錐的

2、三視圖可知，該四棱錐底面為ABCD為邊長為1的正方形，△PAD是邊長為1的等邊三角形，PO垂直于AD于點O，其中O為AD的中點，由四棱錐的直觀圖可知，四棱錐側面中最大側面是△PBC，PB＝PC＝，BC＝1，面積是×1×＝.] 3．設α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，則l?β B．若l⊥α，α∥β，則l⊥β C．若l∥α，α∥β，則l?β D．若l∥α，α⊥β，則l⊥β B　[若l⊥α，α⊥β，則l?β或l∥β，故A錯誤； 若l⊥α，α∥β，由平面平行的性質(zhì)，我們可得l⊥β，故B正確； 若l∥α，α∥β，則l?β或l

3、∥β，故C錯誤； 若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l∥β或l?β，故D錯誤；故選B.] 4．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，則點A1到平面AB1D1的距離是(　　) A．1 B. C. D．2 B　[設點A1到平面AB1D1的距離為h，因為VA1-AB1D1＝VA-A1B1D1，所以S△AB1D1h＝S△A1B1D1×AA1，所以h＝＝＝，故選B.] 5．(2018·大慶實驗中學模擬)四棱錐P-ABCD的三視圖如圖4所示，四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上， E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為2，則該球的表

4、面積為(　　) 圖4 A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π A　[四棱錐P-ABCD中PA⊥面ABCD，且ABCD為正方形，球心為PC中點，因為PA＝AB＝a，PC＝a＝2R，所以R2＝2＋()2?R2＝2＋()2?R2＝3，∴S＝4πR2＝12π，選A.] 6．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，則體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖5所示的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) 圖5 A. B. C．3

5、 D．6 B　[由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖幾何體體積相等，圖示幾何體是一個三棱錐，其直觀圖如下圖： 其底面是底和高分別為5，的三角形，高為＝，則該三棱錐的體積為V＝××5××＝，從而該不規(guī)則幾何體的體積為.] 7．已知△ABC的三個頂點在以O為球心的球面上，且AB＝2，AC＝4，BC＝2，三棱錐O-ABC的體積為， 則球O的表面積為(　　) A. 22π B. C. 24π D. 36π D　[△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，由勾股定理可知斜邊BC中點O′就是△ABC的外接圓的圓心，∵三棱錐O-ABC的體積為，∴××2×4×OO′

6、＝， ∴OO′＝2，球的半徑R＝＝3，所以球O的表面積為4πR2＝4π×9＝36π.故選D.] 8．已知在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，則在四棱錐P-ABCD的任意兩個頂點的連線中，互相垂直的異面直線共有(　　) A. 3對 B. 4對 C. 5對 D. 6對 C　[因為ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，AD⊥PB.共5對．] 9．某幾何體的三視圖如圖6所示，記A為此幾何體所有棱的長度構成的集合，則(　　) 圖6 A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A

7、D　[由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面是邊長為4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的長為4，BF的長為2，EF的長為2，EC的長為4，故選D.] 10．在四棱錐P-ABCD中，四條側棱長均為2，底面ABCD為正方形，E為PC的中點．若異面直線PA與BE所成的角為45°，則該四棱錐的體積是(　　) A．4 B．2 C. D. D　[連接AC和BD相交于點O，連接OE(圖略)，則OE∥PA，則∠OEB＝45°，又∠EOB＝90°，則BO＝OE＝1，底面正方形的邊長為，四棱錐的高為，則體積為×()2×＝，故選D.]

8、11．如圖7，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點．動點P在線段MN上運動時，下列四個結論： 圖7 ①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC， 其中恒成立的為(　　) A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ A　[如圖所示，設AC、BD相交于點O，連接SO，EM，EN. 對于①，由S-ABCD是正四棱錐，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∵AC?平面ABCD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，SD∩BD＝

9、D，SD，BD?平面SBD，MN，EM?平面EMN，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∵EP?平面EMN，∴AC⊥EP.故①正確． 對于②，易知EP與BD是異面直線，因此②不正確． 對于③，由①可知平面EMN∥平面SBD， ∵EP?平面EMN，∴EP∥平面SBD，因此③正確． 對于④，由①同理可得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM＝E相矛盾，因此當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即④不正確．故選A.] 12．如圖8，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，點D為AC的中點，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，

10、連接PC，得到三棱錐P-BCD，若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是(　　) 圖8 A. 7π B. 5π C. 3π D. π A　[依題意可得該三棱錐的面PCD是邊長為的正三角形，且BD⊥平面PCD，設三棱錐P-BDC外接球的球心為O，△PCD外接圓的圓心為O1，則OO1⊥平面PCD，所以四邊形OO1DB為直角梯形，由BD＝，O1D＝1，及OB＝OD，可得OB＝，則外接球的半徑R＝.所以該球的表面積S球＝4πR2＝7π.] 二、填空題 13．某三棱錐的三視圖如圖9所示，則該三棱錐的全面積是________． 圖9 4＋2　[三棱錐

11、的直觀圖如圖所示：由三視圖可知PO⊥平面ABC，OC⊥平面PAB，且OP＝OC＝2，OB＝OA＝1，∴PA＝PB＝＝，AC＝BC＝＝，PC＝＝2，∴S△PAB＝S△CAB＝2，S△PAC＝S△PBC＝，∴全面積為4＋2.] 14．如圖10①所示，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a(L)水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好過點P(如圖10②所示)．有下列四個命題： ①正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半； ②將容器側面水平放置時，水面也恰好過點P； 　　　　圖10①　　　　　　　圖10② ③任意擺放該容器，當水面靜止時，

12、水面都恰好經(jīng)過點P； ④若往容器內(nèi)再注入a(L)水，則容器恰好能裝滿．其中真命題是________． ②④　[易知所盛水的體積為容器容積的一半，故④正確，于是①錯誤；水平放置時由容器形狀的對稱性知水面經(jīng)過點P，故②正確；③的錯誤可這樣推出：將圖①中容器的位置向右邊傾斜一些，可推知點P將露出水面．] 15．如圖11，三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都是，且頂點A1在底面ABC上的射影O為△ABC的中心，則三棱錐A1-ABC的體積為________． 圖11 　[由題意可知，底面三角形ABC為正三角形， 由O為△ABC的中心，可知O為△ABC的外心， 則OA為底面高的， ∵

13、底面三角形的邊長為， ∴底面三角形的高為＝， ∴OA＝， 在Rt△A1AO中，由A1A＝，OA＝， 得OA1＝＝， ∴三棱錐A1-ABC的體積為××××＝.] 16．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C, 在正方形ABCD中，AC∩BD＝O有如下四個結論： ①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與CD所成的角為90°，④取BC中點E，則∠AEO為二面角A-BC-D的平面角． 其中正確結論是________．(寫出所有正確結論的序號) ①②④　[如圖①所示，取BD中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD， 所以BD⊥平面AEC，從而可得AC⊥BD，故①正確；

14、設正方形ABCD邊長為1，則AE＝EC＝， 所以AC＝＝1，又因為AD＝CD＝1，所以△ACD是等邊三角形，故②正確； 分別取BC，AC的中點為M，N，連接ME，NE，MN， 則MN∥AB，且MN＝，ME∥CD， 且ME＝，則∠EMN是異面直線AB，CD所成的角． 在Rt△AEC中，AE＝CE＝，AC＝1， ∴NE＝. 則△MEN是正三角形，故∠EMN＝60°，③錯誤； 圖①　　　　　　　　　　　圖② 如圖①所示，由題意可得：AB＝AC，則AE⊥BC， 由BE＝EC，BO＝OD，BC⊥CD可得OE⊥BC， 據(jù)此可知：∠AEO為二面角A-BC-D的平面角，說法④正確．]