2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題對點(diǎn)練5 立體幾何（1）文

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1、2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題對點(diǎn)練5 立體幾何（1）文 一、選擇題 1．如圖2，四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則(　　) 圖2 A. MN∥PD　　　　　　　　 B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能 B　[因?yàn)镸N∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN?平面PAC，所以MN∥PA.故選B.] 2．(2018·成都模擬)一個(gè)棱錐的三視圖如圖3所示，其中側(cè)視圖為邊長為1的正三角形，則四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面的面積是(　　) 圖3 A.　　 　B．1　　 　C.　　 　D. D　[由四棱錐的

2、三視圖可知，該四棱錐底面為ABCD為邊長為1的正方形，△PAD是邊長為1的等邊三角形，PO垂直于AD于點(diǎn)O，其中O為AD的中點(diǎn)，由四棱錐的直觀圖可知，四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面是△PBC，PB＝PC＝，BC＝1，面積是×1×＝.] 3．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，則l?β B．若l⊥α，α∥β，則l⊥β C．若l∥α，α∥β，則l?β D．若l∥α，α⊥β，則l⊥β B　[若l⊥α，α⊥β，則l?β或l∥β，故A錯(cuò)誤； 若l⊥α，α∥β，由平面平行的性質(zhì)，我們可得l⊥β，故B正確； 若l∥α，α∥β，則l?β或l

3、∥β，故C錯(cuò)誤； 若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l∥β或l?β，故D錯(cuò)誤；故選B.] 4．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，則點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離是(　　) A．1 B. C. D．2 B　[設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為h，因?yàn)閂A1-AB1D1＝VA-A1B1D1，所以S△AB1D1h＝S△A1B1D1×AA1，所以h＝＝＝，故選B.] 5．(2018·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)四棱錐P-ABCD的三視圖如圖4所示，四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上， E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長為2，則該球的表

4、面積為(　　) 圖4 A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π A　[四棱錐P-ABCD中PA⊥面ABCD，且ABCD為正方形，球心為PC中點(diǎn)，因?yàn)镻A＝AB＝a，PC＝a＝2R，所以R2＝2＋()2?R2＝2＋()2?R2＝3，∴S＝4πR2＝12π，選A.] 6．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，則體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖5所示的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) 圖5 A. B. C．3

5、 D．6 B　[由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖幾何體體積相等，圖示幾何體是一個(gè)三棱錐，其直觀圖如下圖： 其底面是底和高分別為5，的三角形，高為＝，則該三棱錐的體積為V＝××5××＝，從而該不規(guī)則幾何體的體積為.] 7．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，且AB＝2，AC＝4，BC＝2，三棱錐O-ABC的體積為， 則球O的表面積為(　　) A. 22π B. C. 24π D. 36π D　[△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，由勾股定理可知斜邊BC中點(diǎn)O′就是△ABC的外接圓的圓心，∵三棱錐O-ABC的體積為，∴××2×4×OO′

6、＝， ∴OO′＝2，球的半徑R＝＝3，所以球O的表面積為4πR2＝4π×9＝36π.故選D.] 8．已知在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，則在四棱錐P-ABCD的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中，互相垂直的異面直線共有(　　) A. 3對 B. 4對 C. 5對 D. 6對 C　[因?yàn)锳BCD是矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，AD⊥PB.共5對．] 9．某幾何體的三視圖如圖6所示，記A為此幾何體所有棱的長度構(gòu)成的集合，則(　　) 圖6 A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A

7、D　[由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面是邊長為4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的長為4，BF的長為2，EF的長為2，EC的長為4，故選D.] 10．在四棱錐P-ABCD中，四條側(cè)棱長均為2，底面ABCD為正方形，E為PC的中點(diǎn)．若異面直線PA與BE所成的角為45°，則該四棱錐的體積是(　　) A．4 B．2 C. D. D　[連接AC和BD相交于點(diǎn)O，連接OE(圖略)，則OE∥PA，則∠OEB＝45°，又∠EOB＝90°，則BO＝OE＝1，底面正方形的邊長為，四棱錐的高為，則體積為×()2×＝，故選D.]

8、11．如圖7，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)．動點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論： 圖7 ①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC， 其中恒成立的為(　　) A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ A　[如圖所示，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O，連接SO，EM，EN. 對于①，由S-ABCD是正四棱錐，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∵AC?平面ABCD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，SD∩BD＝

9、D，SD，BD?平面SBD，MN，EM?平面EMN，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∵EP?平面EMN，∴AC⊥EP.故①正確． 對于②，易知EP與BD是異面直線，因此②不正確． 對于③，由①可知平面EMN∥平面SBD， ∵EP?平面EMN，∴EP∥平面SBD，因此③正確． 對于④，由①同理可得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM＝E相矛盾，因此當(dāng)P與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直．即④不正確．故選A.] 12．如圖8，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，

10、連接PC，得到三棱錐P-BCD，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是(　　) 圖8 A. 7π B. 5π C. 3π D. π A　[依題意可得該三棱錐的面PCD是邊長為的正三角形，且BD⊥平面PCD，設(shè)三棱錐P-BDC外接球的球心為O，△PCD外接圓的圓心為O1，則OO1⊥平面PCD，所以四邊形OO1DB為直角梯形，由BD＝，O1D＝1，及OB＝OD，可得OB＝，則外接球的半徑R＝.所以該球的表面積S球＝4πR2＝7π.] 二、填空題 13．某三棱錐的三視圖如圖9所示，則該三棱錐的全面積是________． 圖9 4＋2　[三棱錐

11、的直觀圖如圖所示：由三視圖可知PO⊥平面ABC，OC⊥平面PAB，且OP＝OC＝2，OB＝OA＝1，∴PA＝PB＝＝，AC＝BC＝＝，PC＝＝2，∴S△PAB＝S△CAB＝2，S△PAC＝S△PBC＝，∴全面積為4＋2.] 14．如圖10①所示，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a(L)水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P(如圖10②所示)．有下列四個(gè)命題： ①正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半； ②將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)P； 　　　　圖10①　　　　　　　圖10② ③任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，

12、水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P； ④若往容器內(nèi)再注入a(L)水，則容器恰好能裝滿．其中真命題是________． ②④　[易知所盛水的體積為容器容積的一半，故④正確，于是①錯(cuò)誤；水平放置時(shí)由容器形狀的對稱性知水面經(jīng)過點(diǎn)P，故②正確；③的錯(cuò)誤可這樣推出：將圖①中容器的位置向右邊傾斜一些，可推知點(diǎn)P將露出水面．] 15．如圖11，三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都是，且頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O為△ABC的中心，則三棱錐A1-ABC的體積為________． 圖11 　[由題意可知，底面三角形ABC為正三角形， 由O為△ABC的中心，可知O為△ABC的外心， 則OA為底面高的， ∵

13、底面三角形的邊長為， ∴底面三角形的高為＝， ∴OA＝， 在Rt△A1AO中，由A1A＝，OA＝， 得OA1＝＝， ∴三棱錐A1-ABC的體積為××××＝.] 16．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C, 在正方形ABCD中，AC∩BD＝O有如下四個(gè)結(jié)論： ①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與CD所成的角為90°，④取BC中點(diǎn)E，則∠AEO為二面角A-BC-D的平面角． 其中正確結(jié)論是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號) ①②④　[如圖①所示，取BD中點(diǎn)E，則AE⊥BD，CE⊥BD， 所以BD⊥平面AEC，從而可得AC⊥BD，故①正確；

14、設(shè)正方形ABCD邊長為1，則AE＝EC＝， 所以AC＝＝1，又因?yàn)锳D＝CD＝1，所以△ACD是等邊三角形，故②正確； 分別取BC，AC的中點(diǎn)為M，N，連接ME，NE，MN， 則MN∥AB，且MN＝，ME∥CD， 且ME＝，則∠EMN是異面直線AB，CD所成的角． 在Rt△AEC中，AE＝CE＝，AC＝1， ∴NE＝. 則△MEN是正三角形，故∠EMN＝60°，③錯(cuò)誤； 圖①　　　　　　　　　　　圖② 如圖①所示，由題意可得：AB＝AC，則AE⊥BC， 由BE＝EC，BO＝OD，BC⊥CD可得OE⊥BC， 據(jù)此可知：∠AEO為二面角A-BC-D的平面角，說法④正確．]