（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第4講 函數(shù)及其表示導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

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1、第二章 函數(shù) [知識體系p9] 第4講　函數(shù)及其表示 【課程要求】 1．了解映射的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)解析式． 2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇適當(dāng)?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)． 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用． 4．掌握求函數(shù)定義域及解析式的基本方法． 對應(yīng)學(xué)生用書p9 【基礎(chǔ)檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)對于函數(shù)f：A→B，其值域就是集合B.(　　) (2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等．

2、(　　) (3)函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個交點．(　　) (4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應(yīng)是從A到B的映射．(　　) (5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．[必修1p74T7(2)]函數(shù)f(x)＝＋log2(6－x)的定義域是____________． [答案] [－3，6) 3．[必修1p25B組T1]函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是____________；值域是____________；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是_

3、___________． [答案] [－3，0]∪[2，3]；[1，5]；[1，2)∪(4，5] 4．已知函數(shù)f(x)的定義域為[0，2]，則函數(shù)f(2x)的定義域為(　　) A．{x|0＜x≤4}B．{x|0≤x≤4} C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤1} [解析]因為函數(shù)f(x)的定義域為[0，2]， 所以0≤2x≤2，解得0≤x≤1， 所以函數(shù)f(2x)的定義域為{x|0≤x≤1}． [答案]D 5．已知f＝x2＋x，則f＝________． [解析]設(shè)t＝2x＋1，則x＝， ∴f＝＋＝，即f＝. [答案] 6．已知f(x)＝若f(a)＝2，則a

4、的值為____________． [解析]當(dāng)a≥0時，2a－2＝2，解得a＝2；當(dāng)a<0時，－a2＋3＝2，解得a＝－1.綜上，a的值為－1或2. [答案]－1或2 【知識要點】 1．函數(shù)與映射 函數(shù) 映射 兩個集合 A，B 設(shè)A，B是兩個__非空數(shù)集__ 設(shè)A，B是兩個非空__集合__ 對應(yīng)關(guān)系 f：A→B 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的__任意__一個數(shù)x，在集合B中都有__唯一確定__的數(shù)f(x)和它對應(yīng) 如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的__任意__一個元素x，在集合B中都有__唯一確定__的元素y與之對應(yīng) 名稱 稱__f

5、：A→B__為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 函數(shù)記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 　　2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的__定義域__；與x的值相對應(yīng)的y值叫做__函數(shù)值__，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的__值域__． (2)函數(shù)的三要素：__定義域__、__對應(yīng)關(guān)系__和__值域__． (3)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有__解析法__、__圖象法__和__列表法__． (4)求函數(shù)解析式 題型 方法 步驟

6、 已知函數(shù)f(g(x))＝F(x)求解析式 配湊法 將右邊的F(x)整理或配湊成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后用x將g(x)代換，便得f(x)的解析式．(如例3(1)法一) 已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))＝F(x)求解析式 換元法 令g(x)＝t，從中解出x(用t表示)，代入F(x)進行換元后，得到f(t)，再將t換成x，便得f(x)的解析式．(如例3(1)法二) 已知函數(shù)類型(如一次函數(shù)，二次函數(shù))求解析式 待定系數(shù)法 先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的系數(shù)．(如例3(2)) 求抽象函數(shù)解析式(已知函數(shù)的抽象

7、關(guān)系式求解函數(shù)解析式的問題) 解方程組法 已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)的解析式．(如訓(xùn)練鞏固T6) 3.分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因__對應(yīng)關(guān)系__不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的__并集__，其值域等于各段函數(shù)的值域的__并集__，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． 對應(yīng)學(xué)生用書p10 函數(shù)與映射的概念 例1　(1)下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，N＝{y|0≤y≤1}為值域的函

8、數(shù)圖象是(　　) [解析]對于選項A，函數(shù)定義域為M，值域不是N； 對于選項B，函數(shù)定義域不是M，值域為N； 對于選項C，函數(shù)定義域是M，值域為N，符合題意； 對于選項D，集合M中存在x與集合N中的兩個y對應(yīng)， 不構(gòu)成映射關(guān)系，故也不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系． [答案]C (2)(多選)下列各組函數(shù)中，f與g相等的是(　　) A．f＝x－1，g＝－1 B．f＝log22x，g＝x C．f＝，g＝ D．f＝lnx2，g＝2lnx [解析]A．f＝x－1定義域為R， g＝－1定義域為∪， 故f≠g，A錯誤； B．f＝log22x＝x，g＝x， 故f＝g，B正確； C．f＝

9、，g＝， ∵＝，且f與g定義域相同， ∴f＝g，C正確； D．f＝lnx2定義域為∪， g＝2lnx定義域為， 故f≠g，D錯誤． [答案]BC [小結(jié)](1)兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)，取決于它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時，才表示同一個函數(shù)．判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同． (2)函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定． 1．下列集合A到集合B的對應(yīng)f不是函數(shù)的有(　　) ①A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數(shù)的平方；

10、 ②A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數(shù)的平方根； ③A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)； ④A＝R，B＝{正實數(shù)}，f：A中的數(shù)取絕對值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．①②③④B．①③④ C．①②D．②③④ [解析]判斷一個對應(yīng)是否為函數(shù)，主要看對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中能否找到唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)．根據(jù)函數(shù)的概念，可知①是函數(shù)；②中，對于A中的元素1，按照對應(yīng)f，在集合B中有兩個數(shù)1，－1與之對應(yīng)，不唯一，故不是函數(shù)；③中，對于集合A中的元素0，在集合B中沒有與之對應(yīng)的元素，故③不是函數(shù)；④中，對于集合A中的元素0，在集合B中沒有與之

11、對應(yīng)的元素，故④不是函數(shù)． [答案]D 2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是(　　) A．y＝()2B．y＝＋1 C．y＝＋1D．y＝＋1 [解析]對于A，函數(shù)y＝()2的定義域為{x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝＋1的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于D，定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B. [答案]B 函數(shù)的定義域 例2　(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，則函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．(－1，1) B．[－

12、1，1] C．[－1，1) D．(－1，1] [解析]由題意可得解得－1＜x＜1， 所以函數(shù)y＝的定義域為(－1，1)． [答案]A (2)若函數(shù)f(x)＝log2(mx2－mx＋1)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0，4) B．[0，4) C．(0，4] D．[0，4] [解析]∵函數(shù)f(x)＝log2(mx2－mx＋1)的定義域為R， ∴mx2－mx＋1>0在R上恒成立， ①當(dāng)m＝0時，有1>0在R上恒成立，故符合條件； ②當(dāng)m≠0時，由解得0

13、f(x)，其定義域可能有如下幾種情況：①若f(x)是分式，則其定義域是使分母不為零的全體實數(shù)組成的集合；②若f(x)是偶次根式，則其定義域是使被開方數(shù)非負(fù)(即不小于零)的實數(shù)的取值集合；③如果f(x)是由一些函數(shù)通過四則運算組合而成的，那么它的定義域是各函數(shù)定義域的交集． (2)函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念． (3)抽象函數(shù)的定義域：①無論是已知定義域還是求定義域，均是指其中的自變量x的取值集合；②對應(yīng)法則f下的范圍一致． (4)已知定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化，列出含參數(shù)的不等式(組)，進而求范

14、圍． 3．函數(shù)y＝ln(2－x)的定義域為(　　) A．(0，2) B．[0，2) C．(0，1] D．[0，2] [解析]由題意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定義域是[0，2)． [答案]B 4．已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－，]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為________． [解析]因為函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－，]， 所以－≤x≤， 所以－1≤x2－1≤2， 所以函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－1，2]． [答案] [－1，2] 函數(shù)的解析式 例3　(1)已知f＝4x2＋6x＋5，則f＝________． [解析]法一

15、：f＝＋＋3， ∴f＝x2＋x＋3， 即函數(shù)的解析式為f＝x2＋x＋3. 法二：令t＝2x＋1，則x＝. ∴f＝4＋6×＋5＝t2＋t＋3， ∴f＝x2＋x＋3，即為所求的解析式． [答案]x2＋x＋3 (2)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝x3－x2－xB．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－xD．y＝x3＋x2－2x [解析]設(shè)所求函數(shù)解析式為f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， 由題意知解得 ∴

16、f(x)＝x3－x2－x. [答案]A [小結(jié)]求函數(shù)解析式的幾種常用方法： (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可． (2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便可得f(x)的解析式； (3)換元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)時，往往可設(shè)h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進行換元，求出f(t)的解析式，再將t替換為x即可． (4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f(或f(－x))的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)

17、造出另一個方程構(gòu)成方程組求出f(x)． 配湊法和換元法中要注意根據(jù)g(x)或t的范圍確定函數(shù)的定義域． 5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x－1，函數(shù)y＝g(x)為一次函數(shù)，若g(f(x))＝2x2＋4x＋3，則g(x)＝________． [解析]由題意，函數(shù)y＝g(x)為一次函數(shù)，由待定系數(shù)法，設(shè)g(x)＝kx＋b (k≠0)，g(f(x))＝k(x2＋2x－1)＋b＝kx2＋2kx＋b－k＝2x2＋4x＋3， 由對應(yīng)系數(shù)相等，得所以k＝2，b＝5. 故g(x)＝2x＋5. [答案]2x＋5 6．已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，則f(x)＝__

18、__________． [解析]在f(x)＝2f·－1中，將x換成，則換成x，得f＝2f(x)·－1， 由解得f(x)＝＋. [答案]＋(x＞0) 分段函數(shù) 例4　(1)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于(　　) A．3B．1C．－1D．－3 [解析]根據(jù)題意，由于函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，而f(1)＝2，f(a)＝－2，則可知a＋1＝－2，a＝－3. [答案]D (2)已知函數(shù)f(x)＝當(dāng)t∈[0，1]時，f(f(t))∈[0，1]，則實數(shù)t的取值范圍是________． [解析]當(dāng)t＝0時，f(t)＝1，f(f(t))＝f(1

19、)＝3?[0，1]，所以t∈(0，1]，所以f(t)＝3t∈(1，3]，所以f(f(t))＝f(3t)＝－·3t∈[0，1]，即≤3t≤3.所以log3≤t≤1.故實數(shù)t的取值范圍是. [答案] [小結(jié)](1)分段函數(shù)問題一般分段求解，其定義域和值域是各段的并集； (2)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，然后選定相應(yīng)關(guān)系式代入求解； (3)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍； (4)當(dāng)自變量含參數(shù)或范圍不確定時，要根據(jù)定義域分成的不同子集進行分類

20、討論． 7．已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)等于(　　) A．－B．－C．－D．－ [解析]函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3， 若a≤1，則2a－1－2＝－3，即有2a－1＝－1<0，方程無解； 若a>1，則－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7， 則f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－. [答案]A 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，g(x)＝x2－2x－5，若f(g(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1]∪[0，2－1] B．[－1，2－1] C．(－∞，－1]∪(0，3] D．[－1，

21、3] [解析]∵g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(0)＝0， 若x>0，則－x<0，g(－x)＝x2＋2x－5， ∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x＋5，x>0， 由題意，知f(－2)＝2，∴f(g(a))≤2即為f(g(a))≤f(－2)． 又f(x)＝∴g(a)≥－2， ∴或或a＝0， ∴a≤－1或0≤a≤2－1.故選A. [答案]A 對應(yīng)學(xué)生用書p11 (2017·全國卷Ⅲ理)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f＞1的x的取值范圍是__________． [解析]當(dāng)x＞時，f(x)＋f＝2x＋2x－＞2x＞＞1； 當(dāng)0＜x≤時，f(x)＋f＝2x＋＋1＝2x＋x＋＞2x＞1； 當(dāng)x≤0時，f(x)＋f＝x＋1＋＋1＝2x＋， ∴由f(x)＋f＞1，得2x＋＞1，即x＞－， 即－＜x≤0. 綜上，x∈. [答案] 11