《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第4講 函數(shù)及其表示導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第4講 函數(shù)及其表示導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二章 函數(shù)
[知識(shí)體系p9]
第4講 函數(shù)及其表示
【課程要求】
1．了解映射的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)解析式．
2．在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇適當(dāng)?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．
3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．
4．掌握求函數(shù)定義域及解析式的基本方法．
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p9
【基礎(chǔ)檢測】
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)對(duì)于函數(shù)f：A→B，其值域就是集合B.( )
(2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等．
2、( )
(3)函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個(gè)交點(diǎn)．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對(duì)應(yīng)是從A到B的映射．( )
(5)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．[必修1p74T7(2)]函數(shù)f(x)＝＋log2(6－x)的定義域是____________．
[答案] [－3，6)
3．[必修1p25B組T1]函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是____________；值域是____________；其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是_
3、___________．
[答案] [－3，0]∪[2，3]；[1，5]；[1，2)∪(4，5]
4．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)? )
A．{x|0＜x≤4}B．{x|0≤x≤4}
C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤1}
[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，
所以0≤2x≤2，解得0≤x≤1，
所以函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閧x|0≤x≤1}．
[答案]D
5．已知f＝x2＋x，則f＝________．
[解析]設(shè)t＝2x＋1，則x＝，
∴f＝＋＝，即f＝.
[答案]
6．已知f(x)＝若f(a)＝2，則a
4、的值為____________．
[解析]當(dāng)a≥0時(shí)，2a－2＝2，解得a＝2；當(dāng)a<0時(shí)，－a2＋3＝2，解得a＝－1.綜上，a的值為－1或2.
[答案]－1或2
【知識(shí)要點(diǎn)】
1．函數(shù)與映射
函數(shù)
映射
兩個(gè)集合
A，B
設(shè)A，B是兩個(gè)__非空數(shù)集__
設(shè)A，B是兩個(gè)非空__集合__
對(duì)應(yīng)關(guān)系
f：A→B
如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的__任意__一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有__唯一確定__的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)
如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的__任意__一個(gè)元素x，在集合B中都有__唯一確定__的元素y與之對(duì)應(yīng)
名稱
稱__f
5、：A→B__為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射
函數(shù)記法
函數(shù)y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函數(shù)的有關(guān)概念
(1)函數(shù)的定義域、值域
在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的__定義域__；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做__函數(shù)值__，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的__值域__．
(2)函數(shù)的三要素：__定義域__、__對(duì)應(yīng)關(guān)系__和__值域__．
(3)函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有__解析法__、__圖象法__和__列表法__．
(4)求函數(shù)解析式
題型
方法
步驟
6、
已知函數(shù)f(g(x))＝F(x)求解析式
配湊法
將右邊的F(x)整理或配湊成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后用x將g(x)代換，便得f(x)的解析式．(如例3(1)法一)
已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))＝F(x)求解析式
換元法
令g(x)＝t，從中解出x(用t表示)，代入F(x)進(jìn)行換元后，得到f(t)，再將t換成x，便得f(x)的解析式．(如例3(1)法二)
已知函數(shù)類型(如一次函數(shù)，二次函數(shù))求解析式
待定系數(shù)法
先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的系數(shù)．(如例3(2))
求抽象函數(shù)解析式(已知函數(shù)的抽象
7、關(guān)系式求解函數(shù)解析式的問題)
解方程組法
已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)的解析式．(如訓(xùn)練鞏固T6)
3.分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因__對(duì)應(yīng)關(guān)系__不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的__并集__，其值域等于各段函數(shù)的值域的__并集__，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p10
函數(shù)與映射的概念
例1 (1)下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，N＝{y|0≤y≤1}為值域的函
8、數(shù)圖象是( )
[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，函數(shù)定義域?yàn)镸，值域不是N；
對(duì)于選項(xiàng)B，函數(shù)定義域不是M，值域?yàn)镹；
對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)定義域是M，值域?yàn)镹，符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)D，集合M中存在x與集合N中的兩個(gè)y對(duì)應(yīng)，
不構(gòu)成映射關(guān)系，故也不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系．
[答案]C
(2)(多選)下列各組函數(shù)中，f與g相等的是( )
A．f＝x－1，g＝－1
B．f＝log22x，g＝x
C．f＝，g＝
D．f＝lnx2，g＝2lnx
[解析]A．f＝x－1定義域?yàn)镽，
g＝－1定義域?yàn)椤龋?
故f≠g，A錯(cuò)誤；
B．f＝log22x＝x，g＝x，
故f＝g，B正確；
C．f＝
9、，g＝，
∵＝，且f與g定義域相同，
∴f＝g，C正確；
D．f＝lnx2定義域?yàn)椤龋?
g＝2lnx定義域?yàn)椋?
故f≠g，D錯(cuò)誤．
[答案]BC
[小結(jié)](1)兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，取決于它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，才表示同一個(gè)函數(shù)．判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對(duì)于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)相同的自變量的值，按照這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同．
(2)函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定．
1．下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)f不是函數(shù)的有( )
①A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數(shù)的平方；
10、
②A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數(shù)的平方根；
③A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)；
④A＝R，B＝{正實(shí)數(shù)}，f：A中的數(shù)取絕對(duì)值．
A．①②③④B．①③④
C．①②D．②③④
[解析]判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)，主要看對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，在集合B中能否找到唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)．根據(jù)函數(shù)的概念，可知①是函數(shù)；②中，對(duì)于A中的元素1，按照對(duì)應(yīng)f，在集合B中有兩個(gè)數(shù)1，－1與之對(duì)應(yīng)，不唯一，故不是函數(shù)；③中，對(duì)于集合A中的元素0，在集合B中沒有與之對(duì)應(yīng)的元素，故③不是函數(shù)；④中，對(duì)于集合A中的元素0，在集合B中沒有與之
11、對(duì)應(yīng)的元素，故④不是函數(shù)．
[答案]D
2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是( )
A．y＝()2B．y＝＋1
C．y＝＋1D．y＝＋1
[解析]對(duì)于A，函數(shù)y＝()2的定義域?yàn)閧x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)y＝＋1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于D，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B.
[答案]B
函數(shù)的定義域
例2 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，則函數(shù)y＝的定義域是( )
A．(－1，1) B．[－
12、1，1] C．[－1，1) D．(－1，1]
[解析]由題意可得解得－1＜x＜1，
所以函數(shù)y＝的定義域?yàn)?－1，1)．
[答案]A
(2)若函數(shù)f(x)＝log2(mx2－mx＋1)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．(0，4) B．[0，4) C．(0，4] D．[0，4]
[解析]∵函數(shù)f(x)＝log2(mx2－mx＋1)的定義域?yàn)镽，
∴mx2－mx＋1>0在R上恒成立，
①當(dāng)m＝0時(shí)，有1>0在R上恒成立，故符合條件；
②當(dāng)m≠0時(shí)，由解得0
13、f(x)，其定義域可能有如下幾種情況：①若f(x)是分式，則其定義域是使分母不為零的全體實(shí)數(shù)組成的集合；②若f(x)是偶次根式，則其定義域是使被開方數(shù)非負(fù)(即不小于零)的實(shí)數(shù)的取值集合；③如果f(x)是由一些函數(shù)通過四則運(yùn)算組合而成的，那么它的定義域是各函數(shù)定義域的交集．
(2)函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念．
(3)抽象函數(shù)的定義域：①無論是已知定義域還是求定義域，均是指其中的自變量x的取值集合；②對(duì)應(yīng)法則f下的范圍一致．
(4)已知定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化，列出含參數(shù)的不等式(組)，進(jìn)而求范
14、圍．
3．函數(shù)y＝ln(2－x)的定義域?yàn)? )
A．(0，2) B．[0，2)
C．(0，1] D．[0，2]
[解析]由題意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定義域是[0，2)．
[答案]B
4．已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域?yàn)閇－，]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)開_______．
[解析]因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x2－1)的定義域?yàn)閇－，]，
所以－≤x≤，
所以－1≤x2－1≤2，
所以函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－1，2]．
[答案] [－1，2]
函數(shù)的解析式
例3 (1)已知f＝4x2＋6x＋5，則f＝________．
[解析]法一
15、：f＝＋＋3，
∴f＝x2＋x＋3，
即函數(shù)的解析式為f＝x2＋x＋3.
法二：令t＝2x＋1，則x＝.
∴f＝4＋6×＋5＝t2＋t＋3，
∴f＝x2＋x＋3，即為所求的解析式．
[答案]x2＋x＋3
(2)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為( )
A．y＝x3－x2－xB．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－xD．y＝x3＋x2－2x
[解析]設(shè)所求函數(shù)解析式為f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
由題意知解得
∴
16、f(x)＝x3－x2－x.
[答案]A
[小結(jié)]求函數(shù)解析式的幾種常用方法：
(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可．
(2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便可得f(x)的解析式；
(3)換元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)時(shí)，往往可設(shè)h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進(jìn)行換元，求出f(t)的解析式，再將t替換為x即可．
(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f(或f(－x))的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)
17、造出另一個(gè)方程構(gòu)成方程組求出f(x)．
配湊法和換元法中要注意根據(jù)g(x)或t的范圍確定函數(shù)的定義域．
5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x－1，函數(shù)y＝g(x)為一次函數(shù)，若g(f(x))＝2x2＋4x＋3，則g(x)＝________．
[解析]由題意，函數(shù)y＝g(x)為一次函數(shù)，由待定系數(shù)法，設(shè)g(x)＝kx＋b (k≠0)，g(f(x))＝k(x2＋2x－1)＋b＝kx2＋2kx＋b－k＝2x2＋4x＋3，
由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得所以k＝2，b＝5.
故g(x)＝2x＋5.
[答案]2x＋5
6．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，則f(x)＝__
18、__________．
[解析]在f(x)＝2f·－1中，將x換成，則換成x，得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
[答案]＋(x＞0)
分段函數(shù)
例4 (1)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于( )
A．3B．1C．－1D．－3
[解析]根據(jù)題意，由于函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，而f(1)＝2，f(a)＝－2，則可知a＋1＝－2，a＝－3.
[答案]D
(2)已知函數(shù)f(x)＝當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，f(f(t))∈[0，1]，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________．
[解析]當(dāng)t＝0時(shí)，f(t)＝1，f(f(t))＝f(1
19、)＝3?[0，1]，所以t∈(0，1]，所以f(t)＝3t∈(1，3]，所以f(f(t))＝f(3t)＝－·3t∈[0，1]，即≤3t≤3.所以log3≤t≤1.故實(shí)數(shù)t的取值范圍是.
[答案]
[小結(jié)](1)分段函數(shù)問題一般分段求解，其定義域和值域是各段的并集；
(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，然后選定相應(yīng)關(guān)系式代入求解；
(3)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍；
(4)當(dāng)自變量含參數(shù)或范圍不確定時(shí)，要根據(jù)定義域分成的不同子集進(jìn)行分類
20、討論．
7．已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)等于( )
A．－B．－C．－D．－
[解析]函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，
若a≤1，則2a－1－2＝－3，即有2a－1＝－1<0，方程無解；
若a>1，則－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，
則f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.
[答案]A
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)＝x2－2x－5，若f(g(a))≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1]∪[0，2－1]
B．[－1，2－1]
C．(－∞，－1]∪(0，3]
D．[－1，
21、3]
[解析]∵g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(0)＝0，
若x>0，則－x<0，g(－x)＝x2＋2x－5，
∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x＋5，x>0，
由題意，知f(－2)＝2，∴f(g(a))≤2即為f(g(a))≤f(－2)．
又f(x)＝∴g(a)≥－2，
∴或或a＝0，
∴a≤－1或0≤a≤2－1.故選A.
[答案]A
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p11
(2017·全國卷Ⅲ理)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f＞1的x的取值范圍是__________．
[解析]當(dāng)x＞時(shí)，f(x)＋f＝2x＋2x－＞2x＞＞1；
當(dāng)0＜x≤時(shí)，f(x)＋f＝2x＋＋1＝2x＋x＋＞2x＞1；
當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＋f＝x＋1＋＋1＝2x＋，
∴由f(x)＋f＞1，得2x＋＞1，即x＞－，
即－＜x≤0.
綜上，x∈.
[答案]
11
（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第4講 函數(shù)及其表示導(dǎo)學(xué)案 新人教A版
