《2019屆高考數(shù)學總復習 模塊七 選考模塊 第21講 坐標系與參數(shù)方程學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019屆高考數(shù)學總復習 模塊七 選考模塊 第21講 坐標系與參數(shù)方程學案 理（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第21講 坐標系與參數(shù)方程
1.[2018·全國卷Ⅰ]在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐標方程;
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.
[試做]?
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2.[2017·全國卷Ⅰ]在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=a+4t,y=1-t(t為參數(shù)).
(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l距離的最大值為17,求a.
[試做
2、]?
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命題角度 坐標系與參數(shù)方程
(1)根據(jù)x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2可將極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)化參數(shù)方程為普通方程的關鍵是消參,可以利用加減消元、平方消元、代入等方法實現(xiàn);
(3)解決坐標系與參數(shù)方程中求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時,一般方法是先分別化為直角坐標方程或普通方程再求解,也可直接利用極坐標的幾何意義求解,解題時要結合題目自身特點,靈活選擇方程的類型.
解答1極坐標與簡單曲線的極坐標方程
1 在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x+3y=53,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方
3、程為ρ=4sin θ.
(1)求直線l的極坐標方程和圓C的直角坐標方程;
(2)射線OP:θ=π6與圓C的交點為O,A,與直線l的交點為B,求線段AB的長.
[聽課筆記] ?
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【考場點撥】
進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是熟練掌握互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2.方程的兩邊同乘(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法.
【自我檢測】
在直角坐標系xOy中,圓C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2:θ=π3(ρ∈R).
(1)求C1的極坐標方程和C2的直角坐標方
4、程;
(2)若曲線C3的極坐標方程為θ=π6(ρ∈R),設C2與C1的交點為O,M,C3與C1的交點為O,N,求△OMN的面積.
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解答2簡單曲線的參數(shù)方程
2 已知直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosθ,y=tsinθ(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),且直線l交曲線C于A,B兩點.
(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程,并求當θ=π4時,|AB|的值;
(2)已知點P(1,0),當直線l的傾斜角θ變化時,求|PA|·|PB|的取值范圍.
[聽課筆記] ?
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【考場點撥】
(1)參數(shù)方程的實質(zhì)是將曲線上每一點的橫、縱坐
5、標分別用同一個參數(shù)表示出來,所以有時處理曲線上與點的坐標有關的問題時,用參數(shù)方程求解非常方便;(2)充分利用直線、圓、橢圓等參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,在解題時能夠事半功倍.
【自我檢測】
已知曲線C:4x29+y216=1,直線l:x=3+t,y=5-2t(t為參數(shù)).
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程;
(2)設曲線C上任意一點P到直線l的距離為d,求d的最大值與最小值.
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解答3極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用
3 在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=2+22t,y=-1+22t(t為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極
6、坐標方程為ρ=22acosθ+π4a>56.
(1)分別寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;
(2)已知點P(2,-1),直線l與曲線C相交于M,N兩點,若|MN|2=6|PM|·|PN|,求a的值.
[聽課筆記] ?
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【考場點撥】
參數(shù)方程主要通過代入法或者利用已知恒等式(如cos2α+sin2α=1等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程,通過選取相應的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程.利用關系式x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,yx=tanθ等可以將極坐標方程與直角坐標方程互化.
【自我檢測】
在平面直角坐標系xOy中,直線l的方程為3x-y-
7、23=0,以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為2cos θ=ρ(1-cos2θ).
(1)寫出直線l的一個參數(shù)方程與曲線C的直角坐標方程;
(2)已知直線l與曲線C交于A,B兩點,試求AB的中點N的坐標.
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模塊七 選考模塊
第21講 坐標系與參數(shù)方程
典型真題研析
1.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.
由題設知,C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y
8、軸左邊的射線為l2.
由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.
當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.
經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;
當k=-43時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.
當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.
經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;
當k=43時,l2與C2沒
9、有公共點.
綜上,所求C1的方程為y=-43|x|+2.
2.解:(1)曲線C的普通方程為x29+y2=1.
當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.
由x+4y-3=0,x29+y2=1,解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.
從而C與l的交點坐標為(3,0),-2125,2425.
(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離
d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17.
當a≥-4時,d的最大值為a+917,由題設得a+917=17,所以a=8;
當a<-4時,d的最大值為-a+117,由題設得-a
10、+117=17,所以a=-16.
綜上,a=8或a=-16.
考點考法探究
解答1
例1 解:(1)將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x+3y=53中,
得ρcos θ+3ρsin θ=53,整理得2ρsinθ+π6=53,
即直線l的極坐標方程為2ρsinθ+π6=53.
由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,將ρ2=x2+y2,ρsin θ=y代入上式,得x2+y2=4y,
可得x2+(y-2)2=4,即圓C的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4.
(2)將θ=π6分別代入ρ=4sin θ,2ρsinθ+π6=53,得|OA|=4sinπ6=2,|OB|=532
11、sinπ6+π6=5,
所以|AB|=|OB|-|OA|=3.
【自我檢測】
解:(1)圓C1的直角坐標方程為x2+y2-4x-8y=0,
把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,
所以C1的極坐標方程為ρ=4cos θ+8sin θ.
易得C2的直角坐標方程為y=3x.
(2)分別將θ=π3,θ=π6代入ρ=4cos θ+8sin θ中,得|OM|=2+43,|ON|=4+23,
則△OMN的面積為12×(2+43)×(4+23)×sinπ3-π6=8+53.
解答2
例2 解:(1)由曲線C的參數(shù)方程為x=3cosα,y
12、=sinα(α為參數(shù)),得曲線C的普通方程為x23+y2=1.
當θ=π4時,直線l的普通方程為y=x-1,
代入x23+y2=1,可得2x2-3x=0,∴x1=0,x2=32,
∴|AB|=1+1×32-0=322.
(2)將直線l的參數(shù)方程代入x23+y2=1,
得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cos θ·t-2=0.
設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,
則t1t2=-2cos2θ+3sin2θ,∴|PA|·|PB|=-t1·t2=2cos2θ+3sin2θ=21+2sin2θ∈23,2.
【自我檢測】
解:(1)曲線C的參數(shù)方程為x=32cosθ,y=4sinθ
13、(θ為參數(shù)),直線l的普通方程為2x+y-11=0.
(2)可設點P32cosθ,4sinθ,則點P到直線l的距離d=55|3cos θ+4sin θ-11|=55|5sin(θ+α)-11|,其中α為銳角,且tan α=34.
則當sin(θ+α)=-1時,d取得最大值,最大值為1655;當sin(θ+α)=1時,d取得最小值,最小值為655.
解答3
例3 解:(1)將x=2+22t,y=-1+22t(t為參數(shù))消去參數(shù)t,可得x-y-3=0,
∴直線l的普通方程為y=x-3.
由ρ=22acosθ+π4,得ρ2=2ρa(cos θ-sin θ).
將ρ2=x2+y2,ρco
14、s θ=x,ρsin θ=y代入上式,得x2+y2-2ax+2ay=0,
即(x-a)2+(y+a)2=2a2,
∴曲線C的直角坐標方程為(x-a)2+(y+a)2=2a2.
(2)將x=2+22t,y=-1+22t代入x2+y2-2ax+2ay=0中,
整理得t2+2t+5-6a=0.
設M,N兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,
則t1+t2=-2,t1t2=5-6a.
∵|MN|2=6|PM|·|PN|,
∴(t1-t2)2=6|t1t2|,
又a>56,
∴t1t2<0,
∴(t1-t2)2=-6t1t2,
∴(t1+t2)2+2t1t2=0,即(-2)2+2(5-
15、6a)=0,
解得a=1,符合題意,
∴a=1.
【自我檢測】
解:(1)直線l的方程為3x-y-23=0,
即3(x-2)=y.
令x=t+2,y=3t,
則直線l的一個參數(shù)方程為x=t+2,y=3t(t為參數(shù)).
由曲線C的極坐標方程可得ρ2(1-cos2θ)=2ρcos θ,
即ρ2sin2θ=2ρcos θ,可得曲線C的直角坐標方程為y2=2x.
(2)將x=t+2,y=3t代入y2=2x,得3t2-2t-4=0.
設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=23.
設點A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),
則x0=x1+x22=2+t
16、1+t22=73,y0=y1+y22=3(t1+t2)2=33,
故AB的中點N的坐標為73,33.
[備選理由] 例1第(2)問考查兩弦長之和,其實質(zhì)是極徑之和,可以寫成極角的表達式,利用三角函數(shù)求解最值,有利于強化學生的綜合分析能力與化歸轉化思想;例2考查參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應用.
例1 [配例1使用]在直角坐標系xOy中,圓C的圓心為0,12,半徑為12,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓C的極坐標方程;
(2)設M,N是圓C上兩個動點,且滿足∠MON=2π3,求|OM|+|ON|的最大值.
解:(1)圓C的直角坐標方程為x2+y-122=
17、14,即x2+y2-y=0,
化成極坐標方程為ρ2-ρsin θ=0,整理得ρ=sin θ.
(2)設M(ρ1,θ),Nρ2,θ+2π3,
則|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=sin θ+sinθ+2π3
=12sin θ+32cos θ=sinθ+π3.
由0<θ<π,0<θ+2π3<π,得0<θ<π3,所以π3<θ+π3<2π3,
故32
18、.
(1)求曲線C1,C2的極坐標方程;
(2)射線l:θ=α(ρ≥0)與曲線C1,C2分別交于點A,B(A,B均異于原點O),當0<α<π2時,求|OB|2-|OA|2的最小值.
解:(1)由題意得,曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,則C1的極坐標方程為ρ=2cos θ.
曲線C2的極坐標方程為ρ2=81+sin2θ.
(2)聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C1的極坐標方程,得|OA|2=4cos2α,
聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C2的極坐標方程,得|OB|2=81+sin2α,
則|OB|2-|OA|2=81+sin2α-4cos2α=81+sin2α-4(1-sin2α)=81+sin2α+4(1+sin2α)-8≥
281+sin2α×4(1+sin2α)-8=82-8(當且僅當sin α=2-1時取等號),
所以|OB|2-|OA|2的最小值為82-8.
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2019屆高考數(shù)學總復習 模塊七 選考模塊 第21講 坐標系與參數(shù)方程學案 理
