2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊七 選考模塊 第21講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、第21講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1.[2018·全國卷Ⅰ]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程. [試做]? ? ? 2.[2017·全國卷Ⅰ]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=a+4t,y=1-t(t為參數(shù)). (1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為17,求a. [試做

2、]? ? ? 命題角度　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 (1)根據(jù)x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2可將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)化參數(shù)方程為普通方程的關(guān)鍵是消參,可以利用加減消元、平方消元、代入等方法實(shí)現(xiàn); (3)解決坐標(biāo)系與參數(shù)方程中求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時(shí),一般方法是先分別化為直角坐標(biāo)方程或普通方程再求解,也可直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解,解題時(shí)要結(jié)合題目自身特點(diǎn),靈活選擇方程的類型. 解答1極坐標(biāo)與簡單曲線的極坐標(biāo)方程 1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x+3y=53,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方

3、程為ρ=4sin θ. (1)求直線l的極坐標(biāo)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程; (2)射線OP:θ=π6與圓C的交點(diǎn)為O,A,與直線l的交點(diǎn)為B,求線段AB的長. [聽課筆記] ? ? ? 【考場點(diǎn)撥】 進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是熟練掌握互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2.方程的兩邊同乘(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法. 【自我檢測】 在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2:θ=π3(ρ∈R). (1)求C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方

4、程; (2)若曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ=π6(ρ∈R),設(shè)C2與C1的交點(diǎn)為O,M,C3與C1的交點(diǎn)為O,N,求△OMN的面積. ? ? 解答2簡單曲線的參數(shù)方程 2 已知直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosθ,y=tsinθ(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),且直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn). (1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程,并求當(dāng)θ=π4時(shí),|AB|的值; (2)已知點(diǎn)P(1,0),當(dāng)直線l的傾斜角θ變化時(shí),求|PA|·|PB|的取值范圍. [聽課筆記] ? ? ? 【考場點(diǎn)撥】 (1)參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是將曲線上每一點(diǎn)的橫、縱坐

5、標(biāo)分別用同一個(gè)參數(shù)表示出來,所以有時(shí)處理曲線上與點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的問題時(shí),用參數(shù)方程求解非常方便;(2)充分利用直線、圓、橢圓等參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,在解題時(shí)能夠事半功倍. 【自我檢測】 已知曲線C:4x29+y216=1,直線l:x=3+t,y=5-2t(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程; (2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為d,求d的最大值與最小值. ? ? 解答3極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 3 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=2+22t,y=-1+22t(t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極

6、坐標(biāo)方程為ρ=22acosθ+π4a>56. (1)分別寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)已知點(diǎn)P(2,-1),直線l與曲線C相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|2=6|PM|·|PN|,求a的值. [聽課筆記] ? ? ? 【考場點(diǎn)撥】 參數(shù)方程主要通過代入法或者利用已知恒等式(如cos2α+sin2α=1等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程,通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程.利用關(guān)系式x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,yx=tanθ等可以將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化. 【自我檢測】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為3x-y-

7、23=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos θ=ρ(1-cos2θ). (1)寫出直線l的一個(gè)參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)已知直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),試求AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo). ? ? 　　　　　　　 模塊七　選考模塊 第21講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 典型真題研析 1.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y

8、軸左邊的射線為l2. 由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn); 當(dāng)k=-43時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn); 當(dāng)k=43時(shí),l2與C2沒

9、有公共點(diǎn). 綜上,所求C1的方程為y=-43|x|+2. 2.解:(1)曲線C的普通方程為x29+y2=1. 當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由x+4y-3=0,x29+y2=1,解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425. 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),-2125,2425. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)(3cos θ,sin θ)到l的距離 d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17. 當(dāng)a≥-4時(shí),d的最大值為a+917,由題設(shè)得a+917=17,所以a=8; 當(dāng)a<-4時(shí),d的最大值為-a+117,由題設(shè)得-a

10、+117=17,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16. 考點(diǎn)考法探究 解答1 例1　解:(1)將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x+3y=53中, 得ρcos θ+3ρsin θ=53,整理得2ρsinθ+π6=53, 即直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+π6=53. 由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,將ρ2=x2+y2,ρsin θ=y代入上式,得x2+y2=4y, 可得x2+(y-2)2=4,即圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4. (2)將θ=π6分別代入ρ=4sin θ,2ρsinθ+π6=53,得|OA|=4sinπ6=2,|OB|=532

11、sinπ6+π6=5, 所以|AB|=|OB|-|OA|=3. 【自我檢測】 解:(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x-8y=0, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0, 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ+8sin θ. 易得C2的直角坐標(biāo)方程為y=3x. (2)分別將θ=π3,θ=π6代入ρ=4cos θ+8sin θ中,得|OM|=2+43,|ON|=4+23, 則△OMN的面積為12×(2+43)×(4+23)×sinπ3-π6=8+53. 解答2 例2　解:(1)由曲線C的參數(shù)方程為x=3cosα,y

12、=sinα(α為參數(shù)),得曲線C的普通方程為x23+y2=1. 當(dāng)θ=π4時(shí),直線l的普通方程為y=x-1, 代入x23+y2=1,可得2x2-3x=0,∴x1=0,x2=32, ∴|AB|=1+1×32-0=322. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x23+y2=1, 得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cos θ·t-2=0. 設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1t2=-2cos2θ+3sin2θ,∴|PA|·|PB|=-t1·t2=2cos2θ+3sin2θ=21+2sin2θ∈23,2. 【自我檢測】 解:(1)曲線C的參數(shù)方程為x=32cosθ,y=4sinθ

13、(θ為參數(shù)),直線l的普通方程為2x+y-11=0. (2)可設(shè)點(diǎn)P32cosθ,4sinθ,則點(diǎn)P到直線l的距離d=55|3cos θ+4sin θ-11|=55|5sin(θ+α)-11|,其中α為銳角,且tan α=34. 則當(dāng)sin(θ+α)=-1時(shí),d取得最大值,最大值為1655;當(dāng)sin(θ+α)=1時(shí),d取得最小值,最小值為655. 解答3 例3　解:(1)將x=2+22t,y=-1+22t(t為參數(shù))消去參數(shù)t,可得x-y-3=0, ∴直線l的普通方程為y=x-3. 由ρ=22acosθ+π4,得ρ2=2ρa(bǔ)(cos θ-sin θ). 將ρ2=x2+y2,ρco

14、s θ=x,ρsin θ=y代入上式,得x2+y2-2ax+2ay=0, 即(x-a)2+(y+a)2=2a2, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-a)2+(y+a)2=2a2. (2)將x=2+22t,y=-1+22t代入x2+y2-2ax+2ay=0中, 整理得t2+2t+5-6a=0. 設(shè)M,N兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=-2,t1t2=5-6a. ∵|MN|2=6|PM|·|PN|, ∴(t1-t2)2=6|t1t2|, 又a>56, ∴t1t2<0, ∴(t1-t2)2=-6t1t2, ∴(t1+t2)2+2t1t2=0,即(-2)2+2(5-

15、6a)=0, 解得a=1,符合題意, ∴a=1. 【自我檢測】 解:(1)直線l的方程為3x-y-23=0, 即3(x-2)=y. 令x=t+2,y=3t, 則直線l的一個(gè)參數(shù)方程為x=t+2,y=3t(t為參數(shù)). 由曲線C的極坐標(biāo)方程可得ρ2(1-cos2θ)=2ρcos θ, 即ρ2sin2θ=2ρcos θ,可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2x. (2)將x=t+2,y=3t代入y2=2x,得3t2-2t-4=0. 設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=23. 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0), 則x0=x1+x22=2+t

16、1+t22=73,y0=y1+y22=3(t1+t2)2=33, 故AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為73,33. [備選理由] 例1第(2)問考查兩弦長之和,其實(shí)質(zhì)是極徑之和,可以寫成極角的表達(dá)式,利用三角函數(shù)求解最值,有利于強(qiáng)化學(xué)生的綜合分析能力與化歸轉(zhuǎn)化思想;例2考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用. 例1　[配例1使用]在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的圓心為0,12,半徑為12,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)M,N是圓C上兩個(gè)動點(diǎn),且滿足∠MON=2π3,求|OM|+|ON|的最大值. 解:(1)圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y-122=

17、14,即x2+y2-y=0, 化成極坐標(biāo)方程為ρ2-ρsin θ=0,整理得ρ=sin θ. (2)設(shè)M(ρ1,θ),Nρ2,θ+2π3, 則|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=sin θ+sinθ+2π3 =12sin θ+32cos θ=sinθ+π3. 由0<θ<π,0<θ+2π3<π,得0<θ<π3,所以π3<θ+π3<2π3, 故32

18、. (1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)射線l:θ=α(ρ≥0)與曲線C1,C2分別交于點(diǎn)A,B(A,B均異于原點(diǎn)O),當(dāng)0<α<π2時(shí),求|OB|2-|OA|2的最小值. 解:(1)由題意得,曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,則C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ. 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2=81+sin2θ. (2)聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C1的極坐標(biāo)方程,得|OA|2=4cos2α, 聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C2的極坐標(biāo)方程,得|OB|2=81+sin2α, 則|OB|2-|OA|2=81+sin2α-4cos2α=81+sin2α-4(1-sin2α)=81+sin2α+4(1+sin2α)-8≥ 281+sin2α×4(1+sin2α)-8=82-8(當(dāng)且僅當(dāng)sin α=2-1時(shí)取等號), 所以|OB|2-|OA|2的最小值為82-8. 10