《(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學總復習 優(yōu)編增分練(80分)解答題標準練(二)理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學總復習 優(yōu)編增分練(80分)解答題標準練(二)理(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學總復習 優(yōu)編增分練(80分)解答題標準練(二)理
1.(2018·威海模擬)在△ABC中,邊BC上一點D滿足AB⊥AD,AD=DC.
(1)若BD=2DC=2,求邊AC的長;
(2)若AB=AC,求sin B.
解 (1)∵AB⊥AD,
∴在Rt△ABD中,sin∠ABD==,
∴∠ABD=60°,AB=1.
在△ABC中,AB=1,BC=3,由余弦定理可得,
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC
=1+9-2×1×3×=7,
∴AC=.
(2)在△ACD中,由正弦定理可得=,
∵AD=DC,
∴=,
∵AB=AC,∴B=C
2、,
∴∠BAC=180°-2B,
∵∠BAD=90°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD
=180°-2B-90°=90°-2B,
∴=,
∴=,
化簡得2sin2B+sin B-=0,
即(sin B-1)(2sin B+)=0,
∵sin B>0,∴sin B=.
2.(2018·安徽省亳州市渦陽一中模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠B1C1A1=90°,異面直線AB1⊥A1C,且AA1=AC.
(1)求證:平面ACC1A1⊥平面A1B1C1;
(2)若AC1=AA1=B1C1,求直線A1C1與平面ABB1A1所成角的正弦值.
(1)證明 因為
3、AA1=AC,
所以四邊形ACC1A1是菱形,
所以A1C⊥AC1,
又因為異面直線AB1⊥A1C,AC1∩AB1=A,
AB1,AC1?平面AB1C1,
所以A1C⊥平面AB1C1,
又B1C1?平面AB1C1,
所以A1C⊥B1C1.
又因為∠B1C1A1=90°,
即B1C1⊥A1C1,
且A1C1∩A1C=A1,A1C,A1C1?平面ACC1A1,
所以B1C1⊥平面ACC1A1,
又B1C1?平面A1B1C1,
所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1.
(2)解 設(shè)O是A1C1的中點,
因為AC1=AA1,
所以AO⊥A1C1,
由(1)可知,AO⊥
4、平面A1B1C1,
以O(shè)為坐標原點,過點O且與C1B1平行的直線為x軸,
以O(shè)C1所在直線為y軸,
以O(shè)A所在直線為z軸,
建立空間直角坐標系O-xyz,
設(shè)AA1=2,
則A(0,0,),A1(0,-1,0),
C1(0,1,0),B1(2,1,0),
設(shè)A1C1與平面ABB1A1所成的角為θ,
因為 =(0,2,0),=(2,2,0),=(0,1,),
設(shè)平面ABB1A1的一個法向量是n=(x,y,z),
則即
不妨令x=1,
則y=-1,z=,可得n=,
所以sin θ=|cos〈,n〉|==,
所以直線A1C1與平面ABB1A1所成角的正弦值為.
3
5、.(2018·山西省運城市康杰中學模擬)在某校舉行的航天知識競賽中,參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶3,且成績分布在[40,100]內(nèi),分數(shù)在80以上(含80)的同學獲獎.按文、理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖(見下圖).
(1)填寫下面的2×2列聯(lián)表,判斷能否有超過95%的把握認為“獲獎與學生的文、理科有關(guān)”?
文科生
理科生
總計
獲獎
5
不獲獎
總計
200
(2)將上述調(diào)査所得的頻率視為概率,現(xiàn)從該校參與競賽的學生中,任意抽取3名學生,記“獲獎”學生人數(shù)為X,求X的分布列及期望.
6、
附表及公式:K2=,n=a+b+c+d.
其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解 (1)
文科生
理科生
總計
獲獎
5
35
40
不獲獎
45
115
160
總計
50
150
200
K2==≈4.167>3.841,
所以有超過95%的把握認為“獲獎與學生的文、理科有關(guān)”.
(2)由表中數(shù)據(jù)可知,將頻率視為概率,從該校參賽學生中任意抽取一人,抽到獲獎同
7、學的概率為.
X的所有可能的取值為0,1,2,3,且X~B.
P(X=k)=C×k×3-k(k=0,1,2,3).
P(X=0)=C×0×3-0=,
P(X=1)=C×1×3-1=,
P(X=2)=C×2×1=,
P(X=3)=C×3×0=,
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
E(X)=3×=.
4.(2018·安徽省“皖江八?!甭?lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F(-c,0),右頂點為A,點E的坐標為(0,c),△EFA的面積為,過點E的動直線l被橢圓C所截得的線段MN長度的最小值為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)B是
8、橢圓C上異于頂點的一點,且直線OB⊥l,D是線段OB延長線上一點,且|DB|=|MN|,⊙D的半徑為|DB|,OP,OQ是⊙D的兩條切線,切點分別為P,Q,求∠POQ的最大值,并求出取得最大值時直線l的斜率.
解 (1)由已知,可得(c+a)c=.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,解得a=2c,
設(shè)橢圓C的方程為+=1,
當直線l的斜率不存在時,線段MN的長為2c;
當直線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=kx+c,
由得(4k2+3)x2+8kcx-8c2=0,
Δ=(8kc)2+32c2(4k2+3)>0,
從而|MN|=·
=
=2c·
=2c·<2
9、c,
易知當k=0時,|MN|的最小值為c,
從而c=1,因此,橢圓C的方程為+=1.
(2)由B是橢圓上異于頂點的一點且直線OB⊥l,可知l的斜率存在且不為0.
由(1)知,
|MN|=,
而⊙D的半徑r=|MN|,
又直線OB的方程為y=-x,
由得x=,
因此|OB|= ·|xB|
=,
由題意可知sin ==,
要求∠POQ的最大值,即求的最小值.
而=
=·
= ,
令u=4k2+3,
則u>3,∈,
因此=
= =≥1,
當且僅當=2,即u=時等號成立,
此時k=±,所以sin≤,
因此≤,所以∠POQ的最大值為.
綜上所述,∠P
10、OQ的最大值為,
取得最大值時直線l的斜率k=±.
5.(2018·四川省成都市第七中學模擬)已知函數(shù)f(x)=(x>0,a∈R).
(1)當a>-時,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當f(x)有兩個極值點時,若f(x)的極大值小于整數(shù)m,求m的最小值.
解 (1)由題意知,
f′(x)=
=(x>0).
令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a(x>0),
則h′(x)=(-x2+x)ex,
當00,h(x)為增函數(shù);
當x>1時,h′(x)<0,h(x)為減函數(shù).
故h(x)在x=1處取得極大值,也為最大值.
則h(x)max=h(1)=
11、-e-a.
由于a>-,
所以h(x)max=h(1)=-e-a<0,
所以f′(x)<0,
于是f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù).
(2)令h(x)=(-x2+3x-3)ex-a(x>0),
則h′(x)=(-x2+x)ex,
當00,h(x)為增函數(shù);
當x>1時,h′(x)<0,h(x)為減函數(shù).
當x趨近于+∞時,h(x)趨近于-∞.
由于f(x)有兩個極值點,
所以f′(x)=0有兩個不等實根,
即h(x)=(-x2+3x-3)ex-a=0有兩不等實根x1,x2(x1
12、1)=-e-a>0,
h=-e-a<-e+3<0,
則x2∈.
而f′(x2)==0,
即ex2=,①
所以f(x)極大值=f(x2)=,
于是f(x2)=,②
令t=x2-2,則x2=t+2,
則②可變?yōu)間(t)=a=a,
可得-1<<-,而-32.
又由①得a=(-x+3x2-3),
把它代入②得f(x2)=(2-x2),
所以當x2∈時,f′(x2)=(1-x2)<0恒成立,
故f(x2)=(2-x2) 為上的減函數(shù),
所以f(x2)>f=>2.
所以滿足
13、題意的整數(shù)m的最小值為3.
6.在數(shù)列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1.
(1) 設(shè)cn=,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列;
(2) 求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和的公式.
(1)證明 ∵Sn+1=4an+2,①
∴當n≥2,n∈N*時,Sn=4an-1+2.②
①-②得an+1=4an-4an-1.
方法一 對an+1=4an-4an-1兩邊同除以2n+1,得
=2-,
即+=2,
即cn+1+cn-1=2cn,
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.
由Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,
則a2=3a1+2=5,
∴c1==,c2==,
故公差
14、d=-=,
∴{cn}是以為首項,為公差的等差數(shù)列.
方法二 ∵an+1-2an=2an-4an-1
=2(an-2an-1),
令bn=an+1-2an,
則{bn}是以a2-2a1=4a1+2-a1-2a1=3為首項,2為公比的等比數(shù)列,
∴bn=3·2n-1,
∵ cn=,
∴ cn+1-cn=-=
===,
c1==,
∴ {cn}是以為首項,為公差的等差數(shù)列.
(2)解 由(1)可知數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,
∴=+(n-1)=n-,an=(3n-1)·2n-2是數(shù)列{an}的通項公式.
設(shè)Sn=(3-1)·2-1+(3×2-1)·20+…+(3n-1)·2n-2,
則2Sn=(3-1)·20+(3×2-1)·21+…+(3n-1)·2n-1,
∴Sn=2Sn-Sn
=-(3-1)·2-1-3(20+21+…+2n-2)+(3n-1)·2n-1
=-1-3×+(3n-1)·2n-1
=-1+3+(3n-4)·2n-1
=2+(3n-4)·2n-1.
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=(3n-1)·2n-2,前n項和公式為Sn=2+(3n-4)·2n-1,n∈N*.