《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第六章 數(shù)列 第32講 等差數(shù)列及其前n項和導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第六章 數(shù)列 第32講 等差數(shù)列及其前n項和導學案 新人教A版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第32講 等差數(shù)列及其前n項和
【課程要求】
1．掌握等差數(shù)列的定義與性質、通項公式、前n項和公式等．
2．掌握等差數(shù)列的判斷方法．
3．掌握等差數(shù)列求和的方法．
對應學生用書p87
【基礎檢測】
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．( )
(2)等差數(shù)列{an}的單調性是由公差d決定的．( )
(3)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．( )
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有
2、2an＋1＝an＋an＋2.( )
(5)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2．[必修5p46A組T2]設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于( )
A．31B．32C．33D．34
[解析]由已知可得解得
∴S8＝8a1＋d＝32.
[答案]B
3．[必修5p39T5]在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a1＋a9＝________．
[解析]由等差數(shù)列的性質，得a3＋a
3、4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a1＋a9＝2a5＝180.
[答案]180
4．一個等差數(shù)列的首項為，從第10項起開始比1大，則這個等差數(shù)列的公差d的取值范圍是( )
A．d>B．d<
C.0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大．
[解析]因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故當n＝8時，其前n項和最大．
[答案
4、]8
6．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項為( )
A．a(chǎn)n＝B．a(chǎn)n＝
C．a(chǎn)n＝D．a(chǎn)n＝
[解析]由＝＋可得－＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝.
[答案]A
【知識要點】
1．等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母__d__表示．
2．等差數(shù)列的通項公式
如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
3．等差中項
5、如果A＝，那么A叫做a與b的等差中項．
4．等差數(shù)列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則an，an＋m，an＋2m，…(n，m∈N*)是公差為__md__的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
5．等差數(shù)列的前n項和公式
設等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝或Sn＝na1＋d(n∈N*)．
6．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系
Sn＝n2＋n(n∈N
6、*)．
數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù)，n∈N*)．
7．等差數(shù)列的前n項和的最值
在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，則Sn存在最__小__值．
對應學生用書p88
等差數(shù)列基本量的計算
例1 (1)(2017·全國卷Ⅰ理)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為( )
A．1B．2C．4D．8
[解析]設{an}的公差為d，
由得
解得d＝4.故選C.
[答案]C
(2)已知等差數(shù)列共有10項，
7、其中奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是( )
A．5B．4C．3D．2
[解析]寫出數(shù)列的第1、3、5、7、9項的和，寫出數(shù)列的第2、4、6、8、10項的和，都用首項和公差表示，兩式相減，得到結果．由此得解得d＝3.
[答案]C
[小結]等差數(shù)列運算問題的通性通法
(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解．
(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．
1．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，a7－a5
8、＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________．
[解析]a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.
[答案]3
等差數(shù)列的性質及應用
例2 (1)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則S11＝( )
A．18B．99C．198D．297
[解析]因為a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99.
[答案]B
(2)已知{an}為等差
9、數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，則a19＋a20＋a21＝________．
[解析]法一：設數(shù)列{an}的公差為d，則a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.
法二：由等差數(shù)列的性質，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差數(shù)列，設此數(shù)列公差為D.所以5＋2D＝10，所以D＝.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.
[答案]20
(3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1
10、＝－2017，－＝6，則S2021＝________．
[解析]由等差數(shù)列的性質可得也為等差數(shù)列．
設其公差為d，則－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2020d＝－2017＋2020＝3，
∴S2021＝3×2021＝6063.
[答案]6063
[小結]等差數(shù)列的常用性質
(1)項的性質：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性質：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
2．已知{an}，{bn}都是等差數(shù)列，
11、若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，則a5＋b6＝________．
[解析]因為{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.
[答案]21
3．等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則等于( )
A.B.C.D.
[解析]＝＝＝＝＝＝.
[答案]A
等差數(shù)列的判定與證明
例3 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求證：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}
12、的通項公式．
[解析] (1)當n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，∴－＝2，
又＝＝2，
故是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．
(2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝－＝
＝－.
當n＝1時，a1＝不適合上式．
故an＝
[小結]等差數(shù)列的判定與證明方法
(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)．
(2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
(4)前n項和公式法
13、：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解析] (1)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，
得＝2，即－＝2，
所以數(shù)列是首項＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．
(2)由(1)知＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n2－n.
等差數(shù)列前n項和的最值問題
例4 設數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，Sn是a和an的等差中項．
(1)求證：數(shù)列{an}為等
14、差數(shù)列；
(2)設數(shù)列{bn}滿足bn＝(－1)n＋1anan＋1，且數(shù)列{bn}前n項和為Tn，若Tn≥tn2，對n∈N*恒成立，求實數(shù)t取值范圍．
[解析] (1)由已知可得2Sn＝a＋an，且an>0，
當n＝1時，2a1＝a＋a1，解得a1＝1.
當n≥2時，有2Sn－1＝a＋an－1，
所以2an＝2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1，
所以a－a＝an＋an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，
因為an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．
故數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
(2)由(1)可知bn＝n.
15、
當n為偶數(shù)時，
Tn＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn－1＋bn
＝×＝－n(n＋2)≥tn2，
即t≤－對任意偶數(shù)都成立，
∴t≤－1；
同理當n為奇數(shù)時，
Sn＝－＋＝(n＋1)2>0，
對t≤－1時，Sn≥tn2恒成立，
綜上：t≤－1.
[小結]等差數(shù)列前n項和Sn＝An2＋Bn，可以從二次函數(shù)的角度求最值，對于含有(－1)n結構的數(shù)列問題一般要進行奇偶性討論．
5．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[解析]∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×2
16、0＋d，
∴d＝－.
法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，
得a13＝0.
即當n≤12時，an＞0，當n≥14時，an＜0.
∴當n＝12或n＝13時，Sn取得最大值，
且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝130.
法二：Sn＝20n＋·
＝－n2＋n
＝－＋.
∵n∈N*，∴當n＝12或n＝13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.
法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴當n＝12或n＝13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝＝130.
對應學生用書p89
17、
1．(2019·全國卷Ⅰ理)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則( )
A．a(chǎn)n＝2n－5B．a(chǎn)n＝3n－10
C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n
[解析]由題知，解得
∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故選A.
[答案]A
2．(2019·全國卷Ⅲ理)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1≠0，a2＝3a1，則＝__________．
[解析]設等差數(shù)列{an}的公差為d，
因為a2＝3a1，所以a1＋d＝3a1，即2a1＝d，
所以＝＝＝4.
[答案]4
3．(2018·全國卷Ⅰ理)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝( )
A．－12B．－10C．10D．12
[解析]法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，
∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，
∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
法二：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
[答案]B
10
（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第六章 數(shù)列 第32講 等差數(shù)列及其前n項和導學案 新人教A版
