（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第六章 數列 第32講 等差數列及其前n項和導學案 新人教A版

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1、第32講　等差數列及其前n項和 【課程要求】 1．掌握等差數列的定義與性質、通項公式、前n項和公式等． 2．掌握等差數列的判斷方法． 3．掌握等差數列求和的方法． 對應學生用書p87 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)若一個數列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．(　　) (2)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的．(　　) (3)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數．(　　) (4)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有

2、2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (5)已知數列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數)，則數列{an}一定是等差數列．(　　) [答案] (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．[必修5p46A組T2]設數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于(　　) A．31B．32C．33D．34 [解析]由已知可得解得 ∴S8＝8a1＋d＝32. [答案]B 3．[必修5p39T5]在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a1＋a9＝________． [解析]由等差數列的性質，得a3＋a

3、4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a1＋a9＝2a5＝180. [答案]180 4．一個等差數列的首項為，從第10項起開始比1大，則這個等差數列的公差d的取值范圍是(　　) A．d>B．d< C.0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大． [解析]因為數列{an}是等差數列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故當n＝8時，其前n項和最大． [答案

4、]8 6．在數列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數列的通項為(　　) A．an＝B．an＝ C．an＝D．an＝ [解析]由＝＋可得－＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數列，所以＝n，即an＝. [答案]A 【知識要點】 1．等差數列的定義 一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母__d__表示． 2．等差數列的通項公式 如果等差數列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)． 3．等差中項

5、如果A＝，那么A叫做a與b的等差中項． 4．等差數列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)． (2)若{an}為等差數列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差數列，公差為d，則an，an＋m，an＋2m，…(n，m∈N*)是公差為__md__的等差數列． (4)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列． 5．等差數列的前n項和公式 設等差數列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝或Sn＝na1＋d(n∈N*)． 6．等差數列的前n項和公式與函數的關系 Sn＝n2＋n(n∈N

6、*)． 數列{an}是等差數列?Sn＝An2＋Bn(A、B為常數，n∈N*)． 7．等差數列的前n項和的最值 在等差數列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，則Sn存在最__小__值． 對應學生用書p88 等差數列基本量的計算 例1　(1)(2017·全國卷Ⅰ理)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1B．2C．4D．8 [解析]設{an}的公差為d， 由得 解得d＝4.故選C. [答案]C (2)已知等差數列共有10項，

7、其中奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差是(　　) A．5B．4C．3D．2 [解析]寫出數列的第1、3、5、7、9項的和，寫出數列的第2、4、6、8、10項的和，都用首項和公差表示，兩式相減，得到結果．由此得解得d＝3. [答案]C [小結]等差數列運算問題的通性通法 (1)等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解． (2)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題． 1．已知數列{an}為等差數列，Sn為其前n項和，a7－a5

8、＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________． [解析]a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1， Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3. [答案]3 等差數列的性質及應用 例2　(1)在等差數列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數列{an}的前n項和，則S11＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．18B．99C．198D．297 [解析]因為a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99. [答案]B (2)已知{an}為等差

9、數列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，則a19＋a20＋a21＝________． [解析]法一：設數列{an}的公差為d，則a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20. 法二：由等差數列的性質，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差數列，設此數列公差為D.所以5＋2D＝10，所以D＝.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20. [答案]20 (3)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1

10、＝－2017，－＝6，則S2021＝________． [解析]由等差數列的性質可得也為等差數列． 設其公差為d，則－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2020d＝－2017＋2020＝3， ∴S2021＝3×2021＝6063. [答案]6063 [小結]等差數列的常用性質 (1)項的性質：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq. (2)和的性質：在等差數列{an}中，Sn為其前n項和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 2．已知{an}，{bn}都是等差數列，

11、若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，則a5＋b6＝________． [解析]因為{an}，{bn}都是等差數列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21. [答案]21 3．等差數列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則等于(　　) A.B.C.D. [解析]＝＝＝＝＝＝. [答案]A 等差數列的判定與證明 例3　若數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：是等差數列； (2)求數列{an}

12、的通項公式． [解析] (1)當n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，∴－＝2， 又＝＝2， 故是首項為2，公差為2的等差數列． (2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝－＝ ＝－. 當n＝1時，a1＝不適合上式． 故an＝ [小結]等差數列的判定與證明方法 (1)定義法：證明對任意正整數n都有an＋1－an等于同一個常數． (2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an＋1＝an＋an＋2. (3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，再根據定義判定數列{an}為等差數列． (4)前n項和公式法

13、：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定義法證明數列{an}為等差數列． 4．已知數列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)證明：數列是等差數列； (2)求數列{an}的通項公式． [解析] (1)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n， 得＝2，即－＝2， 所以數列是首項＝1，公差d＝2的等差數列． (2)由(1)知＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以an＝2n2－n. 等差數列前n項和的最值問題 例4　設數列{an}的各項都為正數，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，Sn是a和an的等差中項． (1)求證：數列{an}為等

14、差數列； (2)設數列{bn}滿足bn＝(－1)n＋1anan＋1，且數列{bn}前n項和為Tn，若Tn≥tn2，對n∈N*恒成立，求實數t取值范圍． [解析] (1)由已知可得2Sn＝a＋an，且an>0， 當n＝1時，2a1＝a＋a1，解得a1＝1. 當n≥2時，有2Sn－1＝a＋an－1， 所以2an＝2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1， 所以a－a＝an＋an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1， 因為an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)． 故數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列． (2)由(1)可知bn＝n.

15、 當n為偶數時， Tn＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn－1＋bn ＝×＝－n(n＋2)≥tn2， 即t≤－對任意偶數都成立， ∴t≤－1； 同理當n為奇數時， Sn＝－＋＝(n＋1)2>0， 對t≤－1時，Sn≥tn2恒成立， 綜上：t≤－1. [小結]等差數列前n項和Sn＝An2＋Bn，可以從二次函數的角度求最值，對于含有(－1)n結構的數列問題一般要進行奇偶性討論． 5．在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值． [解析]∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×2

16、0＋d， ∴d＝－. 法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋， 得a13＝0. 即當n≤12時，an＞0，當n≥14時，an＜0. ∴當n＝12或n＝13時，Sn取得最大值， 且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝130. 法二：Sn＝20n＋· ＝－n2＋n ＝－＋. ∵n∈N*，∴當n＝12或n＝13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當n＝12或n＝13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝＝130. 對應學生用書p89

17、 1．(2019·全國卷Ⅰ理)記Sn為等差數列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．an＝2n－5B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n [解析]由題知，解得 ∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故選A. [答案]A 2．(2019·全國卷Ⅲ理)記Sn為等差數列{an}的前n項和，a1≠0，a2＝3a1，則＝__________． [解析]設等差數列{an}的公差為d， 因為a2＝3a1，所以a1＋d＝3a1，即2a1＝d， 所以＝＝＝4. [答案]4 3．(2018·全國卷Ⅰ理)設Sn為等差數列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12B．－10C．10D．12 [解析]法一：設等差數列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4， ∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1， ∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 法二：設等差數列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. [答案]B 10