2018-2019學年上期北京市各區(qū)期末考試八年級數(shù)學分類匯編 幾何綜合題

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1、2019八上幾何綜合題 2019昌平八上 27. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°. 過點A作直線AP，點C關(guān)于直線AP的對稱點為點D，連接BD，CD，直線BD交直線AP于點E． （1）依題意補全圖27-1； （2）在圖27-1中，若∠PAC=30°，求∠ABD的度數(shù)； （3）若直線AP旋轉(zhuǎn)到如圖27-2所示的位置，請用等式表示線段EB，ED，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 圖27-1 圖27-2 27. 解：（1）補全圖形如

2、下圖: 圖27-1 ……………1分 （2）連接AD. 由軸對稱的性質(zhì)可得：∠PAD=∠PAC=30°，AD=AC. ……2分 ∵AB=AC, ∴AD=AB. ………………………3分 ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD=150°. ∴∠ABE=15°. ……………………………4分 （3）補全圖形，連接CE，AD. 由軸對稱的性質(zhì)可得：CE=DE，AD=AC，

3、 ∠ACE=∠ADE. ……………5分 ∵AB=AC， ∴AD=AB. ∴∠ADB=∠ABD. ∴∠ACE=∠ABD. ∵∠ABD+∠ABE=180°， ∴∠ACE+∠ABE=180°. 在四邊形ABEC中， ∵∠BAC+∠ABE+∠BEC+∠ACE=360°， 又∵∠BAC=90°， ∴∠BEC =90°. ……………………………………………………………6分 ∴BE2+CE2=B

4、C2. ∴EB2+ED2=BC2. …………………………………………………………7分 2019朝陽八上 27．已知C是線段AB垂直平分線m上一動點，連接AC，以AC為邊作等邊三角形ACD，點D在直線AB的上方，連接DB與直線m交于點E，連接BC，AE． （1）如圖1，點C在線段AB上． ①根據(jù)題意補全圖1； ②求證：∠EAC=∠EDC； （2）如圖2，點C在直線AB的上方， 0°＜∠CAB＜30°，用等式表示線段BE，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 圖2 圖1

5、 27． 解： （1）①補全圖形如圖所示． ②證明：∵直線m是AB的垂直平分線， ∴EA=EB，CA=CB． ∴∠EAC=∠B． ∵△ACD是等邊三角形， ∴CA=CD． ∴CD=CB． ∴∠EDC=∠B． ∴∠EAC=∠EDC． （2）BE=CE+DE． 證明：如圖，在EB上截取EF，使EF=CE，連接CF． ∵直線m是AB的垂直平分線， ∴EA=EB，CA=CB． ∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA． ∴∠EAC=∠EBC． ∵△ACD是等邊三角形， ∴CA=CD，∠ACD=60°． ∴CD=

6、CB． ∴∠EDC=∠EBC． ∴∠EDC=∠EAC． ∵∠1=∠2， ∴∠DEA=∠ACD=60°． ∴∠AEB=120°． ∵EA=EB，m⊥AB， ∴∠AEC=∠BEC=60°． ∴△CEF是等邊三角形． ∴∠CEF=∠CFE=60°． ∴△CDF≌△CBE． ∴DF=BE． ∴BE=CE+DE． 2019大興八上 28. 已知:如圖, 過等腰直角三角形ABC的直角頂點A作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接BE，CE，其中CE交直線AP于點F. （1）依題意補全圖形； （2）若∠PAB=16°，求∠A

7、CF的度數(shù)； （3）如圖，若45°<∠PAB<90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明. 28.（1）補全圖形，如圖所示. ………………………………1分 （2）解：連接AE， ∵點E與點B關(guān)于直線AP對稱， ∴對稱軸AP是EB的垂直平分線. ∴AE=AB，∠EAP=∠BAP=16°…………………………………2分 ∵等腰直角三角形ABC, ∴AB=AC， ∠BAC=90° ∴AE=AC. ∴∠AEC=∠

8、ACF. …………………………………………………3分 ∴2∠ACF+32°+90°=180°. ∴∠ACF=29° ……………………………………………………4分 （3）AB，F(xiàn)E，F(xiàn)C滿足的數(shù)量關(guān)系：FE2+FC2=2AB2…………………5分 證明：連接AE，BF，設(shè)BF交AC于點G， ∵點E與點B關(guān)于直線AP對稱， ∴對稱軸AP是EB的垂直平分線. ∴AE=AB，F(xiàn)E=FB. ∵AF=AF， ∴△AEF≌△ABF ∴∠FEA=∠FBA. ∵AB=AC， ∴AE=AC. ∴∠ACE=∠AEC. ∴∠ACE=∠ABF. ………………

9、…………………………6分 又∵∠CGF=∠AGB， ∴∠CFB=∠BAC=90°. ………………………………………7分 ∴FB2+FC2=BC2. ∵BC2=2AB2， ∴FE2+FC2=2AB2 ………………………………………………8分 2019東城八上 27．（本小題6分） （1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖（1），等邊△ABC邊長為2，過AB邊上一點P作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，且AP=CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長. 小明同學經(jīng)過認真思考后認為，可以通過過點P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決這個問題. 請根

10、據(jù)小明同學的思路直接寫出DE的長. （2）【類比探究】 老師引導同學繼續(xù)研究： 1.等邊△ABC邊長為2，當P為BA的延長線上一點時,作PE⊥CA的延長線于點E ，Q為邊BC上一點，且AP=CQ，連接PQ交AC于D.請你在圖（2）中補全圖形并求DE的長. 2. 已知等邊△ABC，當P為AB的延長線上一點時,作PE⊥射線AC于點E， Q為 （BC邊上；BC的延長線上；CB的延長線上）一點，且AP=CQ，連接PQ交直線AC于點D，能使得DE的長度保持不變.(將答案的編號填在橫線上) 圖（1）

11、 圖（2） （備用圖） 27. 解：（1）DE=1. ………………………1分 (2) 1. 正確補全圖形. ……………2分 過點P作PF∥BC交CA的延長線與點F. ∴ ∠PFA=∠C. ∵ △ABC是等邊三角形， ∴ 可證 △APF為等邊三角形. ∴ AP=PF. 又∵ PE⊥CA的延長線于點E ， ∴ AE=FE=. ……………3分 ∵ AP=CQ， ∴ PF=QC. ∵ ∠FDP=∠CDQ， ∴ △FDP≌△CDQ. ∴ FD=CD=.

12、 ……………4分 ∵ DE=DF-EF=. ……………5分 2. . ……………6分 2019東城八上 28. （本小題6分） 在平面直角坐標系xOy中，△為等邊三角形，O為坐標原點，點A關(guān)于y軸的對稱點為D，連接AD，BD，OD，其中AD，BD分別交y軸于點E，P. （1）如圖1，若點B在x軸的負半軸上時，直接寫出的度數(shù)； （2）如圖2，將△繞點O旋轉(zhuǎn)，且點A始終在第二象限，此時AO與y軸正半軸夾角為，60°<<90°，依題意補全圖形，并求出的度數(shù)；（用含的式子表示） （3）在第（2

13、）問的條件下，用等式表示線段BP，PE，PO之間的數(shù)量關(guān)系.（直接寫出結(jié)果） 圖1 圖2 28． 解：（1）120°； ……………1分 （2）正確畫出圖形. ……………2分 ∵ , ∴ . …………3分 ∵ BO=BD, ∴ ∠OBD=∠ODB. ∴ . ……………4分 （3）. ……………6分 說明：本試卷中的試題都只給出了一種解法，對于其他解法請參照評分標準相應給分.

14、 2019房山八上 30. 如圖9，是等腰的外角內(nèi)部的一條射線，，，點關(guān)于的對稱點為，連接，，，其中，分別交射線于點，． （1）依題意補全圖形； （2）若，求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?； （3）用等式表示線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 30、解： （1） ---------------------------2分 （2） ∵∠ABC=90° ∴∠MBC=∠ABC=90° ∵點C關(guān)于BN的對稱點為D ∴BC=BD，∠CBN=∠DBN=

15、 ---------------------------3分 ∵AB=BC ∴AB=BD ---------------------------4分 ∴∠BAD=∠ADB==45°－ ---------------------------5分 (3) 猜想： ---------------------------4分 證明： 過點B作BQ⊥BE交AD于Q ---------------

16、------------6分 ∵∠BPA=∠DBN+∠ADB，∠ADB=45°－，∠DBN= ∴∠BPA=∠DPE=45° ∵點C關(guān)于BN的對稱點為D ∴BE⊥CD ∴PD=PE，PQ=PB， ---------------------------7分 ∵BQ⊥BE，∠BPA=45° ∴∠BPA=∠BQP=45° ∴∠AQB=∠DPB=135° 又∵AB=BD，∠BAD=∠ADB ∴△AQB≌△BPD（AAS） ∴AQ=PD ∵PA=AQ+PQ ∴ ---------------

17、------------8分 2019懷柔八上 27．如圖1，在△ABC中，AB=AC， D為直線BC上一動點（不與B，C重合），在AD的右側(cè)作 △ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE． （1）當D在線段BC上時，求證:△BAD ≌△CAE； （2）當點D運動到何處時，AC⊥DE，并說明理由； （3）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，直接寫出∠ADB的度數(shù)． 圖1 備用圖 27．解：（1）∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE． ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD ≌△CAE（S

18、AS）．……………………………………………………2分 （2）當D運動到BC中點時，AC⊥DE ． …………………………………………3分 ∵D是BC中點，AB=AC ，∴∠1=∠2． ∵△BAD ≌△CAE，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3． ∵AD=AE，∴AC⊥DE． ∴當D運動到BC中點時，AC⊥DE．……………………………5分 （3）∠ADB=20°或40°或100° ．…………………………7分 28．解：（1）如圖：…………………………………………………1分 （2）在△ACE和△BCD中， ∴△ACE ≌△BCD （SAS）． ∴∠1=∠2． ∵∠AEC

19、=∠BEF， ∴∠BFE=∠ACE． ∵∠ACE=90°，∴∠AFB=90°． ∴AF⊥BD．………………………………………3分 （3）數(shù)量關(guān)系是：CQ=CF．………………………………………4分 過C作CG⊥CF交AF于G． ∴∠GCF=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠3=∠4． ∵∠1=∠2，AC=BC， ∴△ACG ≌△BCF（ASA）． ∴CG =CF．∴△CGF是等腰直角三角形． ∴∠CFG=45°．∴∠CFD=45°． ∵點C與 Q關(guān)于BD對稱，∴CF =FQ． ∠CFD=∠QFD=45°． ∴△CFQ是等腰直角三角形． ∴CQ=CF．……………………

20、…………………………………7分 2019門頭溝八上 28．已知：△ABC是等邊三角形，D是直線BC上一動點，連接AD，在線段AD的右側(cè)作射線DP且使∠ADP=30°，作點A關(guān)于射線DP的對稱點E，連接DE、CE． （1）當點D在線段BC上運動時， ① 依題意將圖1補全； ② 請用等式表示線段AB、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； （2）當點D在直線BC上運動時，請直接寫出AB、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明． 圖1 備用圖 28．（本小題滿分7分）

21、 解：（1）①補全圖形………………………………………………………1分 ②AB=CE+CD．…………………………………………………2分 證明：∵ 點A關(guān)于射線DP的對稱點為E， ∴ DP垂直平分AE， ∴ AD=DE． 又∵∠ADP=30°， ∴ ∠ADE=60°； ∴ △ADE是等邊三角形．…………………………………………………………………3分 ∴ AD=AE，∠DAE=∠ADE=60°． 又∵△ABC是等邊三角形， ∴ AB=AC=BC，∠BAC=60°． ∴ ∠BAC－∠DAC =∠DAE －∠DAC， 即：∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中

22、 ∴ △BAD≌△CAE …………………………………………………………………………4分 ∴ BD=CE ∴ AB=BC=BD+CD= CE+CD． （2）AB= CE+CD，AB= CE－CD，AB= CD－CE．…………………………………………………7分 說明： 若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評分參考相應給分． 2019密云八上 27. 已知：在△ABC中，∠ABC=45°，于點D，點E為CD上一點，且DE=AD，連接BE并延長交AC于點F，連接DF. （1）求證：BE=AC （2）用等式表示線段F

23、B、FD、FC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 27 . (1) ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ …………………………1分 ∴ ∴ …………………………3分 (2) …………………………4分 證明：∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴

24、 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ………………………………7分 2019平谷八上 26．閱讀下面材料： 學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聰繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角

25、對應相等”的情形進行研究． 小聰將命題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E． 小聰想：要想解決問題，應該對∠B進行分類研究． 圖1 ∠B可分為“直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究． （1）當∠B是直角時，如圖1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°， 則Rt△ABC≌Rt△DEF（依據(jù)：________） （2）當∠B是銳角時，如圖2，BC=EF，∠B=∠E<90°，在射線EM上有點D，使DF=AC，畫出符合條件的點D，則△ABC和△DEF的關(guān)系是________； A．全等 B．不全等 C．不一定全

26、等 圖2 （3）第三種情況：當∠B是鈍角時，如圖3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E>90°，求證：△ABC≌△DEF． 圖3 26．解：（1）△ABC≌△DEF（依據(jù)：HL）…………………………………………1分 …………………………………………………3分 （2）選擇C ……………………………………………………4分 （3）證明：如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于點G， 過點F作DH⊥DE交DE的延長線于點H， ∵∠CBA

27、=∠FED， ∴180°﹣∠CBA=180°﹣∠FED， 即∠CBG=∠FEH， ……………………………………………………………… 5分 在△CBG和△FEH中， ， ∴△CBG≌△FEH（AAS）， ∴CG=FH， 在Rt△ACG和Rt△DFH中，， Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠A=∠D， ………………………………………………………………………6分 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（AAS）．…………………………………………………………7分 2019石景山八上 28．是等邊三角形，，點關(guān)于對稱的點為，點是直線上

28、 的一個動點，連接，作交射線于點． （1）若點在線段上（不與點，點重合）． ①如圖1，若點是線段的中點，則的長為 ； ②如圖2，點是線段上任意一點，求證：； （2）若點在線段的延長線上． ①依題意補全圖3； ②直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為： ． 圖1 圖2 圖3 28．（1）①．

29、 ………………………… 2分 ②證法一： 圖1 作交于點，如圖1． …… 3分 ∵是等邊三角形， ∴（等邊三角形的三個角都是）． ∵點與點關(guān)于對稱， ∴， ∴． ∴是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形）． ∴（等邊三角形的三邊都相等）， ． ∵，， ∴（等量減等量，差相等）． ………………………… 4

30、分 在和中， ∴≌（）． ∴（ 全等三角形的對應邊相等）． ……………………… 5分 證法二：延長到點，使，連接，如圖2． ……………… 3分 ∵是等邊三角形（已知）， 圖2 ∴（等邊三角形的三個角都是）． ∵點與點關(guān)于對稱（已知）， ∴． ∴． 在和中， ∴≌（）． ∴（全等三角形的

31、對應邊相等）， ……………………… 4分 （全等三角形的對應角相等）． ∵， （對頂角相等）， ∴（三角形內(nèi)角和定理）． ∴（等量代換）． ∴（等角對等邊）． 又∵（已證）， ∴（等量代換）． ……………………… 5分 圖3 證法三： 延長到點，使， 連接，如圖3． 可證≌

32、（）． 再證是等腰三角形． 證法四： 連接，在上截取， 連接，如圖4． 可證≌（）． 圖4 圖5 證法五： 過點作交的延長線于點，于點，如圖5． 圖6 可證≌（）． （2）①補全圖形，如圖6所示；……… 6分 ②． ……… 7

33、分 2019通州八上 28. 在等邊中， （1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP=AQ，，求的度數(shù)； （2）點是邊上的兩個動點（不與重合），點在點的左側(cè)，且，點關(guān)于直線的對稱點為，連接 ①依題意將圖2補全； ②求證： 圖1 圖2 28. （1）解：∵ △ABC為等邊三角形 ∴∠B=60° ∴∠APC=∠BAP+∠B=80° ∵AP=AQ ∴∠AQB=∠APC=80°……………………………..(2分) （2）① 補全圖形如圖所示. …………………………………..(4分

34、) ②證法不唯一 證明：過點A作AH⊥BC于點H，如圖. 由△ABC為等邊三角形，AP=AQ， 可得∠PAB=∠QAC. …………………………………..(5分) ∵點Q，M關(guān)于直線AC對稱， ∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM ∴∠PAB=∠MAC，AQ=AM ∴∠PAM=∠BAC=60°…………………………………..(6分) ∴△APM為等邊三角形 ∴PA=PM. …………………………………..(7分) 2019西城八上 26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等邊

35、三角形△ACD，E為AC的中點，連接DE并延長交BC于點F，連接BD． （1）如圖1，若∠BAC=100°，求∠BDF的度數(shù)； （2）如圖2，∠ACB的平分線交AB于點M，交EF于點N，連接BN． ①補全圖2； ②若BN=DN，求證：MB=MN． 圖1 圖2 （1）解： 在等邊三角形△ACD中， ∠CAD =∠ADC =60°，AD＝AC． ∵ E為AC的中點， ∴∠ADE=∠ADC＝30°． 2分 ∵ AB＝AC，

36、 ∴ AD＝AB． ∵ ∠BAD=∠BAC+∠CAD＝160°． ∴ ∠ADB=∠ABD＝10°． ∴ ∠BDF=∠ADF -∠ADB＝20°． 4分 （2）① 補全圖形； ② 證明：連接AN． ∵ CM平分∠ACB， ∴ 設(shè) ∠ACM=∠BCM=α． ∵ AB＝AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=2α． 在等邊三角形△ACD中， ∵ E為AC的中點， ∴DN⊥AC． ∴ NA=NC． ∴ ∠NAC=∠NCA=α． ∴ ∠DAN=60°+ α． 在△ABN和△ADN中， ∵ ∴ △A

37、BN ≌△ADN． ∴ ∠ABN=∠ADN＝30°，∠BAN=∠DAN＝60°+ α． ∴ ∠BAC＝60°+ 2α． 在△ABC中，∠BAC+∠ACB +∠ABC＝180°， ∴ 60°+ 2α+ 2α+2α=180°． ∴α=20°． ∴ ∠NBC=∠ABC-∠ABN= 10°． ∴ ∠MNB=∠NBC+ ∠NCB=30°． ∴ ∠MNB=∠MBN． ∴ MB=MN． 8分 2019延慶八上 27.如圖，∠MON45°，點A是OM上一點，點B，C是ON上兩點，且ABAC，作 出點B關(guān)于OM對稱的點D，連接AD，CD． （1）按要求補

38、全圖形； （2）判斷∠DAC °； （3）判斷AD與DC的數(shù)量關(guān)系 ，并證明． 27．解：（1）如圖 ………… ……2分 （2）∠DAC=90° ………… ……3分 （3） ………… …

39、…4分 證明：∵點B與點D關(guān)于AO對稱 ∴BD被AO垂直平分 ∴AD=AB 又∵AB=AC ∴AD=AC ………… … 5分 ∵∠ABC=∠ACB=∠O+∠OAB ∴∠BAC= ∴∠DAC=90° ………… … 6分

40、 ∴△ADC是等腰直角三角形 ∴ …………………7分 2019延慶八上 28．如圖，在△ABC中，∠ABC15°，AB，BC2，以AB為直角邊向外作等腰直角△BAD，且∠BAD=90°；以BC為斜邊向外作等腰直角△BEC，連接DE． （1）按要求補全圖形； （2）求DE長； （3）直接寫出△ABC的面積． 28．解：（1）如圖所示………… ……2分

41、 （2） 連接DC 解：∵△ABD是等腰直角三角形, AB=，∠BAD=90°. ∴ AB=AD= ，∠ABD=45°. 由勾股定理得DB=2. ∴ ∠DBC=∠ABC+∠ABD=60°. ∵BC=2. ∴ BC=BD. ∴△BCD是等邊三角形. ∴BD=CD=2. ∴D點在線段BC的垂直平分線上. 又∵△BEC是等腰直角三角形. ∴BE=CE ，∠CEB=45° ∴E點在線段BC的垂直平分線上. ∴DE垂直平分BC.

42、 ∴BF=BC=1， ∠BFE=90° ∵∠FBE=∠BEF=45° ∴BF=EF=1 Rt△BFD中，BF=1，BD=2 由勾股定理得DF= ∴ DE=DF+EF= ………… ……6分 （3）………… ……7分 2019燕山八上 圖1 27．已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射線CM⊥BC，動點P在線段BC上(不與點B，C重合)，過點P作DP⊥AP交射線CM于點D，連接AD． 圖2 (1) 如圖1，若BP＝4，判斷△ADP的形狀，并加以證明． (2) 如圖2，

43、若BP＝1，作點C關(guān)于直線DP的對稱點C′，連接AC′． ① 依題意補全圖2； ② 請直接寫出線段AC′的長度． 27．(1) △ADP是等腰直角三角形． ………………………………1分 證明：∵BC＝5，BP＝4， ∴PC＝1， ∵AB＝1， ∴PC＝AB． ………………………………2分 ∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP， ∴∠B＝∠C＝90°， ∠APB＋∠DPC＝90°，∠PDC＋∠DPC＝90°， ∴∠APB＝∠PDC，

44、 ………………………………3分 在△ABP和△PCD中， ∴△ABP≌△PCD， ………………………………4分 ∴AP＝PD， ∵∠APD＝90°， ∴△ADP是等腰直角三角形． ………………………………5分 (2) ①依題意補全圖2； ………………………………6分 ② AC′＝． ………………………………7分 2019順義八上 30．數(shù)學課上，老師給出了如下問題：

45、 已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延長CB到點D，∠DBE=45°，點F是邊BC上一點，連結(jié)AF，作FE⊥AF，交BE于點E． （1）求證：∠CAF=∠DFE； （2）求證： AF=EF． 經(jīng)過獨立思考后，老師讓同學們小組交流．小輝同學說出了對于第二問的想法：“我想通過構(gòu)造含有邊AF和EF的全等三角形，因此我過點E作EG⊥CD于G（如圖2所示），如果能證明Rt△ACF和Rt△FGE全等，問題就解決了．但是這兩個三角形證不出來相等的邊，好像這樣做輔助線行不通．”小亮同學說：“既然這樣做輔助線證不出來，再考慮有沒有其他添加輔助線的方法．”請你順著

46、小亮同學的思路在圖3中繼續(xù)嘗試，并完成（1）、（2）問的證明． 30．證明：（1）∵∠C=90°， ∴ DCAF + D1 = 90° ． 1 分 ∵FE⊥AF， ∴ DDFE + D1 = 90° ． 2 分 ∴ DCAF = DDFE ． 3 分 （2）在 AC 上截取 AG=BF，連結(jié) FG，如圖 4． 4 分 ∵AC= BC， ∴ AC - AG = BC - BF ． 即 CG= CF． ∵∠C=90°， ∴ DCGF = DCFG = 45° ． ∴ DAGF = 180° - DCGF = 135° ． ∵∠DBE=45°， ∴ DFB

47、E = 180° - DDBE = 135° ． ∴ DAGF = DFBE ． 5 分 由（1）： DCAF = DDFE ． ∴△AGF≌△FBE（ASA）． 6 分 ∴AF=EF． 7 分 2019豐臺八上 28．如圖，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點D為AB邊上的一個動點(不與點A，B及AB中點重合)，連接CD，點A關(guān)于直線CD的對稱點為點E，直線BE，CD交于點F. （1）如圖1，當∠ACD = 15°時，根據(jù)題意將圖形補充完整，并直接寫出∠BFC的度數(shù)； （2）如圖2，當45°∠ACD90°時，用等式表示線段AC，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 圖1 圖2