2018-2019學(xué)年上期北京市各區(qū)期末考試八年級(jí)數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編 幾何綜合題

《2018-2019學(xué)年上期北京市各區(qū)期末考試八年級(jí)數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編 幾何綜合題》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年上期北京市各區(qū)期末考試八年級(jí)數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編 幾何綜合題（28頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019八上幾何綜合題 2019昌平八上 27. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°. 過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AP，點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，CD，直線(xiàn)BD交直線(xiàn)AP于點(diǎn)E． （1）依題意補(bǔ)全圖27-1； （2）在圖27-1中，若∠PAC=30°，求∠ABD的度數(shù)； （3）若直線(xiàn)AP旋轉(zhuǎn)到如圖27-2所示的位置，請(qǐng)用等式表示線(xiàn)段EB，ED，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 圖27-1 圖27-2 27. 解：（1）補(bǔ)全圖形如

2、下圖: 圖27-1 ……………1分 （2）連接AD. 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：∠PAD=∠PAC=30°，AD=AC. ……2分 ∵AB=AC, ∴AD=AB. ………………………3分 ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD=150°. ∴∠ABE=15°. ……………………………4分 （3）補(bǔ)全圖形，連接CE，AD. 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：CE=DE，AD=AC，

3、 ∠ACE=∠ADE. ……………5分 ∵AB=AC， ∴AD=AB. ∴∠ADB=∠ABD. ∴∠ACE=∠ABD. ∵∠ABD+∠ABE=180°， ∴∠ACE+∠ABE=180°. 在四邊形ABEC中， ∵∠BAC+∠ABE+∠BEC+∠ACE=360°， 又∵∠BAC=90°， ∴∠BEC =90°. ……………………………………………………………6分 ∴BE2+CE2=B

4、C2. ∴EB2+ED2=BC2. …………………………………………………………7分 2019朝陽(yáng)八上 27．已知C是線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)m上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，以AC為邊作等邊三角形ACD，點(diǎn)D在直線(xiàn)AB的上方，連接DB與直線(xiàn)m交于點(diǎn)E，連接BC，AE． （1）如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上． ①根據(jù)題意補(bǔ)全圖1； ②求證：∠EAC=∠EDC； （2）如圖2，點(diǎn)C在直線(xiàn)AB的上方， 0°＜∠CAB＜30°，用等式表示線(xiàn)段BE，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 圖2 圖1

5、 27． 解： （1）①補(bǔ)全圖形如圖所示． ②證明：∵直線(xiàn)m是AB的垂直平分線(xiàn)， ∴EA=EB，CA=CB． ∴∠EAC=∠B． ∵△ACD是等邊三角形， ∴CA=CD． ∴CD=CB． ∴∠EDC=∠B． ∴∠EAC=∠EDC． （2）BE=CE+DE． 證明：如圖，在EB上截取EF，使EF=CE，連接CF． ∵直線(xiàn)m是AB的垂直平分線(xiàn)， ∴EA=EB，CA=CB． ∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA． ∴∠EAC=∠EBC． ∵△ACD是等邊三角形， ∴CA=CD，∠ACD=60°． ∴CD=

6、CB． ∴∠EDC=∠EBC． ∴∠EDC=∠EAC． ∵∠1=∠2， ∴∠DEA=∠ACD=60°． ∴∠AEB=120°． ∵EA=EB，m⊥AB， ∴∠AEC=∠BEC=60°． ∴△CEF是等邊三角形． ∴∠CEF=∠CFE=60°． ∴△CDF≌△CBE． ∴DF=BE． ∴BE=CE+DE． 2019大興八上 28. 已知:如圖, 過(guò)等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A作直線(xiàn)AP，點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，連接BE，CE，其中CE交直線(xiàn)AP于點(diǎn)F. （1）依題意補(bǔ)全圖形； （2）若∠PAB=16°，求∠A

7、CF的度數(shù)； （3）如圖，若45°<∠PAB<90°，用等式表示線(xiàn)段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明. 28.（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示. ………………………………1分 （2）解：連接AE， ∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AP對(duì)稱(chēng)， ∴對(duì)稱(chēng)軸AP是EB的垂直平分線(xiàn). ∴AE=AB，∠EAP=∠BAP=16°…………………………………2分 ∵等腰直角三角形ABC, ∴AB=AC， ∠BAC=90° ∴AE=AC. ∴∠AEC=∠

8、ACF. …………………………………………………3分 ∴2∠ACF+32°+90°=180°. ∴∠ACF=29° ……………………………………………………4分 （3）AB，F(xiàn)E，F(xiàn)C滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系：FE2+FC2=2AB2…………………5分 證明：連接AE，BF，設(shè)BF交AC于點(diǎn)G， ∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AP對(duì)稱(chēng)， ∴對(duì)稱(chēng)軸AP是EB的垂直平分線(xiàn). ∴AE=AB，F(xiàn)E=FB. ∵AF=AF， ∴△AEF≌△ABF ∴∠FEA=∠FBA. ∵AB=AC， ∴AE=AC. ∴∠ACE=∠AEC. ∴∠ACE=∠ABF. ………………

9、…………………………6分 又∵∠CGF=∠AGB， ∴∠CFB=∠BAC=90°. ………………………………………7分 ∴FB2+FC2=BC2. ∵BC2=2AB2， ∴FE2+FC2=2AB2 ………………………………………………8分 2019東城八上 27．（本小題6分） （1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖（1），等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，過(guò)AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長(zhǎng). 小明同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)P作平行線(xiàn)構(gòu)造等邊三角形的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題. 請(qǐng)根

10、據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng). （2）【類(lèi)比探究】 老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究： 1.等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，當(dāng)P為BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E ，Q為邊BC上一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交AC于D.請(qǐng)你在圖（2）中補(bǔ)全圖形并求DE的長(zhǎng). 2. 已知等邊△ABC，當(dāng)P為AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí),作PE⊥射線(xiàn)AC于點(diǎn)E， Q為 （BC邊上；BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上；CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上）一點(diǎn)，且AP=CQ，連接PQ交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，能使得DE的長(zhǎng)度保持不變.(將答案的編號(hào)填在橫線(xiàn)上) 圖（1）

11、 圖（2） （備用圖） 27. 解：（1）DE=1. ………………………1分 (2) 1. 正確補(bǔ)全圖形. ……………2分 過(guò)點(diǎn)P作PF∥BC交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)F. ∴ ∠PFA=∠C. ∵ △ABC是等邊三角形， ∴ 可證 △APF為等邊三角形. ∴ AP=PF. 又∵ PE⊥CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E ， ∴ AE=FE=. ……………3分 ∵ AP=CQ， ∴ PF=QC. ∵ ∠FDP=∠CDQ， ∴ △FDP≌△CDQ. ∴ FD=CD=.

12、 ……………4分 ∵ DE=DF-EF=. ……………5分 2. . ……………6分 2019東城八上 28. （本小題6分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△為等邊三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接AD，BD，OD，其中AD，BD分別交y軸于點(diǎn)E，P. （1）如圖1，若點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)； （2）如圖2，將△繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，且點(diǎn)A始終在第二象限，此時(shí)AO與y軸正半軸夾角為，60°<<90°，依題意補(bǔ)全圖形，并求出的度數(shù)；（用含的式子表示） （3）在第（2

13、）問(wèn)的條件下，用等式表示線(xiàn)段BP，PE，PO之間的數(shù)量關(guān)系.（直接寫(xiě)出結(jié)果） 圖1 圖2 28． 解：（1）120°； ……………1分 （2）正確畫(huà)出圖形. ……………2分 ∵ , ∴ . …………3分 ∵ BO=BD, ∴ ∠OBD=∠ODB. ∴ . ……………4分 （3）. ……………6分 說(shuō)明：本試卷中的試題都只給出了一種解法，對(duì)于其他解法請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)相應(yīng)給分.

14、 2019房山八上 30. 如圖9，是等腰的外角內(nèi)部的一條射線(xiàn)，，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，，，其中，分別交射線(xiàn)于點(diǎn)，． （1）依題意補(bǔ)全圖形； （2）若，求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆? （3）用等式表示線(xiàn)段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 30、解： （1） ---------------------------2分 （2） ∵∠ABC=90° ∴∠MBC=∠ABC=90° ∵點(diǎn)C關(guān)于BN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D ∴BC=BD，∠CBN=∠DBN=

15、 ---------------------------3分 ∵AB=BC ∴AB=BD ---------------------------4分 ∴∠BAD=∠ADB==45°－ ---------------------------5分 (3) 猜想： ---------------------------4分 證明： 過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥BE交AD于Q ---------------

16、------------6分 ∵∠BPA=∠DBN+∠ADB，∠ADB=45°－，∠DBN= ∴∠BPA=∠DPE=45° ∵點(diǎn)C關(guān)于BN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D ∴BE⊥CD ∴PD=PE，PQ=PB， ---------------------------7分 ∵BQ⊥BE，∠BPA=45° ∴∠BPA=∠BQP=45° ∴∠AQB=∠DPB=135° 又∵AB=BD，∠BAD=∠ADB ∴△AQB≌△BPD（AAS） ∴AQ=PD ∵PA=AQ+PQ ∴ ---------------

17、------------8分 2019懷柔八上 27．如圖1，在△ABC中，AB=AC， D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），在A(yíng)D的右側(cè)作 △ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE． （1）當(dāng)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，求證:△BAD ≌△CAE； （2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AC⊥DE，并說(shuō)明理由； （3）當(dāng)CE∥AB時(shí)，若△ABD中最小角為20°，直接寫(xiě)出∠ADB的度數(shù)． 圖1 備用圖 27．解：（1）∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE． ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD ≌△CAE（S

18、AS）．……………………………………………………2分 （2）當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，AC⊥DE ． …………………………………………3分 ∵D是BC中點(diǎn)，AB=AC ，∴∠1=∠2． ∵△BAD ≌△CAE，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3． ∵AD=AE，∴AC⊥DE． ∴當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，AC⊥DE．……………………………5分 （3）∠ADB=20°或40°或100° ．…………………………7分 28．解：（1）如圖：…………………………………………………1分 （2）在△ACE和△BCD中， ∴△ACE ≌△BCD （SAS）． ∴∠1=∠2． ∵∠AEC

19、=∠BEF， ∴∠BFE=∠ACE． ∵∠ACE=90°，∴∠AFB=90°． ∴AF⊥BD．………………………………………3分 （3）數(shù)量關(guān)系是：CQ=CF．………………………………………4分 過(guò)C作CG⊥CF交AF于G． ∴∠GCF=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠3=∠4． ∵∠1=∠2，AC=BC， ∴△ACG ≌△BCF（ASA）． ∴CG =CF．∴△CGF是等腰直角三角形． ∴∠CFG=45°．∴∠CFD=45°． ∵點(diǎn)C與 Q關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，∴CF =FQ． ∠CFD=∠QFD=45°． ∴△CFQ是等腰直角三角形． ∴CQ=CF．……………………

20、…………………………………7分 2019門(mén)頭溝八上 28．已知：△ABC是等邊三角形，D是直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在線(xiàn)段AD的右側(cè)作射線(xiàn)DP且使∠ADP=30°，作點(diǎn)A關(guān)于射線(xiàn)DP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接DE、CE． （1）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)， ① 依題意將圖1補(bǔ)全； ② 請(qǐng)用等式表示線(xiàn)段AB、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； （2）當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AB、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明． 圖1 備用圖 28．（本小題滿(mǎn)分7分）

21、 解：（1）①補(bǔ)全圖形………………………………………………………1分 ②A(yíng)B=CE+CD．…………………………………………………2分 證明：∵ 點(diǎn)A關(guān)于射線(xiàn)DP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E， ∴ DP垂直平分AE， ∴ AD=DE． 又∵∠ADP=30°， ∴ ∠ADE=60°； ∴ △ADE是等邊三角形．…………………………………………………………………3分 ∴ AD=AE，∠DAE=∠ADE=60°． 又∵△ABC是等邊三角形， ∴ AB=AC=BC，∠BAC=60°． ∴ ∠BAC－∠DAC =∠DAE －∠DAC， 即：∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中

22、 ∴ △BAD≌△CAE …………………………………………………………………………4分 ∴ BD=CE ∴ AB=BC=BD+CD= CE+CD． （2）AB= CE+CD，AB= CE－CD，AB= CD－CE．…………………………………………………7分 說(shuō)明： 若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評(píng)分參考相應(yīng)給分． 2019密云八上 27. 已知：在△ABC中，∠ABC=45°，于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且DE=AD，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，連接DF. （1）求證：BE=AC （2）用等式表示線(xiàn)段F

23、B、FD、FC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 27 . (1) ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ …………………………1分 ∴ ∴ …………………………3分 (2) …………………………4分 證明：∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴

24、 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ………………………………7分 2019平谷八上 26．閱讀下面材料： 學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聰繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿(mǎn)足兩邊和其中一邊的對(duì)角

25、對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究． 小聰將命題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E． 小聰想：要想解決問(wèn)題，應(yīng)該對(duì)∠B進(jìn)行分類(lèi)研究． 圖1 ∠B可分為“直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究． （1）當(dāng)∠B是直角時(shí)，如圖1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°， 則Rt△ABC≌Rt△DEF（依據(jù)：________） （2）當(dāng)∠B是銳角時(shí)，如圖2，BC=EF，∠B=∠E<90°，在射線(xiàn)EM上有點(diǎn)D，使DF=AC，畫(huà)出符合條件的點(diǎn)D，則△ABC和△DEF的關(guān)系是________； A．全等 B．不全等 C．不一定全

26、等 圖2 （3）第三種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，如圖3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E>90°，求證：△ABC≌△DEF． 圖3 26．解：（1）△ABC≌△DEF（依據(jù)：HL）…………………………………………1分 …………………………………………………3分 （2）選擇C ……………………………………………………4分 （3）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G， 過(guò)點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H， ∵∠CBA

27、=∠FED， ∴180°﹣∠CBA=180°﹣∠FED， 即∠CBG=∠FEH， ……………………………………………………………… 5分 在△CBG和△FEH中， ， ∴△CBG≌△FEH（AAS）， ∴CG=FH， 在Rt△ACG和Rt△DFH中，， Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠A=∠D， ………………………………………………………………………6分 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（AAS）．…………………………………………………………7分 2019石景山八上 28．是等邊三角形，，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，點(diǎn)是直線(xiàn)上

28、 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作交射線(xiàn)于點(diǎn)． （1）若點(diǎn)在線(xiàn)段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）． ①如圖1，若點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 ； ②如圖2，點(diǎn)是線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，求證：； （2）若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上． ①依題意補(bǔ)全圖3； ②直接寫(xiě)出線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系為： ． 圖1 圖2 圖3 28．（1）①．

29、 ………………………… 2分 ②證法一： 圖1 作交于點(diǎn)，如圖1． …… 3分 ∵是等邊三角形， ∴（等邊三角形的三個(gè)角都是）． ∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)， ∴， ∴． ∴是等邊三角形（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）． ∴（等邊三角形的三邊都相等）， ． ∵，， ∴（等量減等量，差相等）． ………………………… 4

30、分 在和中， ∴≌（）． ∴（ 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）． ……………………… 5分 證法二：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，如圖2． ……………… 3分 ∵是等邊三角形（已知）， 圖2 ∴（等邊三角形的三個(gè)角都是）． ∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)（已知）， ∴． ∴． 在和中， ∴≌（）． ∴（全等三角形的

31、對(duì)應(yīng)邊相等）， ……………………… 4分 （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）． ∵， （對(duì)頂角相等）， ∴（三角形內(nèi)角和定理）． ∴（等量代換）． ∴（等角對(duì)等邊）． 又∵（已證）， ∴（等量代換）． ……………………… 5分 圖3 證法三： 延長(zhǎng)到點(diǎn)，使， 連接，如圖3． 可證≌

32、（）． 再證是等腰三角形． 證法四： 連接，在上截取， 連接，如圖4． 可證≌（）． 圖4 圖5 證法五： 過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖5． 圖6 可證≌（）． （2）①補(bǔ)全圖形，如圖6所示；……… 6分 ②． ……… 7

33、分 2019通州八上 28. 在等邊中， （1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點(diǎn)，AP=AQ，，求的度數(shù)； （2）點(diǎn)是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接 ①依題意將圖2補(bǔ)全； ②求證： 圖1 圖2 28. （1）解：∵ △ABC為等邊三角形 ∴∠B=60° ∴∠APC=∠BAP+∠B=80° ∵AP=AQ ∴∠AQB=∠APC=80°……………………………..(2分) （2）① 補(bǔ)全圖形如圖所示. …………………………………..(4分

34、) ②證法不唯一 證明：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖. 由△ABC為等邊三角形，AP=AQ， 可得∠PAB=∠QAC. …………………………………..(5分) ∵點(diǎn)Q，M關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)， ∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM ∴∠PAB=∠MAC，AQ=AM ∴∠PAM=∠BAC=60°…………………………………..(6分) ∴△APM為等邊三角形 ∴PA=PM. …………………………………..(7分) 2019西城八上 26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等邊

35、三角形△ACD，E為AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接BD． （1）如圖1，若∠BAC=100°，求∠BDF的度數(shù)； （2）如圖2，∠ACB的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N，連接BN． ①補(bǔ)全圖2； ②若BN=DN，求證：MB=MN． 圖1 圖2 （1）解： 在等邊三角形△ACD中， ∠CAD =∠ADC =60°，AD＝AC． ∵ E為AC的中點(diǎn)， ∴∠ADE=∠ADC＝30°． 2分 ∵ AB＝AC，

36、 ∴ AD＝AB． ∵ ∠BAD=∠BAC+∠CAD＝160°． ∴ ∠ADB=∠ABD＝10°． ∴ ∠BDF=∠ADF -∠ADB＝20°． 4分 （2）① 補(bǔ)全圖形； ② 證明：連接AN． ∵ CM平分∠ACB， ∴ 設(shè) ∠ACM=∠BCM=α． ∵ AB＝AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=2α． 在等邊三角形△ACD中， ∵ E為AC的中點(diǎn)， ∴DN⊥AC． ∴ NA=NC． ∴ ∠NAC=∠NCA=α． ∴ ∠DAN=60°+ α． 在△ABN和△ADN中， ∵ ∴ △A

37、BN ≌△ADN． ∴ ∠ABN=∠ADN＝30°，∠BAN=∠DAN＝60°+ α． ∴ ∠BAC＝60°+ 2α． 在△ABC中，∠BAC+∠ACB +∠ABC＝180°， ∴ 60°+ 2α+ 2α+2α=180°． ∴α=20°． ∴ ∠NBC=∠ABC-∠ABN= 10°． ∴ ∠MNB=∠NBC+ ∠NCB=30°． ∴ ∠MNB=∠MBN． ∴ MB=MN． 8分 2019延慶八上 27.如圖，∠MON45°，點(diǎn)A是OM上一點(diǎn)，點(diǎn)B，C是ON上兩點(diǎn)，且ABAC，作 出點(diǎn)B關(guān)于OM對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D，連接AD，CD． （1）按要求補(bǔ)

38、全圖形； （2）判斷∠DAC °； （3）判斷AD與DC的數(shù)量關(guān)系 ，并證明． 27．解：（1）如圖 ………… ……2分 （2）∠DAC=90° ………… ……3分 （3） ………… …

39、…4分 證明：∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于A(yíng)O對(duì)稱(chēng) ∴BD被AO垂直平分 ∴AD=AB 又∵AB=AC ∴AD=AC ………… … 5分 ∵∠ABC=∠ACB=∠O+∠OAB ∴∠BAC= ∴∠DAC=90° ………… … 6分

40、 ∴△ADC是等腰直角三角形 ∴ …………………7分 2019延慶八上 28．如圖，在△ABC中，∠ABC15°，AB，BC2，以AB為直角邊向外作等腰直角△BAD，且∠BAD=90°；以BC為斜邊向外作等腰直角△BEC，連接DE． （1）按要求補(bǔ)全圖形； （2）求DE長(zhǎng)； （3）直接寫(xiě)出△ABC的面積． 28．解：（1）如圖所示………… ……2分

41、 （2） 連接DC 解：∵△ABD是等腰直角三角形, AB=，∠BAD=90°. ∴ AB=AD= ，∠ABD=45°. 由勾股定理得DB=2. ∴ ∠DBC=∠ABC+∠ABD=60°. ∵BC=2. ∴ BC=BD. ∴△BCD是等邊三角形. ∴BD=CD=2. ∴D點(diǎn)在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上. 又∵△BEC是等腰直角三角形. ∴BE=CE ，∠CEB=45° ∴E點(diǎn)在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上. ∴DE垂直平分BC.

42、 ∴BF=BC=1， ∠BFE=90° ∵∠FBE=∠BEF=45° ∴BF=EF=1 Rt△BFD中，BF=1，BD=2 由勾股定理得DF= ∴ DE=DF+EF= ………… ……6分 （3）………… ……7分 2019燕山八上 圖1 27．已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射線(xiàn)CM⊥BC，動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上(不與點(diǎn)B，C重合)，過(guò)點(diǎn)P作DP⊥AP交射線(xiàn)CM于點(diǎn)D，連接AD． 圖2 (1) 如圖1，若BP＝4，判斷△ADP的形狀，并加以證明． (2) 如圖2，

43、若BP＝1，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)DP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接AC′． ① 依題意補(bǔ)全圖2； ② 請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AC′的長(zhǎng)度． 27．(1) △ADP是等腰直角三角形． ………………………………1分 證明：∵BC＝5，BP＝4， ∴PC＝1， ∵AB＝1， ∴PC＝AB． ………………………………2分 ∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP， ∴∠B＝∠C＝90°， ∠APB＋∠DPC＝90°，∠PDC＋∠DPC＝90°， ∴∠APB＝∠PDC，

44、 ………………………………3分 在△ABP和△PCD中， ∴△ABP≌△PCD， ………………………………4分 ∴AP＝PD， ∵∠APD＝90°， ∴△ADP是等腰直角三角形． ………………………………5分 (2) ①依題意補(bǔ)全圖2； ………………………………6分 ② AC′＝． ………………………………7分 2019順義八上 30．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：

45、 已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，∠DBE=45°，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，連結(jié)AF，作FE⊥AF，交BE于點(diǎn)E． （1）求證：∠CAF=∠DFE； （2）求證： AF=EF． 經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考后，老師讓同學(xué)們小組交流．小輝同學(xué)說(shuō)出了對(duì)于第二問(wèn)的想法：“我想通過(guò)構(gòu)造含有邊AF和EF的全等三角形，因此我過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于G（如圖2所示），如果能證明Rt△ACF和Rt△FGE全等，問(wèn)題就解決了．但是這兩個(gè)三角形證不出來(lái)相等的邊，好像這樣做輔助線(xiàn)行不通．”小亮同學(xué)說(shuō)：“既然這樣做輔助線(xiàn)證不出來(lái)，再考慮有沒(méi)有其他添加輔助線(xiàn)的方法．”請(qǐng)你順著

46、小亮同學(xué)的思路在圖3中繼續(xù)嘗試，并完成（1）、（2）問(wèn)的證明． 30．證明：（1）∵∠C=90°， ∴ DCAF + D1 = 90° ． 1 分 ∵FE⊥AF， ∴ DDFE + D1 = 90° ． 2 分 ∴ DCAF = DDFE ． 3 分 （2）在 AC 上截取 AG=BF，連結(jié) FG，如圖 4． 4 分 ∵AC= BC， ∴ AC - AG = BC - BF ． 即 CG= CF． ∵∠C=90°， ∴ DCGF = DCFG = 45° ． ∴ DAGF = 180° - DCGF = 135° ． ∵∠DBE=45°， ∴ DFB

47、E = 180° - DDBE = 135° ． ∴ DAGF = DFBE ． 5 分 由（1）： DCAF = DDFE ． ∴△AGF≌△FBE（ASA）． 6 分 ∴AF=EF． 7 分 2019豐臺(tái)八上 28．如圖，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點(diǎn)D為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B及AB中點(diǎn)重合)，連接CD，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，直線(xiàn)BE，CD交于點(diǎn)F. （1）如圖1，當(dāng)∠ACD = 15°時(shí)，根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出∠BFC的度數(shù)； （2）如圖2，當(dāng)45°∠ACD90°時(shí)，用等式表示線(xiàn)段AC，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 圖1 圖2