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1、第12講 函數(shù)模型及其應用
1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較
函數(shù)
性質(zhì)
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)
上的增減性
單調(diào)
?
單調(diào)
?
單調(diào)
?
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
2.常見的函數(shù)模型
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
反比例函數(shù)模型
f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k≠0)
指數(shù)函數(shù)模型
f(x)=bax+c
2、(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)
對數(shù)函數(shù)模型
f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)
冪函數(shù)模型
f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0)
常用結(jié)論
1.函數(shù)f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在區(qū)間(0,ab]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[ab,+∞)上單調(diào)遞增.
2.直線上升、對數(shù)緩慢、指數(shù)爆炸.
題組一 常識題
1.[教材改編] 函數(shù)模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,隨著x的增大,增長速度的大小關系是 .(填關于y1,y2,y3的關系式)?
圖2-12
3、-1
2.[教材改編] 在如圖2-12-1所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是 .?
3.[教材改編] 某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為x8天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.把平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和S表示為x的函數(shù)是 .?
4.[教材改編] 已知某物體的溫度Q(單位:攝氏度)隨時間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律為Q=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).若物體的溫度總不低于2攝氏度,則m的取值范圍是 .?
題組
4、二 常錯題
◆索引:審題不清致錯;忽視限制條件;忽視實際問題中實際量的單位、含義、范圍等;分段函數(shù)模型的分界把握不到位.
5.一枚炮彈被發(fā)射后,其升空高度h與時間t的函數(shù)關系式為h=130t-5t2,則該函數(shù)的定義域是 .?
6.某物體一天中的溫度T是關于時間t的函數(shù),且T=t3-3t+60,時間單位是小時,溫度單位是℃,當t=0時表示中午12:00,其后t值為正,則上午8時該物體的溫度是 .?
7.在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(米/秒)關于燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關系式是v=2000·ln1+Mm.當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的
5、 倍時,火箭的最大速度可達12千米/秒.?
8.已知A,B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到達B地,在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地,則汽車離開A地的距離S(千米)關于時間t(小時)的函數(shù)表達式是 .?
探究點一 一次、二次函數(shù)模型
例1 某公司為提高員工的綜合素質(zhì),聘請專業(yè)機構(gòu)對員工進行專業(yè)技術(shù)培訓,其中培訓機構(gòu)費用成本為12 000元.公司每位員工的培訓費用按以下方式與該機構(gòu)結(jié)算:若公司參加培訓的員工人數(shù)不超過30人,則每人的培訓費用為850元;若公司參加培訓的員工人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠,每多一人,培訓費減少10元,
6、但參加培訓的員工人數(shù)最多為70.已知該公司最多有60位員工可參加培訓,設參加培訓的員工人數(shù)為x,每位員工的培訓費為y元,培訓機構(gòu)的利潤為Q元.
(1)寫出y與x(x>0,x∈N*)之間的函數(shù)關系式.
(2)當公司參加培訓的員工有多少人時,培訓機構(gòu)可獲得最大利潤?并求出最大利潤.
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[總結(jié)反思] 在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時,一定要注意自變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域,解決函數(shù)應用問題時,最后還要還原到實際問題中.
變式題 整改校園內(nèi)一塊長為15 m,寬為11 m的長方形草地(如圖2-12-2),將長減少1 m,寬增加1 m,問草地面
7、積是增加了還是減少了?假設長減少x m,寬增加x m(x>0),試研究以下問題:
x取什么值時,草地面積減少?x取什么值時,草地面積增加?
圖2-12-2
?
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探究點二 指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型
例2 大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v m/s,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為x,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3x100(x≥100)成正比,且當x=300時,v=12.
(1)求出v關于x的函數(shù)解析式.
(2)計算一條鮭魚的游速是32 m/s時耗氧量的單位數(shù).
(3)當鮭魚的游速增加1 m/s時,其耗氧量是原來的幾倍?
?
?
[總結(jié)反思] 與
8、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關的實際問題,在求解時,要先學會合理選擇模型.(1)在兩類函數(shù)模型中,指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型.(2)在解決這兩類函數(shù)模型時,一般先要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,再借助函數(shù)的圖像求解最值問題.
變式題 將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設過5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,若再過m min后甲桶中的水只有a4 L,則m的值為 ( )
A.5 B.8
C.9 D.10
探究點三 分段函數(shù)模型
例3 某群體的人均通勤
9、時間是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時,某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當S中x%(0
10、系式給出,而是由幾個不同的關系式構(gòu)成,所以應建立分段函數(shù)模型;(2)構(gòu)建分段函數(shù)時,要力求準確、簡捷、合理、不重不漏;(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).
變式題 某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水果樹的產(chǎn)量w(單位:百千克)與肥料費用x(單位:百元)滿足如下關系式:w=12x2+1(0≤x≤2),4-31+x(2
11、為多少時,該棵水果樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
?
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第12講 函數(shù)模型及其應用
考試說明 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征,知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.
2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用.
【課前雙基鞏固】
知識聚焦
1.遞增 遞增 遞增
對點演練
1.y3>y1>y2 [解析] 根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度關系可得.
2.[10,30] [解析] 設矩形的另一邊長為y m,由相似三
12、角形的性質(zhì)可得x40=40-y40(0
13、2t-122t恒成立.
令12t=x,則0
14、
15、x∈N*,-10x+1150,3013 500,
∴當公司參加培訓的員工人數(shù)為57或58時,培訓機構(gòu)可獲得最大利潤21 060元.
變式題 解:原草地面積S1=11×15=165(m2),
整改后草地面
16、積為S=14×12=168(m2),
∵S>S1,∴整改后草地面積增加了.
研究:長減少x m,寬增加x m后,草地面積為
S2=(11+x)(15-x).
∵S1-S2=165-(11+x)(15-x)=x2-4x,
∴當04時,x2-4x>0,即S1>S2.
綜上所述,當04時,草地面積減少.
例2 [思路點撥] (1)用待定系數(shù)法求解;(2)將v=32代入解析式,解方程求x即可;(3)設原來的游速為v0 m/s,
17、耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x,分別代入解析式后,兩式消去v0,整理可得.
解:(1)設v=klog3x100(k≠0),
當x=300時,v=12,解得k=12,
∴v關于x的函數(shù)解析式為v=12log3x100(x≥100).
(2)當游速為32 m/s時,由解析式得32=12log3x100,
∴l(xiāng)og3x100=3,∴x100=27,解得x=2700,
即耗氧量的單位數(shù)為2700.
(3)設原來的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x,
則v0=12
18、log3x0100,①
v0+1=12log3x100,②
②-①得1=12log3x100-12log3x0100=12log3xx0,
∴l(xiāng)og3xx0=2,∴xx0=32=9,∴耗氧量是原來的9倍.
變式題 A [解析] ∵5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,
∴函數(shù)y=f(t)=aent滿足f(5)=ae5n=12a,
可得n=15ln12.
設k min后甲桶中的水只有a4 L,
則f(k)=14a,即15ln12·k=ln14,
即15ln12·k=2ln12,解得k=10,
故m=10-5=5.故選A.
例3 [思路點撥] (1)求出f(x)>40時x的取值
19、范圍即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判斷g(x)的單調(diào)性,再說明其實際意義.
解:(1)由題意知,當3040,
即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,
∴當x∈(45,100)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間.
(2)當0
20、00).
當0
21、成立.由于42<43,所以當投入的肥料費用為300元時,該棵水果樹獲得的利潤最大,最大利潤為4300元.
【備選理由】 例1為一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問題,需要分情況討論求最值;例2是一道指數(shù)函數(shù)模型應用問題,需要兩邊取對數(shù)求解;例3為分段函數(shù)模型,需要對函數(shù)求導得最值,運算量較大.
例1 [配合例1使用] 旅行社為某旅游團包飛機去旅游,其中旅行社的包機費為15 000元.旅游團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團人數(shù)不多于30,則飛機票每張收費900元;若旅游團人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠,每多1人,機票費每張減少10元,但旅游團人數(shù)最多
22、為75.
(1)寫出飛機票的價格關于旅游團人數(shù)的函數(shù)關系式.
(2)旅游團人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?
解:(1)設旅游團人數(shù)為x,飛機票價格為y元,依題意知,當1≤x≤30,且x∈N*時,y=900;當30
23、.
當1≤x≤30,且x∈N*時,f(x)max=f(30)=12 000;
當3012 000,
所以旅游團人數(shù)為60時,旅行社可獲得最大利潤.
例2 [配合例2使用] 衣柜里的樟腦丸隨著時間推移會揮發(fā),從而體積變小,若它的體積V隨時間t的變化規(guī)律是V=V0e110t(e為自然對數(shù)的底數(shù)),其中V0為初始值.若V=V03,則t的值約為 .(運算結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):lg 3≈0.477 1,lg e≈0.434 3)?
[答案] 11
[解析] 由題知V0e110t=V03,即e110t
24、=13=3-1,所以-110t=ln 3-1=-ln 3,所以t=10ln 3=10×lg3lg e≈10×0.477 10.434 3≈11.
例3 [配合例3使用] 某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的電子產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:當每臺電子產(chǎn)品的利潤為x(單位:元,x>0)時,銷售量q(x)(單位:百臺)與x之間的關系滿足:若x不超過25,則q(x)=2400x+11;若x大于或等于225,則銷售量為零;當25≤x≤225時,q(x)=a-bx(a,b為實常數(shù)).
(1)求函數(shù)q(x)的表達式.
(2)當x為多少時,總利潤(單位:元)最大?并求出該最大值.
解:(1)當25≤x≤22
25、5時,由a-b·25=400,a-b·225=0,得a=600,b=40.
故q(x)=2400x+11,0225.
(2)設總利潤為f(x),則f(x)=100q(x)·x,
由(1)得f(x)=240 000xx+11,0225.
當00,f(x)單調(diào)遞增,
當100225時,f(x)=0.
故當x為100時,總利潤最大,為2 000 000元.
11
（通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第12講 函數(shù)模型及其應用學案 理 新人教A版
