（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第12講 函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理 新人教A版

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1、第12講　函數(shù)模型及其應(yīng)用 1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較 　　　　函數(shù) 性質(zhì)　　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的增減性 單調(diào) 　　　? 單調(diào) 　　　? 單調(diào) 　　　? 增長(zhǎng)速度 越來(lái)越快 越來(lái)越慢 相對(duì)平穩(wěn) 2.常見的函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0) 二次函數(shù)模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0) 反比例函數(shù)模型 f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k≠0) 指數(shù)函數(shù)模型 f(x)=bax+c

2、(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0) 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0) 冪函數(shù)模型 f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0) 常用結(jié)論 1.函數(shù)f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在區(qū)間(0,ab]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[ab,+∞)上單調(diào)遞增. 2.直線上升、對(duì)數(shù)緩慢、指數(shù)爆炸. 題組一　常識(shí)題 1.[教材改編] 函數(shù)模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,隨著x的增大,增長(zhǎng)速度的大小關(guān)系是　　　　.(填關(guān)于y1,y2,y3的關(guān)系式)? 圖2-12

3、-1 2.[教材改編] 在如圖2-12-1所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x(單位:m)的取值范圍是　　　　.? 3.[教材改編] 某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為x8天,且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.把平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和S表示為x的函數(shù)是　　　　　　.? 4.[教材改編] 已知某物體的溫度Q(單位:攝氏度)隨時(shí)間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律為Q=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).若物體的溫度總不低于2攝氏度,則m的取值范圍是　　　　.? 題組

4、二　常錯(cuò)題 ◆索引:審題不清致錯(cuò);忽視限制條件;忽視實(shí)際問(wèn)題中實(shí)際量的單位、含義、范圍等;分段函數(shù)模型的分界把握不到位. 5.一枚炮彈被發(fā)射后,其升空高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為h=130t-5t2,則該函數(shù)的定義域是　　　　　.? 6.某物體一天中的溫度T是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù),且T=t3-3t+60,時(shí)間單位是小時(shí),溫度單位是℃,當(dāng)t=0時(shí)表示中午12:00,其后t值為正,則上午8時(shí)該物體的溫度是　　　　.? 7.在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(米/秒)關(guān)于燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v=2000·ln1+Mm.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的

5、　　　　倍時(shí),火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒.? 8.已知A,B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/小時(shí)的速度從A地到達(dá)B地,在B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地,則汽車離開A地的距離S(千米)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)表達(dá)式是　　　　　　.? 探究點(diǎn)一　一次、二次函數(shù)模型 例1 某公司為提高員工的綜合素質(zhì),聘請(qǐng)專業(yè)機(jī)構(gòu)對(duì)員工進(jìn)行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn),其中培訓(xùn)機(jī)構(gòu)費(fèi)用成本為12 000元.公司每位員工的培訓(xùn)費(fèi)用按以下方式與該機(jī)構(gòu)結(jié)算:若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)不超過(guò)30人,則每人的培訓(xùn)費(fèi)用為850元;若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠,每多一人,培訓(xùn)費(fèi)減少10元,

6、但參加培訓(xùn)的員工人數(shù)最多為70.已知該公司最多有60位員工可參加培訓(xùn),設(shè)參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為x,每位員工的培訓(xùn)費(fèi)為y元,培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的利潤(rùn)為Q元. (1)寫出y與x(x>0,x∈N*)之間的函數(shù)關(guān)系式. (2)當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工有多少人時(shí),培訓(xùn)機(jī)構(gòu)可獲得最大利潤(rùn)?并求出最大利潤(rùn). ? ? ? ? ? ? [總結(jié)反思] 在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)問(wèn)題時(shí),一定要注意自變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域,解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí),最后還要還原到實(shí)際問(wèn)題中. 變式題 整改校園內(nèi)一塊長(zhǎng)為15 m,寬為11 m的長(zhǎng)方形草地(如圖2-12-2),將長(zhǎng)減少1 m,寬增加1 m,問(wèn)草地面

7、積是增加了還是減少了?假設(shè)長(zhǎng)減少x m,寬增加x m(x>0),試研究以下問(wèn)題: x取什么值時(shí),草地面積減少?x取什么值時(shí),草地面積增加? 圖2-12-2 ? ? ? ? 探究點(diǎn)二　指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型 例2 大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v m/s,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為x,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3x100(x≥100)成正比,且當(dāng)x=300時(shí),v=12. (1)求出v關(guān)于x的函數(shù)解析式. (2)計(jì)算一條鮭魚的游速是32 m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù). (3)當(dāng)鮭魚的游速增加1 m/s時(shí),其耗氧量是原來(lái)的幾倍? ? ? [總結(jié)反思] 與

8、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,在求解時(shí),要先學(xué)會(huì)合理選擇模型.(1)在兩類函數(shù)模型中,指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型.(2)在解決這兩類函數(shù)模型時(shí),一般先要通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,再借助函數(shù)的圖像求解最值問(wèn)題. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 變式題 將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設(shè)過(guò)5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,若再過(guò)m min后甲桶中的水只有a4 L,則m的值為 (　　) A.5 B.8 C.9 D.10 探究點(diǎn)三　分段函數(shù)模型 例3 某群體的人均通勤

9、時(shí)間是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí),某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)S中x%(0

10、系式給出,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,所以應(yīng)建立分段函數(shù)模型;(2)構(gòu)建分段函數(shù)時(shí),要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷、合理、不重不漏;(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值). 變式題 某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水果樹的產(chǎn)量w(單位:百千克)與肥料費(fèi)用x(單位:百元)滿足如下關(guān)系式:w=12x2+1(0≤x≤2),4-31+x(2

11、為多少時(shí),該棵水果樹獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少? ? ? ? ? 第12講　函數(shù)模型及其應(yīng)用 考試說(shuō)明 1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征,知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義. 2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用. 【課前雙基鞏固】 知識(shí)聚焦 1.遞增　遞增　遞增 對(duì)點(diǎn)演練 1.y3>y1>y2　[解析] 根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度關(guān)系可得. 2.[10,30]　[解析] 設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為y m,由相似三

12、角形的性質(zhì)可得x40=40-y40(0

13、2t-122t恒成立. 令12t=x,則0

14、

15、x∈N*,-10x+1150,3013 500, ∴當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為57或58時(shí),培訓(xùn)機(jī)構(gòu)可獲得最大利潤(rùn)21 060元. 變式題　解:原草地面積S1=11×15=165(m2), 整改后草地面

16、積為S=14×12=168(m2), ∵S>S1,∴整改后草地面積增加了. 研究:長(zhǎng)減少x m,寬增加x m后,草地面積為 S2=(11+x)(15-x). ∵S1-S2=165-(11+x)(15-x)=x2-4x, ∴當(dāng)04時(shí),x2-4x>0,即S1>S2. 綜上所述,當(dāng)04時(shí),草地面積減少. 例2　[思路點(diǎn)撥] (1)用待定系數(shù)法求解;(2)將v=32代入解析式,解方程求x即可;(3)設(shè)原來(lái)的游速為v0 m/s,

17、耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x,分別代入解析式后,兩式消去v0,整理可得. 解:(1)設(shè)v=klog3x100(k≠0), 當(dāng)x=300時(shí),v=12,解得k=12, ∴v關(guān)于x的函數(shù)解析式為v=12log3x100(x≥100). (2)當(dāng)游速為32 m/s時(shí),由解析式得32=12log3x100, ∴l(xiāng)og3x100=3,∴x100=27,解得x=2700, 即耗氧量的單位數(shù)為2700. (3)設(shè)原來(lái)的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,游速增加1 m/s后為(v0+1) m/s,耗氧量的單位數(shù)為x, 則v0=12

18、log3x0100,① v0+1=12log3x100,② ②-①得1=12log3x100-12log3x0100=12log3xx0, ∴l(xiāng)og3xx0=2,∴xx0=32=9,∴耗氧量是原來(lái)的9倍. 變式題　A　[解析] ∵5 min后甲桶和乙桶中的水量相等, ∴函數(shù)y=f(t)=aent滿足f(5)=ae5n=12a, 可得n=15ln12. 設(shè)k min后甲桶中的水只有a4 L, 則f(k)=14a,即15ln12·k=ln14, 即15ln12·k=2ln12,解得k=10, 故m=10-5=5.故選A. 例3　[思路點(diǎn)撥] (1)求出f(x)>40時(shí)x的取值

19、范圍即可;(2)分段求出g(x)的解析式,判斷g(x)的單調(diào)性,再說(shuō)明其實(shí)際意義. 解:(1)由題意知,當(dāng)3040, 即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45, ∴當(dāng)x∈(45,100)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間. (2)當(dāng)0

20、00). 當(dāng)0

21、成立.由于42<43,所以當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí),該棵水果樹獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為4300元. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1為一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問(wèn)題,需要分情況討論求最值;例2是一道指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題,需要兩邊取對(duì)數(shù)求解;例3為分段函數(shù)模型,需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得最值,運(yùn)算量較大. 例1　[配合例1使用] 旅行社為某旅游團(tuán)包飛機(jī)去旅游,其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為15 000元.旅游團(tuán)中每人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團(tuán)人數(shù)不多于30,則飛機(jī)票每張收費(fèi)900元;若旅游團(tuán)人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠,每多1人,機(jī)票費(fèi)每張減少10元,但旅游團(tuán)人數(shù)最多

22、為75. (1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于旅游團(tuán)人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式. (2)旅游團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)? 解:(1)設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為x,飛機(jī)票價(jià)格為y元,依題意知,當(dāng)1≤x≤30,且x∈N*時(shí),y=900;當(dāng)30

23、. 當(dāng)1≤x≤30,且x∈N*時(shí),f(x)max=f(30)=12 000; 當(dāng)3012 000, 所以旅游團(tuán)人數(shù)為60時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn). 例2　[配合例2使用] 衣柜里的樟腦丸隨著時(shí)間推移會(huì)揮發(fā),從而體積變小,若它的體積V隨時(shí)間t的變化規(guī)律是V=V0e110t(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),其中V0為初始值.若V=V03,則t的值約為　　　　.(運(yùn)算結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):lg 3≈0.477 1,lg e≈0.434 3)? [答案] 11 [解析] 由題知V0e110t=V03,即e110t

24、=13=3-1,所以-110t=ln 3-1=-ln 3,所以t=10ln 3=10×lg3lg e≈10×0.477 10.434 3≈11. 例3　[配合例3使用] 某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的電子產(chǎn)品,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:當(dāng)每臺(tái)電子產(chǎn)品的利潤(rùn)為x(單位:元,x>0)時(shí),銷售量q(x)(單位:百臺(tái))與x之間的關(guān)系滿足:若x不超過(guò)25,則q(x)=2400x+11;若x大于或等于225,則銷售量為零;當(dāng)25≤x≤225時(shí),q(x)=a-bx(a,b為實(shí)常數(shù)). (1)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式. (2)當(dāng)x為多少時(shí),總利潤(rùn)(單位:元)最大?并求出該最大值. 解:(1)當(dāng)25≤x≤22

25、5時(shí),由a-b·25=400,a-b·225=0,得a=600,b=40. 故q(x)=2400x+11,0225. (2)設(shè)總利潤(rùn)為f(x),則f(x)=100q(x)·x, 由(1)得f(x)=240 000xx+11,0225. 當(dāng)00,f(x)單調(diào)遞增, 當(dāng)100225時(shí),f(x)=0. 故當(dāng)x為100時(shí),總利潤(rùn)最大,為2 000 000元. 11