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1、第2章 2.2 第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式
一、選擇題
1.(2020·重慶文)在等差數(shù)列{an}中,a1+a9=10,則a5的值為( )
A.5 B.6
C.8 D.10
[答案] A
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+a9=a1+a1+8d=2a1+8d=2(a1+4d)=2a5=10,∴a5=5.
2.在數(shù)列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,則a101的值為( )
A.49 B.50
C.51 D.52
[答案] D
[解析] 由2an+1=2an+1得an+1-an=,∴{an}是等差數(shù)列首項(xiàng)a1=2,公
2、差d=,
∴an=2+(n-1)=
∴a101==52.
3.等差數(shù)列相鄰四項(xiàng)是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分別為( )
A.2,7 B.1,6 C.0,5 D.無法確定
[答案] A
[解析] 由題設(shè)2(a+3)=a+1+b,
∴a-b+5=0又2b=(a+3)+(a+b),
∴2a-b+3=0,
由得
4.設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列,前三項(xiàng)和為12,前三項(xiàng)積為48,則它的首項(xiàng)為( )
A.1 B.2 C.4 D.3
[答案] B
[解析] 由題設(shè),
∴a2=4,∴,
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=
3、0的兩根,
又a3>a1,∴a1=2.
5.{an}是首項(xiàng)a1=1,公差d=3的等差數(shù)列,如果an=2 005,則序列號(hào)n等于( )
A.667 B.668 C.669 D.670
[答案] C
[解析] 由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得2020=1+(n-1)×3解得n=669.
6.等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,an=13,則n的值為( )
A.10 B.11 C.12 D.13
[答案] C
[解析] 設(shè)公差為d,∵a3+a5=10,a1=2,
∴2a1+6d=10,∴d=1.
∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1,
又
4、an=13,∴n+1=13,n=12.
二、填空題
7.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6=________.
[答案] 42
[解析] a1+a2+a3=15,a2=5,d=3,
∴a5=a2+3d=14,a4+a5+a6=3a5=42.
8.等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為x,2x+1,4x+2,則它的第5項(xiàng)為__________.
[答案] 4
[解析] 2(2x+1)=x+(4x+2),∴x=0,∴a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
三、解答題
9.在等差數(shù)列{an}中,若a2+a4+a5+a6+a8
5、=450,求a1+a9.
[解析] ∵a2+a8=a4+a6=2a5,
∴a2+a8+a4+a6+a5=5a5,
∴5a5=450,∴a5=90.
又∵a1+a9=2a5,∴a1+a9=180.
10.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,求n.
[解析] ∵a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=2×+5d,
又a2+a5=4,∴2×+5d=4,解得d=.
∴an=a1+(n-1)d=+(n-1)=33,
解得n=50.
能力提升
一、選擇題
1.已知a=,b=,則a,b的等差中頂為( )
A. B. C. D.
[答
6、案] A
[解析]?。剑剑?
2.已知數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1,又?jǐn)?shù)列{}是等差數(shù)列,則a11等于( )
A.0 B. C. D.-1
[答案] B
[解析] 令bn=,由題設(shè)b3==,
b7==且{bn}為等差數(shù)列,
∴b7=b3+4d,∴d=.∴b11=b7+4d=+=,
又b11=,∴a11=.
二、填空題
3.在a和b(a≠b)兩數(shù)之間插入n個(gè)數(shù),使它們與a、b組成等差數(shù)列,則該數(shù)列的公差為__________.
[答案]
[解析] 設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為b1、b2……bn則由a、b1、b2……bn、b成等差數(shù)列.
∴b=a+(n+1)d,
7、∴d=.
4.在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則3a9-a11的值為________.
[答案] 48
[解析] ∵a1+3a8+a15=a1+3(a1+7d)+a1+14d=5a1+35d=5(a1+7d)=120,∴a1+7d=24.
3a9-a11=3(a1+8d)-(a1+10d)
=3a1+24d-a1-10d
=2a1+14d=2(a1+7d)=48.
三、解答題
5.設(shè)a1=kc,a2=kc2,a3=kc3(k>0,c>0),求證:lga1,lga2,lga3成等差數(shù)列.
[解析] ∵a1=kc,a2=kc2,a3=kc3(k>0,c>0),
8、
∴l(xiāng)ga1+lga3=lg(a1a3)=lg(k2c4)
=lg(kc2)2=2lg(kc2)=2lga2,
即lga1+lga3=2lga2.
∴l(xiāng)ga1,lga2,lga3成等差數(shù)列.
6.已知等差數(shù)列{an},設(shè)bn=()an,又已知b1+b2+b3=,b·b2·b3=,求{an}的通項(xiàng)公式.
[解析] ∵b1+b2+b3=()a1+()a2+()a3=,b1b2b3=()a1+a2+a3=,
∴a1+a2+a3=3,因?yàn)閍1,a2,a3成等差數(shù)列,可設(shè)a1=a2-d,a3=a2+d,于是a2=1.
由()1-d++()1+d=,
得2d+2-d=.解得d=2或d=-
9、2.
當(dāng)d=2時(shí),a1=1-d=-1,
an=-1+2(n-1)=2n-3.
當(dāng)d=-2時(shí),a1=1-d=3,
an=3-2(n-1)=-2n+5.
7.已知f(x)=,在數(shù)列{xn}中,xn=f(xn-1).若x1=,求x100的值.
[解析] ∵xn=f(xn-1),∴xn=
即xnxn-1+3xn=3xn-1
得=1,即-=.
∴{}是以2為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.
∴=+(n-1),∴x100=.
8.成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40,求這四個(gè)數(shù).
[解析] 設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,由題意可知,
即,解得或,
故所求四個(gè)數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2.