《高中數學 第一章 集合 第3節(jié) 集合的基本運算(第1課時)基礎知識素材 北師大版必修1(通用)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高中數學 第一章 集合 第3節(jié) 集合的基本運算(第1課時)基礎知識素材 北師大版必修1(通用)(4頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、3.1 交集與并集
1.理解兩個集合的交集和并集的含義,會求兩個簡單集合的交集與并集.
2.掌握有關術語和符號∩和∪,能用Venn圖表達集合之間的關系和運算.
1.交集
(1)定義:一般地,由既屬于集合A又屬于集合B的________組成的集合,叫作A與B的交集,也就是由集合A與B的“公共”元素組成的集合.
當集合A和集合B無公共元素時,說集合A,B的交集為空集.
(2)符號表示:A與B的交集記作A∩B,即A∩B=____________.
(3)圖示:用Venn圖表示A∩B,如圖所示.
A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩=,(A∩B)
2、 A,(A∩B) B,ABA∩B=A.
【做一做1】 設集合A={1,3,5,8},B={5,6,8},則A∩B等于( ).
A.{5} B.{5,8} C.{8} D.{1,3,5,6,8}
2.并集
(1)定義:一般地,由屬于集合A____屬于集合B的所有元素組成的集合,叫作A與B的并集,也就是由集合A與B的“全部”元素組成的集合.
當元素a是集合A,B的公共元素時,由集合元素的互異性知,集合A與B的并集中僅有一個元素a,不能有兩個相同的元素a.
(2)符號表示:A與B的并集記作A∪B,
3、即A∪B=____________.
“x∈A或x∈B”包含三種情況:①x∈A,但xB;②x∈B,但xA;③x∈A,且x∈B.
(3)圖示:用Venn圖表示A∪B,如圖①②所示.
A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪=A,A (A∪B),B (A∪B),ABA∪B=B.
【做一做2】 已知集合A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},則A∪B等于( ).
A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2}
C.{x|0<x≤2} D.{x
4、|-1≤x≤2}
答案:1.(1)所有元素 (2){x|x∈A,且x∈B}
【做一做1】 B 依據交集的定義,用Venn圖表示或觀察A,B中的元素,如圖所示,可得A∩B={5,8}.
2.(1)或 (2){x|x∈A,或x∈B}
【做一做2】 A 用數軸表示集合A和B,如圖所示,
則陰影部分就是A∪B,
所以A∪B={x|x≥-1}.
1.對于A∩B=,存在哪幾種可能的情況?
剖析:存在三種情況:
(1)集合A,B均為空集;
(2)集合A,B中有一個是空集;
(3)集合A,B均為非空集,但無相同元素.
2.為什么集合{x|x∈A,或x∈B}與集合{x|x
5、∈A,且x∈B}不一定相等?
剖析:在數學中,“或”表示至少有一個成立,而“且”表示都成立.“x∈A,或x∈B”表示元素x可能在集合A中,也可能在集合B中,也可能同時在集合A和B中,因此集合{x|x∈A,或x∈B}是集合A和B的并集.而“x∈A,且x∈B”僅表示元素x同時在集合A和B中,即是集合A和B的公共元素,因此集合{x|x∈A,且x∈B}表示集合A和B的交集.所以這兩個集合不一定相等,并且有{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈A,或x∈B}.
例如,集合A={1,2,3},集合B={3,4},則集合{x|x∈A,或x∈B}={1,2,3,4}=A∪B,而集合{x|x∈A,且x∈B}={
6、3}=A∩B.很明顯此時{x|x∈A,或x∈B}≠{x|x∈A,且x∈B},且{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈A,或x∈B}.
題型一 集合的基本運算
【例1】 已知集合A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},求A∩B,A∪B.
分析:已知集合A,B都是無限集合,要求A∩B,A∪B,可借助數軸直觀求解.
反思:利用數形結合的思想,將滿足條件的集合在數軸上一一表示出來,從而求出集合的交集、并集,是必須掌握且要熟練運用的方法.
題型二 交集與并集的綜合應用
【例2】 設集合A={|a+1|,3,5},集合B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},當A∩B={2,3
7、}時,求A∪B.
分析:欲求A∪B,關鍵在于求出a,由條件A∩B={2,3},根據交集的定義,可得|a+1|=2,從而求出A,B.
反思:本例中,抓住A∩B={2,3},聯想交集性質A∩BA,從而得到2和3均在A中,推知|a+1|=2.由此可知捕捉解題的“題眼”,找到解題切入點,是順利解題的關鍵,若已知中含有未知字母(或參數),在解出未知字母(或參數)后,應代入原集合進行檢驗,最后再進行并、交運算.
題型三 由集合間的關系求參數的取值范圍
【例3】 設集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+x+a=0},若A∪B=A,求實數a的取值范圍.
分析:集合A,B均是關于x的一元二
8、次方程的解集,由A∪B=A可得BA,通過討論集合B是否為空集來求得a的取值范圍.
反思:通過深刻理解集合表示法的轉換及集合之間的關系,把求參數取值范圍問題轉化為不等式、方程等常見的數學問題,這稱為數學的轉化與化歸思想,也是常用的數學方法.
解本題時,特別容易出現的錯誤是遺漏了B=的情形,其原因是對BA的理解不夠充分.對于BA,當A≠時,則有B=或B≠.避免出錯的方法是培養(yǎng)分類討論的數學思想方法和注意經驗的積累.
答案:【例1】 解:分別在數軸上表示集合A和B,
根據A∩B,A∪B的定義,由圖知,A∩B={x|-1<x<2},A∪B={x|-4≤x≤3}.
【例2】 解:∵2∈
9、A,∴|a+1|=2.∴a=1或a=-3.
當a=1時,集合B的元素a2+2a=3,2a+1=3.由集合元素的互異性知a≠1.
當a=-3時,2a+1=-5,a2+2a=3,a2+2a-1=2,即集合B={-5,3,2}.∴A∪B={-5,2,3,5}.
【例3】 解:A={x|x2-x-2=0}={-1,2},B是關于x的方程x2+x+a=0的解集.
∵A∪B=A,∴BA.
∵A={-1,2}≠,∴B=或B≠.
當B=時,即關于x的方程x2+x+a=0無實數解,則有Δ=1-4a<0,即此時有a>.
當B≠時,即關于x的方程x2+x+a=0有實數解.
若B中僅有一個元素,則Δ=
10、0,即a=,
此時B==.
∵-A,∴B不是A的子集,即a=不合題意.
若B中含有兩個元素,則必有B={-1,2},則-1和2是關于x的方程x2+x+a=0的解,
∴即
∵1≠-1,∴此時不合題意.
綜上可得,實數a的取值范圍是.
1 (2020廣東高考,文1)若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},則集合A∪B=( ).
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{1,2} D.{0}
2 若集合P={x|x2=1},M=
11、{x|x2-2x-3=0},則P∩M等于( ).
A.{3} B.{1} C.{-1} D.
3 已知集合A={x|x<a},B={x|x≤1,或x≥2},且A∪B=R,則實數a的取值范圍是( ).
A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2
4 若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a}滿足A∩B={2},則實數a=__________.
5 (2020福州三中期中,17)已知集合A={2,a-1}
12、,B={a2-7,-1},且A∩B={2},求實數a的值.
答案:1.A 因為A={0,1,2,3},B={1,2,4},
所以A∪B={0,1,2,3,4}.
2.C P={x|x2=1}={-1,1},M={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.所以P∩M={-1},故選C.
3.C 如圖所示,要使A∪B=R,則a位于2的右邊或與2重合,即a≥2.
4.2 ∵A∩B={x|a≤x≤2}={2},∴a=2.
5.解:∵A∩B={2},∴2∈A且2∈B.
∴a2-7=2.∴a=3或a=-3.
當a=3時,集合A中的元素a-1=2,不符合集合中元素的互異性,∴a=3舍去.
當a=-3時,A={2,-4},B={2,-1},符合已知A∩B={2}.
綜上所述,a=-3.