高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 第3節(jié) 集合的基本運(yùn)算（第1課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

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1、3.1 交集與并集 1．理解兩個(gè)集合的交集和并集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集． 2．掌握有關(guān)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)∩和∪，能用Venn圖表達(dá)集合之間的關(guān)系和運(yùn)算． 1．交集 (1)定義：一般地，由既屬于集合A又屬于集合B的________組成的集合，叫作A與B的交集，也就是由集合A與B的“公共”元素組成的集合． 當(dāng)集合A和集合B無(wú)公共元素時(shí)，說(shuō)集合A，B的交集為空集． (2)符號(hào)表示：A與B的交集記作A∩B，即A∩B＝____________. (3)圖示：用Venn圖表示A∩B，如圖所示． A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩＝，(A∩B)

2、 A，(A∩B) B，ABA∩B＝A. 【做一做1】 設(shè)集合A＝{1,3,5,8}，B＝{5,6,8}，則A∩B等于( )． A．{5} B．{5,8} C．{8} D．{1,3,5,6,8} 2．并集 (1)定義：一般地，由屬于集合A____屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作A與B的并集，也就是由集合A與B的“全部”元素組成的集合． 當(dāng)元素a是集合A，B的公共元素時(shí)，由集合元素的互異性知，集合A與B的并集中僅有一個(gè)元素a，不能有兩個(gè)相同的元素a. (2)符號(hào)表示：A與B的并集記作A∪B，

3、即A∪B＝____________. “x∈A或x∈B”包含三種情況：①x∈A，但xB；②x∈B，但xA；③x∈A，且x∈B. (3)圖示：用Venn圖表示A∪B，如圖①②所示． A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪＝A，A (A∪B)，B (A∪B)，ABA∪B＝B. 【做一做2】 已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，則A∪B等于( )． A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x

4、|－1≤x≤2} 答案：1．(1)所有元素　(2){x|x∈A，且x∈B} 【做一做1】 B　依據(jù)交集的定義，用Venn圖表示或觀察A，B中的元素，如圖所示，可得A∩B＝{5,8}． 2．(1)或　(2){x|x∈A，或x∈B} 【做一做2】 A　用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示， 則陰影部分就是A∪B， 所以A∪B＝{x|x≥－1}． 1．對(duì)于A∩B＝，存在哪幾種可能的情況？ 剖析：存在三種情況： (1)集合A，B均為空集； (2)集合A，B中有一個(gè)是空集； (3)集合A，B均為非空集，但無(wú)相同元素． 2．為什么集合{x|x∈A，或x∈B}與集合{x|x

5、∈A，且x∈B}不一定相等？ 剖析：在數(shù)學(xué)中，“或”表示至少有一個(gè)成立，而“且”表示都成立．“x∈A，或x∈B”表示元素x可能在集合A中，也可能在集合B中，也可能同時(shí)在集合A和B中，因此集合{x|x∈A，或x∈B}是集合A和B的并集．而“x∈A，且x∈B”僅表示元素x同時(shí)在集合A和B中，即是集合A和B的公共元素，因此集合{x|x∈A，且x∈B}表示集合A和B的交集．所以這兩個(gè)集合不一定相等，并且有{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈A，或x∈B}． 例如，集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4}，則集合{x|x∈A，或x∈B}＝{1,2,3,4}＝A∪B，而集合{x|x∈A，且x∈B}＝{

6、3}＝A∩B.很明顯此時(shí){x|x∈A，或x∈B}≠{x|x∈A，且x∈B}，且{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈A，或x∈B}． 題型一 集合的基本運(yùn)算 【例1】 已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B. 分析：已知集合A，B都是無(wú)限集合，要求A∩B，A∪B，可借助數(shù)軸直觀求解． 反思：利用數(shù)形結(jié)合的思想，將滿足條件的集合在數(shù)軸上一一表示出來(lái)，從而求出集合的交集、并集，是必須掌握且要熟練運(yùn)用的方法． 題型二 交集與并集的綜合應(yīng)用 【例2】 設(shè)集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，當(dāng)A∩B＝{2,3

7、}時(shí)，求A∪B. 分析：欲求A∪B，關(guān)鍵在于求出a，由條件A∩B＝{2,3}，根據(jù)交集的定義，可得|a＋1|＝2，從而求出A，B. 反思：本例中，抓住A∩B＝{2,3}，聯(lián)想交集性質(zhì)A∩BA，從而得到2和3均在A中，推知|a＋1|＝2.由此可知捕捉解題的“題眼”，找到解題切入點(diǎn)，是順利解題的關(guān)鍵，若已知中含有未知字母(或參數(shù))，在解出未知字母(或參數(shù))后，應(yīng)代入原集合進(jìn)行檢驗(yàn)，最后再進(jìn)行并、交運(yùn)算． 題型三 由集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍 【例3】 設(shè)集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 分析：集合A，B均是關(guān)于x的一元二

8、次方程的解集，由A∪B＝A可得BA，通過(guò)討論集合B是否為空集來(lái)求得a的取值范圍． 反思：通過(guò)深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換及集合之間的關(guān)系，把求參數(shù)取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式、方程等常見的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這稱為數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想，也是常用的數(shù)學(xué)方法． 解本題時(shí)，特別容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是遺漏了B＝的情形，其原因是對(duì)BA的理解不夠充分．對(duì)于BA，當(dāng)A≠時(shí)，則有B＝或B≠.避免出錯(cuò)的方法是培養(yǎng)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和注意經(jīng)驗(yàn)的積累． 答案：【例1】 解：分別在數(shù)軸上表示集合A和B， 根據(jù)A∩B，A∪B的定義，由圖知，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}． 【例2】 解：∵2∈

9、A，∴|a＋1|＝2.∴a＝1或a＝－3. 當(dāng)a＝1時(shí)，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3.由集合元素的互異性知a≠1. 當(dāng)a＝－3時(shí)，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，即集合B＝{－5,3,2}．∴A∪B＝{－5,2,3,5}． 【例3】 解：A＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，B是關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的解集． ∵A∪B＝A，∴BA. ∵A＝{－1,2}≠，∴B＝或B≠. 當(dāng)B＝時(shí)，即關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，則有Δ＝1－4a＜0，即此時(shí)有a＞. 當(dāng)B≠時(shí)，即關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0有實(shí)數(shù)解． 若B中僅有一個(gè)元素，則Δ＝

10、0，即a＝， 此時(shí)B＝＝. ∵－A，∴B不是A的子集，即a＝不合題意． 若B中含有兩個(gè)元素，則必有B＝{－1,2}，則－1和2是關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的解， ∴即 ∵1≠－1，∴此時(shí)不合題意． 綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 1 (2020廣東高考，文1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，則集合A∪B＝( )． A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0} 2 若集合P＝{x|x2＝1}，M＝

11、{x|x2－2x－3＝0}，則P∩M等于( )． A．{3} B．{1} C．{－1} D． 3 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x≤1，或x≥2}，且A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )． A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)＞2 4 若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}滿足A∩B＝{2}，則實(shí)數(shù)a＝__________. 5 (2020福州三中期中，17)已知集合A＝{2，a－1}

12、，B＝{a2－7，－1}，且A∩B＝{2}，求實(shí)數(shù)a的值． 答案：1．A　因?yàn)锳＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}， 所以A∪B＝{0,1,2,3,4}． 2．C　P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．所以P∩M＝{－1}，故選C. 3．C　如圖所示，要使A∪B＝R，則a位于2的右邊或與2重合，即a≥2. 4．2　∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2. 5．解：∵A∩B＝{2}，∴2∈A且2∈B. ∴a2－7＝2.∴a＝3或a＝－3. 當(dāng)a＝3時(shí)，集合A中的元素a－1＝2，不符合集合中元素的互異性，∴a＝3舍去． 當(dāng)a＝－3時(shí)，A＝{2，－4}，B＝{2，－1}，符合已知A∩B＝{2}． 綜上所述，a＝－3.