高中數(shù)學 第二章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究（第2課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、4．2 二次函數(shù)的性質(zhì) 1．理解二次函數(shù)的性質(zhì)． 2．會判斷二次函數(shù)的單調(diào)性． 3．掌握二次函數(shù)最值的求法． 二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì) (1)定義域：R. (2)圖像：當a＞0時，圖像開口向________，頂點坐標為，對稱軸為__________；當a＜0時，圖像開口向________，頂點坐標為，對稱軸為x＝______. (3)值域：當a＞0時，值域為____________；當a＜0時，值域為____________． (4)單調(diào)性：當a＞0時，減區(qū)間是________，增區(qū)間是；當a＜0時，減區(qū)間是____________，增區(qū)間是.

2、 (5)最值：當a＞0時，有最小值____________，沒有最大值；當a＜0時，有最大值________，沒有最小值． (6)f(0)＝________________. 【做一做1－1】 拋物線y＝x2＋2x－2的頂點坐標是( )． A．(2，－2) B．(1，－2) C．(1，－3) D．(－1，－3) 【做一做1－2】 函數(shù)y＝x2－x＋1的值域是( )． A．R B．[1，＋

3、∞) C. D. 【做一做1－3】 求函數(shù)y＝5x2－4x－1的圖像與x軸的交點坐標和對稱軸，并判斷它在哪個區(qū)間上是增加的，在哪個區(qū)間上是減少的． 答案：(2)上　x＝　下　 (3)　 (4)　 (5)　 　(6)c 【做一做1－1】 D　y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，故頂點坐標為(－1，－3)．故選D. 【做一做1－2】 C　y＝x2－x＋1＝，故值域為. 【做一做1－3】 解：令y＝0，即5x2－4x－1＝0， 解得x1＝，x2＝1. 故函數(shù)圖像與x軸的交點坐標為，(1,0)． 因為y＝5x2－4

4、x－1＝， 所以，函數(shù)圖像的對稱軸是直線x＝，函數(shù)在區(qū)間上是減少的，在區(qū)間上是增加的． 如何求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值？ 剖析：對于二次函數(shù)f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a＞0)在區(qū)間[m，n]上的最值可作如下討論． 對稱軸x＝h與[m，n]的位置關(guān)系 最大值 最小值 h＜m f(n) f(m) h＞n f(m) f(n) m≤h≤n m≤h＜ f(n) f(h) h＝ f(m)或f(n) f(h) ＜h≤n f(m) f(h) 題型一 二次函數(shù)的單調(diào)性 【例1】 函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增加的，求f(1)的

5、取值范圍． 分析：f(1)＝9－m，求f(1)的取值范圍就是求一次函數(shù)y＝9－m的值域，利用已知條件先求其定義域． 反思：利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，求m的范圍是解此題的關(guān)鍵．不要認為f(x)的增區(qū)間是[－2，＋∞)，實際上它只是增區(qū)間的子區(qū)間． 題型二 二次函數(shù)圖像的對稱性 【例2】 已知函數(shù)f(x)＝x2－3x－. (1)求這個函數(shù)圖像的頂點坐標和對稱軸； (2)已知f＝－，不計算函數(shù)值，求f； (3)不直接計算函數(shù)值，試比較f 與f 的大?。? 分析：解答本題可先將f(x)配方，進而確定頂點坐標及對稱軸，然后根據(jù)f(x)圖像的對稱性求f 的值及比較f 與f 的大

6、小． 反思：(1)已知二次函數(shù)的解析式求頂點坐標及對稱軸，一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫成頂點式：y＝a(x＋h)2＋k，進而確定頂點坐標為(－h(huán)，k)，對稱軸為x＝－h(huán). (2)比較兩函數(shù)值大小，可以先比較兩點離對稱軸的距離大小，然后結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，從而得到它們的大小關(guān)系，也可以將要比較的兩點轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大?。? 題型三 二次函數(shù)的最值問題 【例3】 求函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值和最小值，并寫出單調(diào)區(qū)間． 分析：畫出圖像來分析． 反思：討論二次函數(shù)的性質(zhì)時，常借助于圖像來解決，特別是最值問題，利用圖像可以簡潔地

7、求出，否則易出現(xiàn)錯誤．本題中易錯認為最小值是f(3)，其原因是沒有結(jié)合圖像分析． 【例4】 求函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1在閉區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值． 分析：因為f(x)＝(x－a)2－a2－1，其圖像的對稱軸為直線x＝a，由對稱軸相對于區(qū)間[0,2]的可能位置分別求其最值． 反思：求二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值，要根據(jù)其圖像的對稱軸相對于所給區(qū)間的位置來確定．一般地，當a＞0，即拋物線開口向上時，在距對稱軸較遠的區(qū)間的端點處取得最大值；在拋物線的頂點處(當對稱軸在所屬區(qū)間內(nèi))或在距對稱軸較近(當對稱軸在所給區(qū)間外側(cè)時)的區(qū)間的端點處取得最小值．當a＜0

8、，即拋物線開口向下時，可相應地得出結(jié)論． 【例5】 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值為g(t)，求g(t)的解析式． 分析：本題按拋物線對稱軸x＝1在區(qū)間[t，t＋1]之內(nèi)和之外分類討論． 反思：二次函數(shù)求最值問題，首先要采用配方法，化為y＝a(x－m)2＋n的形式，得頂點(m，n)或?qū)ΨQ軸方程x＝m，可分為三個類型： (1)頂點固定，區(qū)間也固定； (2)頂點變動，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外； (3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)． 題型四 二次函數(shù)的實際應用 【例6】 漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證

9、魚群的生長空間，實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當?shù)目臻e量．已知魚群的年增長量y噸與實際養(yǎng)殖量x噸和空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)． (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域； (2)求魚群的年增長量的最大值； (3)當魚群的年增長量達到最大值時，求k所應滿足的條件． 反思：二次函數(shù)模型是一種常見的函數(shù)應用模型，是高考的重點和熱點．其解題關(guān)鍵是列出二次函數(shù)解析式，即建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值等問題． 答案：【例1】 解：∵二次函數(shù)f(x)＝4x2－mx－5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增加的，且對稱軸是x＝， ∴≤－2，即m≤－16. ∴f(1)＝

10、4－m＋5＝－m＋9≥25，∴f(1)≥25. 【例2】 解：(1)∵f(x)＝x2－3x－＝(x－3)2－， ∴函數(shù)的頂點坐標為，對稱軸為x＝3. (2)∵f＝－， 又＝，＝， 結(jié)合二次函數(shù)圖像的對稱性， ∴有f＝f＝－. (3)由f(x)＝(x－3)2－可知， f(x)在(－∞，3]上是減少的， 又－＜－＜3，∴f＞f. 【例3】 解：畫出函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的圖像，如圖所示． 觀察圖像，得函數(shù)f(x)＝x2－2x在區(qū)間[－2,1]上是減少的，則此時最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；函數(shù)f(x)＝x2－2x在區(qū)間[1,3]上是增

11、加的，則此時最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝－1. 則函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1. 增區(qū)間是[1,3]，減區(qū)間是[－2,1]． 【例4】 解：f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1， ∴f(x)的圖像是開口向上，對稱軸為直線x＝a的拋物線，如圖所示． 當a＜0時(如圖(1))，f(x)的最大值為f(2)＝3－4a，f(x)的最小值為f(0)＝－1； 當0≤a≤1時(如圖(2))，f(x)的最大值為f(2)＝3－4a，f(x)的最小值為f(a)＝－a2－1； 當1＜a＜2時(如圖(3))，f(x)的最大值為f(0)＝

12、－1，f(x)的最小值為f(a)＝－a2－1； 當a≥2時(如圖(4))，f(x)的最大值為f(0)＝－1，f(x)的最小值為f(2)＝3－4a. 【例5】 解：∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 當t＋1＜1，即t＜0時，函數(shù)在[t，t＋1]上是減少的， ∴g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 當t＋1≥1且t＜1，即0≤t＜1時，g(t)＝f(1)＝1； 當t≥1時，函數(shù)在[t，t＋1]上是增加的， g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. ∴g(t)＝ 【例6】 解：(1)由題意，知空閑率為， ∴y＝kx(0＜x＜m)． (2)y＝－x2＋kx＝－2＋， ∵

13、－＜0且0＜x＜m， ∴當x＝時，ymax＝. (3)∵當x＝時，ymax＝，又實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量， ∴此時，需要＋＜m，解得k＜2. 又∵k＞0，∴0＜k＜2. 1 函數(shù)y＝x2＋4的最大值和最小值情況是( )． A．有最小值0，無最大值 B．有最大值4，無最小值 C．有最小值4，無最大值 D．有最大值4，有最小值0 2 函數(shù)y＝－2x2＋x在下列哪個區(qū)間上是增加的( )． A．R B．[2，＋∞) C.

14、 D. 3 函數(shù)f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在區(qū)間(－2，＋∞)上是減少的，則a的取值范圍是( )． A．[－3,0] B．(－∞，－3] C．[－3,0) D．[－2,0] 4 拋物線y＝8x2－(m－1)x＋m－7的頂點在x軸上，則m＝__________. 5 將進貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大

15、利潤，售價應為多少元？最大利潤是多少？ 答案：1．C　2.D　函數(shù)y＝－2x2＋x＝的圖像的對稱軸是直線，圖像的開口向下，所以函數(shù)在對稱軸的左邊是增加的． 3．A　(1)當a＝0時，顯然正確． (2)當a≠0時，f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在(－2，＋∞)上是減少的，應滿足解得－3≤a＜0. 由(1)(2)可知，a的取值范圍是[－3,0]． 4．9或25　∵拋物線的頂點在x軸上， ∴＝0，即b2－4ac＝0. ∴(m－1)2－4×8(m－7)＝0. 解得m＝9或m＝25. 5．分析：設(shè)售價及利潤，建立利潤與售價的函數(shù)關(guān)系式． 解：設(shè)售價為x元時，利潤為y元，單個漲價為(x－50)元，銷量減少10(x－50)個，50≤x＜100. ∴y＝(x－40)[500－10(x－50)] ＝－10(x－70)2＋9 000. 當x＝70時，ymax＝9 000， 即售價為70元時，利潤最大為9 000元．