高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究(第2課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)

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《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究(第2課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究(第2課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、4.2 二次函數(shù)的性質(zhì) 1.理解二次函數(shù)的性質(zhì). 2.會(huì)判斷二次函數(shù)的單調(diào)性. 3.掌握二次函數(shù)最值的求法. 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì) (1)定義域:R. (2)圖像:當(dāng)a>0時(shí),圖像開(kāi)口向________,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為_(kāi)_________;當(dāng)a<0時(shí),圖像開(kāi)口向________,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為x=______. (3)值域:當(dāng)a>0時(shí),值域?yàn)開(kāi)___________;當(dāng)a<0時(shí),值域?yàn)開(kāi)___________. (4)單調(diào)性:當(dāng)a>0時(shí),減區(qū)間是________,增區(qū)間是;當(dāng)a<0時(shí),減區(qū)間是____________,增區(qū)間是.

2、 (5)最值:當(dāng)a>0時(shí),有最小值____________,沒(méi)有最大值;當(dāng)a<0時(shí),有最大值________,沒(méi)有最小值. (6)f(0)=________________. 【做一做1-1】 拋物線y=x2+2x-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( ). A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 【做一做1-2】 函數(shù)y=x2-x+1的值域是( ). A.R B.[1,+

3、∞) C. D. 【做一做1-3】 求函數(shù)y=5x2-4x-1的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸,并判斷它在哪個(gè)區(qū)間上是增加的,在哪個(gè)區(qū)間上是減少的. 答案:(2)上 x= 下  (3)  (4)  (5)   (6)c 【做一做1-1】 D y=x2+2x-2=(x+1)2-3,故頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-3).故選D. 【做一做1-2】 C y=x2-x+1=,故值域?yàn)? 【做一做1-3】 解:令y=0,即5x2-4x-1=0, 解得x1=,x2=1. 故函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,(1,0). 因?yàn)閥=5x2-4

4、x-1=, 所以,函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線x=,函數(shù)在區(qū)間上是減少的,在區(qū)間上是增加的. 如何求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值? 剖析:對(duì)于二次函數(shù)f(x)=a(x-h(huán))2+k(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值可作如下討論. 對(duì)稱軸x=h與[m,n]的位置關(guān)系 最大值 最小值 h<m f(n) f(m) h>n f(m) f(n) m≤h≤n m≤h< f(n) f(h) h= f(m)或f(n) f(h) <h≤n f(m) f(h) 題型一 二次函數(shù)的單調(diào)性 【例1】 函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在區(qū)間[-2,+∞)上是增加的,求f(1)的

5、取值范圍. 分析:f(1)=9-m,求f(1)的取值范圍就是求一次函數(shù)y=9-m的值域,利用已知條件先求其定義域. 反思:利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系,求m的范圍是解此題的關(guān)鍵.不要認(rèn)為f(x)的增區(qū)間是[-2,+∞),實(shí)際上它只是增區(qū)間的子區(qū)間. 題型二 二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性 【例2】 已知函數(shù)f(x)=x2-3x-. (1)求這個(gè)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸; (2)已知f=-,不計(jì)算函數(shù)值,求f; (3)不直接計(jì)算函數(shù)值,試比較f 與f 的大?。? 分析:解答本題可先將f(x)配方,進(jìn)而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸,然后根據(jù)f(x)圖像的對(duì)稱性求f 的值及比較f 與f 的大

6、?。? 反思:(1)已知二次函數(shù)的解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸,一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫(xiě)成頂點(diǎn)式:y=a(x+h)2+k,進(jìn)而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-h(huán),k),對(duì)稱軸為x=-h(huán). (2)比較兩函數(shù)值大小,可以先比較兩點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離大小,然后結(jié)合二次函數(shù)的開(kāi)口方向,從而得到它們的大小關(guān)系,也可以將要比較的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大?。? 題型三 二次函數(shù)的最值問(wèn)題 【例3】 求函數(shù)f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]的最大值和最小值,并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間. 分析:畫(huà)出圖像來(lái)分析. 反思:討論二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí),常借助于圖像來(lái)解決,特別是最值問(wèn)題,利用圖像可以簡(jiǎn)潔地

7、求出,否則易出現(xiàn)錯(cuò)誤.本題中易錯(cuò)認(rèn)為最小值是f(3),其原因是沒(méi)有結(jié)合圖像分析. 【例4】 求函數(shù)f(x)=x2-2ax-1在閉區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值. 分析:因?yàn)閒(x)=(x-a)2-a2-1,其圖像的對(duì)稱軸為直線x=a,由對(duì)稱軸相對(duì)于區(qū)間[0,2]的可能位置分別求其最值. 反思:求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值,要根據(jù)其圖像的對(duì)稱軸相對(duì)于所給區(qū)間的位置來(lái)確定.一般地,當(dāng)a>0,即拋物線開(kāi)口向上時(shí),在距對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的區(qū)間的端點(diǎn)處取得最大值;在拋物線的頂點(diǎn)處(當(dāng)對(duì)稱軸在所屬區(qū)間內(nèi))或在距對(duì)稱軸較近(當(dāng)對(duì)稱軸在所給區(qū)間外側(cè)時(shí))的區(qū)間的端點(diǎn)處取得最小值.當(dāng)a<0

8、,即拋物線開(kāi)口向下時(shí),可相應(yīng)地得出結(jié)論. 【例5】 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值為g(t),求g(t)的解析式. 分析:本題按拋物線對(duì)稱軸x=1在區(qū)間[t,t+1]之內(nèi)和之外分類(lèi)討論. 反思:二次函數(shù)求最值問(wèn)題,首先要采用配方法,化為y=a(x-m)2+n的形式,得頂點(diǎn)(m,n)或?qū)ΨQ軸方程x=m,可分為三個(gè)類(lèi)型: (1)頂點(diǎn)固定,區(qū)間也固定; (2)頂點(diǎn)變動(dòng),區(qū)間固定,這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi),何時(shí)在區(qū)間之外; (3)頂點(diǎn)固定,區(qū)間變動(dòng),這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù). 題型四 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 【例6】 漁場(chǎng)中魚(yú)群的最大養(yǎng)殖量為m噸,為保證

9、魚(yú)群的生長(zhǎng)空間,實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚(yú)群的年增長(zhǎng)量y噸與實(shí)際養(yǎng)殖量x噸和空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0). (1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域; (2)求魚(yú)群的年增長(zhǎng)量的最大值; (3)當(dāng)魚(yú)群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí),求k所應(yīng)滿足的條件. 反思:二次函數(shù)模型是一種常見(jiàn)的函數(shù)應(yīng)用模型,是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).其解題關(guān)鍵是列出二次函數(shù)解析式,即建立函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值等問(wèn)題. 答案:【例1】 解:∵二次函數(shù)f(x)=4x2-mx-5在區(qū)間[-2,+∞)上是增加的,且對(duì)稱軸是x=, ∴≤-2,即m≤-16. ∴f(1)=

10、4-m+5=-m+9≥25,∴f(1)≥25. 【例2】 解:(1)∵f(x)=x2-3x-=(x-3)2-, ∴函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為x=3. (2)∵f=-, 又=,=, 結(jié)合二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性, ∴有f=f=-. (3)由f(x)=(x-3)2-可知, f(x)在(-∞,3]上是減少的, 又-<-<3,∴f>f. 【例3】 解:畫(huà)出函數(shù)f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]的圖像,如圖所示. 觀察圖像,得函數(shù)f(x)=x2-2x在區(qū)間[-2,1]上是減少的,則此時(shí)最大值是f(-2)=8,最小值是f(1)=-1;函數(shù)f(x)=x2-2x在區(qū)間[1,3]上是增

11、加的,則此時(shí)最大值是f(3)=3,最小值是f(1)=-1. 則函數(shù)f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]的最大值是8,最小值是-1. 增區(qū)間是[1,3],減區(qū)間是[-2,1]. 【例4】 解:f(x)=x2-2ax-1=(x-a)2-a2-1, ∴f(x)的圖像是開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為直線x=a的拋物線,如圖所示. 當(dāng)a<0時(shí)(如圖(1)),f(x)的最大值為f(2)=3-4a,f(x)的最小值為f(0)=-1; 當(dāng)0≤a≤1時(shí)(如圖(2)),f(x)的最大值為f(2)=3-4a,f(x)的最小值為f(a)=-a2-1; 當(dāng)1<a<2時(shí)(如圖(3)),f(x)的最大值為f(0)=

12、-1,f(x)的最小值為f(a)=-a2-1; 當(dāng)a≥2時(shí)(如圖(4)),f(x)的最大值為f(0)=-1,f(x)的最小值為f(2)=3-4a. 【例5】 解:∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 當(dāng)t+1<1,即t<0時(shí),函數(shù)在[t,t+1]上是減少的, ∴g(t)=f(t+1)=t2+1; 當(dāng)t+1≥1且t<1,即0≤t<1時(shí),g(t)=f(1)=1; 當(dāng)t≥1時(shí),函數(shù)在[t,t+1]上是增加的, g(t)=f(t)=t2-2t+2. ∴g(t)= 【例6】 解:(1)由題意,知空閑率為, ∴y=kx(0<x<m). (2)y=-x2+kx=-2+, ∵

13、-<0且0<x<m, ∴當(dāng)x=時(shí),ymax=. (3)∵當(dāng)x=時(shí),ymax=,又實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量, ∴此時(shí),需要+<m,解得k<2. 又∵k>0,∴0<k<2. 1 函數(shù)y=x2+4的最大值和最小值情況是( ). A.有最小值0,無(wú)最大值 B.有最大值4,無(wú)最小值 C.有最小值4,無(wú)最大值 D.有最大值4,有最小值0 2 函數(shù)y=-2x2+x在下列哪個(gè)區(qū)間上是增加的( ). A.R B.[2,+∞) C.

14、 D. 3 函數(shù)f(x)=ax2+2(a-3)x+1在區(qū)間(-2,+∞)上是減少的,則a的取值范圍是( ). A.[-3,0] B.(-∞,-3] C.[-3,0) D.[-2,0] 4 拋物線y=8x2-(m-1)x+m-7的頂點(diǎn)在x軸上,則m=__________. 5 將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí),能賣(mài)出500個(gè),已知這種商品每漲價(jià)1元,其銷(xiāo)售量就減少10個(gè),為得到最大

15、利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)為多少元?最大利潤(rùn)是多少? 答案:1.C 2.D 函數(shù)y=-2x2+x=的圖像的對(duì)稱軸是直線,圖像的開(kāi)口向下,所以函數(shù)在對(duì)稱軸的左邊是增加的. 3.A (1)當(dāng)a=0時(shí),顯然正確. (2)當(dāng)a≠0時(shí),f(x)=ax2+2(a-3)x+1在(-2,+∞)上是減少的,應(yīng)滿足解得-3≤a<0. 由(1)(2)可知,a的取值范圍是[-3,0]. 4.9或25 ∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上, ∴=0,即b2-4ac=0. ∴(m-1)2-4×8(m-7)=0. 解得m=9或m=25. 5.分析:設(shè)售價(jià)及利潤(rùn),建立利潤(rùn)與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式. 解:設(shè)售價(jià)為x元時(shí),利潤(rùn)為y元,單個(gè)漲價(jià)為(x-50)元,銷(xiāo)量減少10(x-50)個(gè),50≤x<100. ∴y=(x-40)[500-10(x-50)] =-10(x-70)2+9 000. 當(dāng)x=70時(shí),ymax=9 000, 即售價(jià)為70元時(shí),利潤(rùn)最大為9 000元.

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