2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破15 直線、圓及其交匯問(wèn)題 理

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1、必15　直線、圓及其交匯問(wèn)題 1．(2020·浙江)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案： A　[由a＝1可得l1∥l2，反之由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故選A.] 2．(2020·陜西)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線，則(　　)． A．l與C相交 B．l與C相切 C．l與C相離 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能 答案

2、：A　[把點(diǎn)(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得32＋0－4×3＝－3＜0，故點(diǎn)(3,0)在圓的內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)(3,0)的直線l與圓C相交，選A.] 3．(2020·重慶)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是(　　)． A．相離 B．相切 C．相交但直線不過(guò)圓心 D．相交且直線過(guò)圓心 答案：C　[易知直線過(guò)定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)，但是直線不過(guò)圓心(0,0)，故選C.] 4．(2020·湖北)過(guò)點(diǎn)(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為，則直線l的斜率為________． 解析　由題意知直線要與圓相交

3、，必存在斜率，設(shè)為k，則直線方程為y＋2＝k(x＋1)，又圓的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1， ∴圓心到直線的距離d＝＝ ， 解得k＝1或. 答案　1或 本問(wèn)題是整個(gè)解析幾何的基礎(chǔ)，在解析幾何的知識(shí)體系中占有重要位置，但解析幾何的主要內(nèi)容是圓錐曲線與方程，故在該部分高考考查的分值不多，在高考試卷中一般就是一個(gè)選擇或填空題考查直線與方程、圓與方程的基本問(wèn)題，偏向于考查直線與圓的綜合，試題難度不大，對(duì)直線方程、圓的方程的深入考查則與圓錐曲線結(jié)合進(jìn)行． 高考對(duì)解析幾何的考查，主要考查直線和圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題．運(yùn)算能力與平面

4、幾何知識(shí)的靈活運(yùn)用有可能成為制約考生解題的一個(gè)重要因素，因此在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，要注意加強(qiáng)圓的幾何性質(zhì)的復(fù)習(xí)，注意向量方法在解析幾何中的應(yīng)用，注意強(qiáng)化運(yùn)算能力的訓(xùn)練，努力提高靈活解題的能力． 必備知識(shí) 兩直線平行、垂直的判定 (1)①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(兩直線斜率存在，且不重合)，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1. ②若兩直線的斜率都不存在，并且兩直線不重合，則兩直線平行； 若兩直線中一條直線的斜率為0，另一條直線斜率不存在，則兩直線垂直． (2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 則有l(wèi)1∥l2

5、?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0， l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝；二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是 必備方法 1．由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時(shí)，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會(huì)產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況． 2．處理有關(guān)圓

6、的問(wèn)題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問(wèn)題簡(jiǎn)化． 3．直線與圓中常見(jiàn)的最值問(wèn)題 (1)圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值． (2)直線與圓相離，圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最值． (3)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得弦長(zhǎng)的最值． (4)直線與圓相離，過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)的最小值問(wèn)題． (5)兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值． 4．兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程． 對(duì)于圓的方程，高考要求能根據(jù)所給的條件選取恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?/p>

7、利用待定系數(shù)法求出圓的方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決與圓相關(guān)的問(wèn)題．該部分在高考中常以填空、選擇的形式直接考查，或是在解答題中綜合軌跡問(wèn)題進(jìn)行考查．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? 已知圓C與圓x2＋y2－2x＝0相外切，并且與直線x＋y＝0相切于點(diǎn)Q(3，－)，求圓C的方程． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] 先確定采用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，然后求出相應(yīng)的參數(shù)，即采用待定系數(shù)法． 解　設(shè)圓C的圓心為(a，b)，則 解得或所以r＝2或r＝6. 所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 求圓的方程一般有兩類方法：(1)

8、幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． 【突破訓(xùn)練1】 已知圓過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，求圓的方程． 解　法一　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. 設(shè)弦的兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2. 因圓在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，所以|x1－x2|＝6， 即D2－4F＝36，① 又圓過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)， 所以D＋2E＋F＋5＝0，② 3D＋4E＋F＋25＝0，③ 由①②③解得或 故所求圓的方程為

9、x2＋y2＋12x－22y＋27＝0或x2＋y2－8x－2y＋7＝0. 法二　設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知得解得或 故所求圓的方程為(x＋6)2＋(y－11)2＝130，或(x－4)2＋(y－1)2＝10. 直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)，主要考查直線與圓的相交、相切、相離的判定與應(yīng)用，以及弦長(zhǎng)、面積的求法等，并常與圓的幾何性質(zhì)交匯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? 如圖所示，已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過(guò)點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是M

10、N的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P. (1)求圓A的方程； (2)當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求直線l的方程； (3)B·B是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)由圓A與直線l1相切易求出圓的半徑，進(jìn)而求出圓A的方程；第(2)問(wèn)注意直線l的斜率不存在時(shí)也符合題意，以防漏解，另外應(yīng)注意用好幾何法，以減小計(jì)算量；第(3)問(wèn)分兩種情況分別計(jì)算平面向量的數(shù)量積為定值后方可下結(jié)論． 解　(1)設(shè)圓A的半徑為R， ∵圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝＝2. ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20

11、. (2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－2符合題意； 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 連接AQ，則AQ⊥MN. ∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1， 由|AQ|＝＝1，得k＝. ∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0， ∴所求直線l的方程為：x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP，∴A·B＝0， ∴B·B＝(B＋A)·B ＝B·B＋A·B ＝B·B. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P， 則B＝，又B＝(1,2)． ∴B·B＝B·B＝－5. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)． 由解得P.

12、∴B＝. ∴B·B＝B·B＝－＝－5， 綜上所述，B·B是定值，且B·B＝－5. (1)直線和圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形關(guān)系來(lái)處理． (2)要注意分類討論，即對(duì)直線l分為斜率存在和斜率不存在兩種情況分別研究，以防漏解或推理不嚴(yán)謹(jǐn)． 【突破訓(xùn)練2】 (2020·臨沂模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值． 解　(1)曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1)，(3±2，0)． 故可

13、設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(3，t)， 則有32＋(t－1)2＝2＋t2. 解得t＝1，則圓的半徑為＝3. 所以圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組 消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0， 由已知可得判別式Δ＝56－16a－4a2＞0， 由韋達(dá)定理可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝，① 由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a. 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. 由①②可得a＝－1，滿足Δ＞0，故a＝－1. 常以直線、圓、圓錐曲線為載體結(jié)合

14、平面向量來(lái)命題，考查解決解析幾何問(wèn)題的基本方法與技能，正成為高考命題新的生長(zhǎng)點(diǎn)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2020·杭州三校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)K(－1,0)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D. (1)證明：點(diǎn)F在直線BD上； (2)設(shè)F·F＝，求△BDK的內(nèi)切圓M的方程． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] (1)設(shè)出A、B、D的坐標(biāo)及l(fā)的方程，進(jìn)而表示出直線BD的方程．再驗(yàn)證；(2)由·＝可求直線l，BD的方程，再由A、D關(guān)于x軸對(duì)稱可設(shè)圓心M(t,0)，則M到直線l，BD的距離相等．

15、解　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程為x＝my－1(m≠0)． (1)證明：將x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，從而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.① 直線BD的方程為y－y2＝·(x－x2)， 即y－y2＝·. 令y＝0，得x＝＝1. 所以點(diǎn)F(1,0)在直線BD上． (2)由(1)知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2， x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1. 因?yàn)镕＝(x1－1，y1)，F(xiàn)＝(x2－1，y2)， F·F＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4

16、 ＝8－4m2， 故8－4m2＝，解得m＝±. 所以l的方程為3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0. 又由①知y2－y1＝±＝±， 故直線BD的斜率＝±， 因而直線BD的方程為3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0. 因?yàn)镵F為∠BKD的平分線，故可設(shè)圓心M(t,0)(－1

17、【突破訓(xùn)練3】 (2020·江蘇改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓＋＝1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k. (1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值； (2)當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d. 解　(1)由題設(shè)知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝＝. (2)直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得＋＝1，解得x＝±，因此P，

18、A. 于是C，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0.因此，d＝＝. 直線問(wèn)題“誤”匯 易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視截距為零或認(rèn)為截距是距離的情況 【示例1】? 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是________________． 解析　(1)直線在兩坐標(biāo)軸的截距為0時(shí)，直線方程為y＝x. (2)直線在兩坐標(biāo)軸的截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為x＋y＝a.因?yàn)辄c(diǎn)(2,1)在直線上，所以2＋1＝a，即a＝3.直線方程為x＋y＝3.故所求直線方程為y＝x或x＋y＝3. 答案　y＝x或x＋y＝3 老師叮嚀：考生可能產(chǎn)生2種錯(cuò)誤，第1種錯(cuò)誤：忽視截距為零的情況，只答出第(

19、2)種情況；第2種錯(cuò)誤：認(rèn)為截距是距離，把直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的也帶進(jìn)來(lái)，導(dǎo)致有錯(cuò)誤答案為“所求直線方程為y＝x或x＋y＝3或x－y＝1”. 【試一試1】 已知直線l過(guò)點(diǎn)(2，－6)，它在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線l的方程． 解　當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，它在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0，適合題意，此時(shí)直線方程為y＝x＝－3x，可化為3x＋y＝0； 當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它在x軸上的截距為a(a≠0)，則它在y軸上的截距為2a，則直線的截距式為＋＝1，把點(diǎn)(2，－6)的坐標(biāo)代入得－＝1，解得a＝－1，故此時(shí)直線的方程為－x－＝1，可化為2x＋y＋2＝0. 綜上，直線的方程

20、為3x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 易錯(cuò)點(diǎn)2：忽視直線的斜率不存在的情況 【示例2】? 已知直線l過(guò)點(diǎn)(－2,0)，直線x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交點(diǎn)到直線l的距離為3，求直線l的方程． [滿分解答]　由得，即直線x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．(2分) (1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝－2，點(diǎn)(1,2)到該直線的距離為3，適合題意．(6分) (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的點(diǎn)斜式方程為y＝k(x＋2)，可化為kx－y＋2k＝0. 依題意得＝3， 解得k＝－. 所以，此時(shí)直線l的方程為5x＋12y＋10＝0.(10分)

21、 綜上，直線的方程為x＋2＝0或5x＋12y＋10＝0. (12分) 老師叮嚀：忽視直線的斜率不存在的情形，也是一類常見(jiàn)錯(cuò)誤.在相關(guān)問(wèn)題中，需設(shè)直線的斜率時(shí)，一定要注意分析直線的斜率是否一定存在，不一定存在，就需分類討論. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【試一試2】 已知直線l1：ax－y＋2a＝0與直線l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，則a等于(　　)． A．1 B．0 C．1或0 D．1或－1 答案： C　[法一　依題意有a·(2a－1)＋(－1)·a＝0；解得a＝0或a＝1. 法二?、賏＝0時(shí)直線l2斜率不存在，直線l1的斜率為0，兩直線垂直． ②a≠0時(shí)，直線l1的斜率為a，直線l2的斜率為－，因?yàn)橹本€l1與直線l2垂直，所以a·＝－1，解得a＝1.故所求a值為0或1，選C.] 【試一試3】 C　[將圓C方程配方得：(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓C的圓心坐標(biāo)和半徑分別是：C(－1，－2)，R＝2.設(shè)與直線l：x＋y＋1＝0平行且距離為的直線方程為x＋y＋m＝0，由＝知，m＝－1或m＝3.當(dāng)m＝－1時(shí)，圓心到直線的距離d1＝＝2＝R，直線與圓相切，滿足要求的點(diǎn)只有一個(gè)；當(dāng)m＝3時(shí)，圓心到直線的距離d2＝＝0＜R，直線與圓相交，滿足要求的點(diǎn)有兩個(gè)．故滿足要求的點(diǎn)共有3個(gè)．選C.] 必考問(wèn)題