2020屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破3 不等式及線性規(guī)劃問題 理

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1、問題3　不等式及線性規(guī)劃問題 1．(2020·上海)若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式恒成立的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．a(chǎn)2＋b2＞2ab B．a(chǎn)＋b≥2 C.＋＞ D.＋≥2 答案：D　[對于A：當a＝b＝1時滿足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A錯；對于B、C：當a＝b＝－1時滿足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，顯然B、C不對；對于D：當ab＞0時，由基本不等式可得＋≥2＝2.] 2．(2020·遼寧)若x∈[0，＋∞)，則下列不等式恒成立的是(　　)． A．ex≤1＋x＋x2 B.≤1－x＋x2 C．

2、cos x≥1－x2 D．ln(1＋x)≥x－x2 答案：C　[正確命題要證明，錯誤命題只需舉一個反例即可．如A，因為e3＞1＋3＋32，故A不恒成立；同理，當x＝時，＞1－x＋x2，故B不恒成立；因為′＝－sin x＋x≥0(x∈[0，＋∞))，且x＝0時，y＝cos x＋x2－1＝0，所以y＝cos x＋x2－1≥0恒成立，所以C對；當x＝4時，ln(1＋x)＜x－x2，故D不恒成立．] 3．(2020·山東)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是(　　)． A. B. C．[－1,6] D. 答案：A　[ 作出不等式組所表示的

3、區(qū)域如圖，由z＝3x－y得，y＝3x－z，平移直線y＝3x，由圖象可知當直線經(jīng)過點E(2，0)時，直線y＝3x－z的截距最小，此時z最大為z＝3×2－0＝6，當直線經(jīng)過C點時，直線y＝3x－z的截距最大，此時z最小，由解得此時z＝3x－y＝－3＝－，所以z＝3x－y的取值范圍是.] 4．(2020·安徽)若x，y滿足約束條件則x－y的取值范圍是________． 解析　 記z＝x－y，則y＝x－z，所以z為直線y＝x－z在y軸上的截距的相反數(shù)，畫出不等式組表示的可行域如圖中△ABC區(qū)域所示．結合圖形可知，當直線經(jīng)過點B(1,1)時，x－y取得最大值0，當直線經(jīng)過點C(0,3)時，x－

4、y取得最小值－3. 答案　[－3,0] 本部分內(nèi)容高考主要考查以下幾方面： (1)考查利用基本不等式求最值、證明不等式等，利用基本不等式解決實際問題． (2)考查以線性目標函數(shù)的最值為重點，目標函數(shù)的求解常結合其代數(shù)式的幾何意義(如斜率、截距、距離、面積等)來求解． (3)一元二次不等式經(jīng)常與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、解析幾何相結合考查參數(shù)的取值范圍，以考查一元二次不等式的解法為主，并兼顧二次方程的判別式、根的存在等． 不等式部分重點掌握一元二次不等式的解法，特別是含有字母參數(shù)的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，包括平面區(qū)域的形狀判斷、面積以

5、及與平面區(qū)域有關的最值問題，簡單的線性規(guī)劃模型在解決實際問題中的應用．對不等式的深入復習要結合數(shù)列、解析幾何、導數(shù)進行. 必備知識 一元二次不等式 (1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解結合二次函數(shù)的圖象得來，不要死記硬背，二次函數(shù)的圖象是聯(lián)系“二次型”的紐帶． (2)對含參數(shù)的不等式，難點在于對參數(shù)的恰當分類，關鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因，確定好分類標準(如最高次系數(shù)、判別式、根相等)，層次清楚地求解． (3)與一元二次不等式有關的恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為根的分布問題，求解時一定要借助二次函數(shù)的圖象，一般考慮四個方面：開口方向、判別式的符號、對稱軸的位置、區(qū)間端點函

6、數(shù)值的符號． 基本不等式 (1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等號的條件是當且僅當a＝b；當且僅當x＝y(tǒng)時，≥(x＞0，y＞0)取等號． (2)幾個重要的不等式：①ab≤2(a，b∈R)； ② ≥≥≥(a＞0，b＞0)； ③a＋≥2(a＞0，當a＝1時等號成立)； 2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當a＝b時等號成立)； |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. (3)最值問題：設x，y都為正數(shù)，則有 ①若x＋y＝s(和為定值)，則x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值； ②若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值2. 比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸

7、納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設的結構特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點． 解決線性規(guī)劃問題的一般步驟 (1)確定線性約束條件； (2)確定線性目標函數(shù)； (3)畫出可行域； (4)利用線性目標函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解； (5)據(jù)實際問題的需要，適當調(diào)整最優(yōu)解(如整數(shù)解等)． 必備方法 1．解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)間的關系． 2．使用基本不等式以及與之相關的不等式求一元函數(shù)或者二元函數(shù)最值時，基本的技巧是創(chuàng)

8、造使用這些不等式的條件，如各變數(shù)都是正數(shù)，某些變數(shù)之積或者之和為常數(shù)等，解題中要根據(jù)這個原則對求解目標進行適當?shù)淖儞Q，使之達到能夠使用這些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函數(shù)的最值、特別是求二元函數(shù)最值時一定要注意等號成立的條件，盡量避免二次使用基本不等式． 3．平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集．線性目標函數(shù)z＝ax＋by中的z不是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，把目標函數(shù)化為y＝－x＋可知是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.

9、 ?？疾椋孩僦苯永没静坏仁角笞钪?；②先利用配湊法等進行恒等變形，再利用基本不等式求最值．近幾年高考試題?？疾閷嶋H應用題中基本不等式的應用，應引起我們的重視．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? (2020·重慶)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是(　　)． A．3 B．4 C. D. [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 將已知式改寫成y關于x的表達式，再代入x＋2y消元，整理成應用基本不等式的形式求最值． B　[∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝＞0，∴－1＜x＜8， ∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2 －

10、2＝4，此時x＝2，y＝1，故選B.] 當函數(shù)或代數(shù)式具有“和是定值”、“積是定值”的結構特點時，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具體題目中，一般很少考查基本不等式的直接應用，而是需要對式子進行變形，尋求其中的內(nèi)在關系，然后利用基本不等式得出結果． 【突破訓練1】 已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝1.則＋的最小值為________． 解析　＋＝＋＝3＋ ≥3＋2 ＝3＋2. 即＋的最小值為3＋2. 答案　3＋2 線性規(guī)劃問題常考查有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是知最優(yōu)解情況或可行域情況確定參數(shù)的值或取值范圍．同時，這也是高考的熱點，主要以選擇題、填空題的形式

11、考查．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2020·濰坊模擬)設x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為12，則＋的最小值為(　　)． A. B. C. D．4 [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 先由已知結合線性規(guī)劃知識可以求得a，b的關系式，再由基本不等式求解． A　[不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分． 當直線ax＋by＝z(a＞0，b＞0)過直線x－y＋2＝0與直線3x－y－6＝0的交點(4,6)時，目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6.

12、所以＋＝·＝＋≥＋2＝.] 線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合的思想． 需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯，比如上題中目標函數(shù)所對應直線的斜率－＜0；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得． 【突破訓練2】 (2020·江西)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表 年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價 黃瓜 4噸 1.2萬元 0.55萬元 韭菜 6噸 0.9萬元 0

13、.3萬元 為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50 答案：B　[設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y. 線性約束條件為 即 畫出可行域，如圖所示． 作出直線l0：x＋0.9y＝0，向上平移至過點B時，z取得最大值，由求得B(30，20)．] ?？疾椋孩俸瑓⒉坏仁降那蠼猓虎谝阎瑓⒉坏仁胶愠?/p>

14、立，求參數(shù)的取值范圍，尤其是一元二次不等式的求解是高考重點考查的知識點之一，幾乎涉及高中數(shù)學的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ拢⒁饨忸}的靈活性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? 若不等式x2－ax＋1≥0對于一切x∈(0,2]成立，求a的取值范圍． (1)若題中區(qū)間改為x∈[－2,2]，求a的取值范圍； (2)若題中區(qū)間改為a∈[－2,2]，求x的取值范圍． [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 原題可利用分離法求解；(1)分離參數(shù)后，需分x＝0，x∈(0,2]，x∈[－2,0)討論；(2)利用變換主元法求解． 解　原不等式可化為a≤，而≥＝2， 所以

15、a的取值范圍是(－∞，2]． (1)因為x∈[－2,2]，而當x＝0時，原式為02－a·0＋1≥0恒成立，此時a∈R；當x≠0時，令f(x)＝＝x＋， 則當x∈(0,2]時，知a∈(－∞，2]，所以當x∈[－2,0)時， 因為a≥，令f(x)＝＝x＋， 由函數(shù)的單調(diào)性可知， 所以f(x)max＝f(－1)＝－2，所以a∈[－2，＋∞)， 綜上可知，a的取值范圍是[－2,2]． (2)因為a∈[－2,2]，則可把原式看作關于a的函數(shù)， 即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，由題意可知， 解之得x∈R， 所以x的取值范圍是(－∞，＋∞)． 本題考查了不等式恒成立問題，在給定自變

16、量的取值范圍時，解有關不等式問題時，往往采用分離變量或適當變形，或變換主元，或構造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進行求解，在解答時，一定要注意觀察所給不等式的形式和結構，選取合適的方法去解答． 【突破訓練3】 已知f(x)＝x2－2ax＋2，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 解　 設F(x)＝x2－2ax＋2－a，則問題的條件變?yōu)楫攛∈[－1，＋∞)時，F(xiàn)(x)≥0恒成立．∵當Δ＝(－2a)2－4(2－a)＝4(a＋2)·(a－1)≤0，即－2≤a≤1時，F(xiàn)(x)≥0恒成立． 又當Δ＞0時，F(xiàn)(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要條件是 ??－

17、3≤a＜－2. 故a的取值范圍是[－3,1]． 不等式的綜合應用主要體現(xiàn)在不等式與函數(shù)、方程、導數(shù)、數(shù)列等其它知識的綜合應用．不等式作為一種工具經(jīng)常與函數(shù)、方程結合在一起，用其研究函數(shù)和方程的有關題目；再就是利用函數(shù)和方程的理論研究不等式．題目難度較大．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】? 設函數(shù)f(x)＝x2＋aln(1＋x)有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2. (1)求a的取值范圍，并討論f(x)的單調(diào)性； (2)證明：f(x2)＞. [審題視點] 　 　 [聽課記錄] [審題視點] 第(1)問基礎常規(guī)，第(2)問要證明不等式，常規(guī)方法很難見效，轉(zhuǎn)而構

18、造函數(shù)，反復利用導數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，其中需要一定的探究能力． (1)解　f′(x)＝2x＋＝(x＞－1)． 令g(x)＝2x2＋2x＋a，其對稱軸為x＝－. 由題意知x1、x2是方程g(x)＝0的兩個均大于－1的不相等的實根，且x1＝，x2＝， 其充要條件為得0＜a＜. ①當x∈(－1，x1)時，f′(x)＞0， ∴f(x)在(－1，x1)內(nèi)為增函數(shù)； ②當x∈(x1，x2)時，f′(x)＜0， ∴f(x)在(x1，x2)內(nèi)為減函數(shù)； ③當x∈(x2，＋∞)時，f′(x)＞0， ∴f(x)在(x2，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)． (2)證明　當x∈(x2，＋∞)時，f′(x)

19、＞0， ∴－＜x2＜0.a＝－(2x＋2x2)． ∴f(x2)＝x＋aln(1＋x2)＝x－(2x＋2x2)ln(1＋x2)． 設h(x)＝x2－(2x2＋2x)ln(1＋x)， 則h′(x)＝2x－2(2x＋1)ln(1＋x)－2x＝－2(2x＋1)ln(1＋x)． ①當x∈時，h′(x)＞0， ∴h(x)在上單調(diào)遞增； ②當x∈(0，＋∞)時，h′(x)＜0， h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． ∴當x∈時，h(x)＞h＝. 故f(x2)＝h(x2)＞. 在確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，往往需要對所求出的導數(shù)中的參數(shù)進行分類討論來解決，不等式的證明常常借助構造函數(shù)，利用函數(shù)

20、的單調(diào)性進行證明，從而使問題的解決變得簡單、明快． 【突破訓練4】 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.若a＞，且當x∈[1,4a]時，|f′(x)|≤12a恒成立，試確定a的取值范圍． 解　f′(x)＝3x2－6ax－9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關于x＝a對稱． ①若＜a≤1，則f′(x)在[1,4a]上是增函數(shù)，從而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2. 由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a， 于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤1

21、2a. 由f′(1)≥－12a，得－≤a≤1，由f′(4a)≤12a，得0≤a≤. 所以a∈∩∩，即a∈. ②若a＞1，則|f′(a)|＝12a2＞12a. 故當x∈[1,4a]時，|f′(x)|≤12a不恒成立． 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范圍是. 把握好含參二次不等式的分類標準的四個“討論點” 含參數(shù)的二次不等式的解法常常涉及到參數(shù)的討論問題，如何選擇討論標準是學生不易掌握的地方．實際上，只要把握好下面的四個“討論點”，一切便迎刃而解． 分類標準一：二次項系數(shù)是否為零，目的是討論不等式是否為二次不等式； 分類標準二：二次項系數(shù)的正

22、負，目的是討論二次函數(shù)圖象的開口方向； 分類標準三：判別式的正負，目的是討論二次方程是否有解； 分類標準四：兩根差的正負，目的是比較根的大?。? 【示例】? (2020·汕頭調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋c(a＞0)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x－1. (1)用a表示出b，c； (2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍． [滿分解答]　(1)f′(x)＝a－， 則有 解得(4分) (2)由(1)知，f(x)＝ax＋＋1－2a. 令g(x)＝f(x)－ln x ＝ax＋＋1－2a－ln x，x∈[1，＋∞)， 則g(1)＝0， g

23、′(x)＝a－－ ＝＝.(8分) ①當0＜a＜時，＞1. 若1＜x＜，則g′(x)＜0，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)＜g(1)＝0，即f(x)＜ln x．故f(x)≥ln x在[1，＋∞)上不恒成立．(10分) ②當a≥時，≤1. 若x＞1，則g′(x)＞0，g(x)是增函數(shù)，所以g(x)＞g(1)＝0，即f(x)＞ln x，故當x≥1時，f(x)≥ln x. 綜上所述，所求a的取值范圍為，＋∞.(12分) 老師叮嚀：對不確定的根的大小關系不加區(qū)分，整體表現(xiàn)為不能有序地進行分類討論，對于分類討論的題目沒有結論，這都是造成失分的原因，切記！ 【試一試】 (高考題改編)解關于

24、x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0. 解　不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0， 即(ax－1)(x－2)＜0. (1)當a＞0時，不等式可以化為(x－2)＜0. ①若0＜a＜，則＞2， 此時不等式的解集為； ②若a＝，則不等式為(x－2)2＜0，不等式的解集為?； ③若a＞，則＜2，此時不等式的解集為. (2)當a＝0時，不等式即－x＋2＜0， 此時不等式的解集為(2，＋∞)． (3)當a＜0時，不等式可以化為(x－2)＞0. 由于＜2，故不等式的解集為∪(2，＋∞)． 綜上所述，當a＜0時，不等式的解集為∪(2，＋∞)； 當a＝0時，不等式的解集為(2，＋∞)； 當0＜a＜時，不等式的解集為； 當a＝時，不等式的解集為?； 當a＞時，不等式的解集為.