專題9 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題

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1、專題九 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題 一、中考專題詮釋 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題，是指根據(jù)問(wèn)題所提供的信息，運(yùn)用學(xué)過(guò)的技能和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，然后通過(guò)分析、計(jì)算、證明等，確定出最佳方案的一類數(shù)學(xué)問(wèn)題。 隨著新課程改革的不斷深入，一些新穎、靈活、密切聯(lián)系實(shí)際的方案設(shè)計(jì)問(wèn)題正越來(lái)越受到中考命題人員的喜愛(ài)，這些問(wèn)題主要考查學(xué)生動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新能力，這也是新課程所要求的核心內(nèi)容之一。 二、解題策略和解法精講 方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題涉及生產(chǎn)生活的方方面面，如：測(cè)量、購(gòu)物、生產(chǎn)配料、汽車(chē)調(diào)配、圖形拼接等。所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有方程、不等式、函數(shù)、解直角三角形、概率和統(tǒng)計(jì)等知識(shí)。這類問(wèn)題的應(yīng)用性非常突出，題目一般較長(zhǎng)，做題之

2、前要認(rèn)真讀題，理解題意，選擇和構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)求解，最終解決問(wèn)題。解答此類問(wèn)題必須具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，另外，解題時(shí)還要注重綜合運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合的思想、方程函數(shù)思想及分類討論等各種數(shù)學(xué)思想。 三、中考考點(diǎn)精講 考點(diǎn)一：設(shè)計(jì)測(cè)量方案問(wèn)題 這類問(wèn)題主要包括物體高度的測(cè)量和地面寬度的測(cè)量。所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)主要有相似、全等、三角形中位線、投影、解直角三角形等。 例1 1．（2013?吉林）某校數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組在“測(cè)量教學(xué)樓高度”的活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了以下兩種方案： 課題 測(cè)量教學(xué)樓高度 方案 一 二 圖示 測(cè)得數(shù)據(jù) CD=

3、6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°， EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43° 參考數(shù)據(jù) sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40 sin13°≈0.22，cos13°≈0.97 tan13°≈0.23 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93 請(qǐng)你選擇其中的一種方法，求教學(xué)樓的高度（結(jié)果保留整數(shù)） 思路分析：若選擇方法一，在Rt△BGC中，根據(jù)CG=即可得出CG的長(zhǎng)，同理，在Rt△ACG中，根據(jù)tan∠ACG= 可

4、得出AG的長(zhǎng)，根據(jù)AB=AG+BG即可得出結(jié)論． 若選擇方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB=可得出FB的長(zhǎng)，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB=可求出EB的長(zhǎng)，由EF=EB-FB且EF=10，可知 =10，故可得出AB的長(zhǎng)． 解：若選擇方法一，解法如下： 在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9， ∵CG==30， 在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°， ∵tan∠ACG=， ∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12， ∴AB=AG+BG=12+6.9≈19（米）． 答：教學(xué)樓的高度約19米． 若選擇方法二

5、，解法如下： 在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°， ∵tan∠AFB=， ∴FB=≈， 在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°， ∵tan∠AEB=， ∴EB=≈， ∵EF=EB-FB且EF=10， ∴-=10，解得AB=18.6≈19（米）． 答：教學(xué)樓的高度約19米． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．（2013?內(nèi)江）如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)DE的高度，他們?cè)谶@棵樹(shù)的正前方一座樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹(shù)的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為60°．已知A點(diǎn)的高度AB為3米，臺(tái)階AC的坡度為

6、1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹(shù)DE的高度（側(cè)傾器的高度忽略不計(jì)）． 1．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于F， 則四邊形ABEF為矩形， ∴AF=BE，EF=AB=3， 設(shè)DE=x， 在Rt△CDE中，CE==x， 在Rt△ABC中， ∵，AB=3， ∴BC=3， 在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-3， ∴AF==（x-3）， ∵AF=BE=BC+CE， ∴（x-3）=3+x， 解得x=9． 答：樹(shù)高為9米． 考點(diǎn)二：設(shè)計(jì)搭配方案問(wèn)題 這類問(wèn)題不僅在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，大家在平時(shí)的練習(xí)中也會(huì)經(jīng)常碰到。它

7、一般給出兩種元素，利用這兩種元素搭配出不同的新事物，設(shè)計(jì)出方案，使獲利最大或成本最低。解題時(shí)要根據(jù)題中蘊(yùn)含的不等關(guān)系，列出不等式（組），通過(guò)不等式組的整數(shù)解來(lái)確定方案。 例2 （2013?昆明）某校七年級(jí)準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一批筆記本獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀學(xué)生，在購(gòu)買(mǎi)時(shí)發(fā)現(xiàn)，每本筆記本可以打九折，用360元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)的筆記本，打折后購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量比打折前多10本． （1）求打折前每本筆記本的售價(jià)是多少元？ （2）由于考慮學(xué)生的需求不同，學(xué)校決定購(gòu)買(mǎi)筆記本和筆袋共90件，筆袋每個(gè)原售價(jià)為6元，兩種物品都打九折，若購(gòu)買(mǎi)總金額不低于360元，且不超過(guò)365元，問(wèn)有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？ 思路分析：（1）設(shè)打折前售價(jià)為x，則打折后

8、售價(jià)為0.9x，表示出打折前購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量及打折后購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量，再由打折后購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量比打折前多10本，可得出方程，解出即可； （2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)筆記本y件，則購(gòu)買(mǎi)筆袋（90-y）件，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)總金額不低于360元，且不超過(guò)365元，可得出不等式組，解出即可． 解：（1）設(shè)打折前售價(jià)為x，則打折后售價(jià)為0.9x， 由題意得，， 解得：x=4， 經(jīng)檢驗(yàn)得：x=4是原方程的根， 答：打折前每本筆記本的售價(jià)為4元． （2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)筆記本y件，則購(gòu)買(mǎi)筆袋（90-y）件， 由題意得，360≤4×0.9×y+6×0.9×（90-y）≤365， 解得：67≤y≤70， ∵x為正整數(shù)， ∴x可取68，

9、69，70， 故有三種購(gòu)買(mǎi)方案： 方案一：購(gòu)買(mǎi)筆記本68本，購(gòu)買(mǎi)筆袋22個(gè)； 方案二：購(gòu)買(mǎi)筆記本69本，購(gòu)買(mǎi)筆袋21個(gè)； 方案三：購(gòu)買(mǎi)筆記本70本，購(gòu)買(mǎi)筆袋20個(gè)； 點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答此類應(yīng)用類題目，一定要先仔細(xì)審題，有時(shí)需要讀上幾遍，找到解題需要的等量關(guān)系或不等關(guān)系． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2．（2013?湘潭）5月12日是母親節(jié)，小明去花店買(mǎi)花送給母親，挑中了象征溫馨、母愛(ài)的康乃馨和象征高貴、尊敬的蘭花兩種花，已知康乃馨每支5元，蘭花每支3元，小明只有30元，希望購(gòu)買(mǎi)花的支數(shù)不少于7支，其中至少有一支是康乃馨． （1）小明一共有多少種可能的購(gòu)買(mǎi)

10、方案？列出所有方案； （2）如果小明先購(gòu)買(mǎi)一張2元的祝?？?，再?gòu)模?）中任選一種方案購(gòu)花，求他能實(shí)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)愿望的概率． 2．解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)康乃馨x支，購(gòu)買(mǎi)蘭花y支，由題意，得 ， ∵x、y為正整數(shù)， 當(dāng)x=1時(shí)，y=6，7，8符合題意， 當(dāng)x=2時(shí)，y=5，6符合題意， 當(dāng)x=3時(shí)，y=4，5符合題意， 當(dāng)x=4時(shí)，y=3符合題意， 當(dāng)x=5時(shí)，y=1舍去， 當(dāng)x=6時(shí)，y=0舍去． 共有8種購(gòu)買(mǎi)方案， 方案1：購(gòu)買(mǎi)康乃馨1支，購(gòu)買(mǎi)蘭花6支； 方案2：購(gòu)買(mǎi)康乃馨1支，購(gòu)買(mǎi)蘭花7支； 方案3：購(gòu)買(mǎi)康乃馨1支，購(gòu)買(mǎi)蘭花8支； 方案4：購(gòu)買(mǎi)康乃馨2支，購(gòu)買(mǎi)蘭花5支；

11、方案5：購(gòu)買(mǎi)康乃馨2支，購(gòu)買(mǎi)蘭花6支； 方案6：購(gòu)買(mǎi)康乃馨3支，購(gòu)買(mǎi)蘭花4支； 方案7：購(gòu)買(mǎi)康乃馨3支，購(gòu)買(mǎi)蘭花5支； 方案8：購(gòu)買(mǎi)康乃馨4支，購(gòu)買(mǎi)蘭花3支； （2）由題意，得， ， 購(gòu)花的方案有： 方案1：購(gòu)買(mǎi)康乃馨1支，購(gòu)買(mǎi)蘭花6支； 方案2：購(gòu)買(mǎi)康乃馨1支，購(gòu)買(mǎi)蘭花7支； 方案4：購(gòu)買(mǎi)康乃馨2支，購(gòu)買(mǎi)蘭花5支； 方案5：購(gòu)買(mǎi)康乃馨2支，購(gòu)買(mǎi)蘭花6支； ∴小明實(shí)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)方案的愿望有5種，而總共有8中購(gòu)買(mǎi)方案， ∴小明能實(shí)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)愿望的概率為P=． 考點(diǎn)三：設(shè)計(jì)銷售方案問(wèn)題 在商品買(mǎi)賣(mài)中，更多蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的學(xué)問(wèn)。在形形色色的讓利、打折、買(mǎi)一贈(zèng)一、摸獎(jiǎng)等促銷活動(dòng)中

12、，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通過(guò)計(jì)算不同的銷售方案盈利情況，可以幫助我們明白更多的道理。近來(lái)還出現(xiàn)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)的問(wèn)題?！? 例3 （2013?遂寧）四川省第十二屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2014年8月18日在我市隆重開(kāi)幕，根據(jù)大會(huì)組委會(huì)安排，某校接受了開(kāi)幕式大型團(tuán)體操表演任務(wù)．為此，學(xué)校需要采購(gòu)一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商．經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價(jià)都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元．經(jīng)洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是，全部服裝按單價(jià)打七折，但校方需承擔(dān)2200元的運(yùn)費(fèi)；B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承

13、擔(dān)運(yùn)費(fèi)．另外根據(jù)大會(huì)組委會(huì)要求，參加演出的女生人數(shù)應(yīng)是男生人數(shù)的2倍少100人，如果設(shè)參加演出的男生有x人． （1）分別寫(xiě)出學(xué)校購(gòu)買(mǎi)A、B兩公司服裝所付的總費(fèi)用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）問(wèn)：該學(xué)校購(gòu)買(mǎi)哪家制衣公司的服裝比較合算？請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路分析：（1）根據(jù)總費(fèi)用=男生的人數(shù)×男生每套的價(jià)格+女生的人數(shù)×女生每套的價(jià)格就可以分別表示出y1（元）和y2（元）與男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）根據(jù)條件可以知道購(gòu)買(mǎi)服裝的費(fèi)用受x的變化而變化，分情況討論，當(dāng)y1＞y2時(shí)，當(dāng)y1=y2時(shí)，當(dāng)y1＜y2時(shí)，求出x的范圍就可以求出結(jié)論． 解：（1）總費(fèi)

14、用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式分別是： y1=0.7[120x+100（2x-100）]+2200=224x-4800， y2=0.8[100（3x-100）]=240x-8000； （2）由題意，得 當(dāng)y1＞y2時(shí)，即224x-4800＞240x-8000，解得：x＜200???? 當(dāng)y1=y2時(shí)，即224x-4800=240x-8000，解得：x=200?????? 當(dāng)y1＜y2時(shí)，即224x-4800＜240x-8000，解得：x＞200???? 即當(dāng)參演男生少于200人時(shí)，購(gòu)買(mǎi)B公司的服裝比較合算； 當(dāng)參演男生等于200人時(shí)，購(gòu)買(mǎi)兩家公司的服裝

15、總費(fèi)用相同，可任一家公司購(gòu)買(mǎi)； 當(dāng)參演男生多于200人時(shí)，購(gòu)買(mǎi)A公司的服裝比較合算． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)條件求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，運(yùn)用不等式求設(shè)計(jì)方案的運(yùn)用，解答本題時(shí)根據(jù)數(shù)量關(guān)系求出解析式是關(guān)鍵，建立不等式計(jì)算優(yōu)惠方案是難點(diǎn)． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3．（2013?綏化）為了迎接“十?一”小長(zhǎng)假的購(gòu)物高峰．某運(yùn)動(dòng)品牌專賣(mài)店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋．其中甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表： 運(yùn)動(dòng)鞋 價(jià)格 甲 乙 進(jìn)價(jià)（元/雙） m m-20 售價(jià)（元/雙） 240 160 已知：用3000元購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量與用2400元購(gòu)進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋的數(shù)量相同． （1）求m的值；

16、 （2）要使購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動(dòng)鞋共200雙的總利潤(rùn)（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）不少于21700元，且不超過(guò)22300元，問(wèn)該專賣(mài)店有幾種進(jìn)貨方案？ （3）在（2）的條件下，專賣(mài)店準(zhǔn)備對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，決定對(duì)甲種運(yùn)動(dòng)鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運(yùn)動(dòng)鞋價(jià)格不變．那么該專賣(mài)店要獲得最大利潤(rùn)應(yīng)如何進(jìn)貨？ 3．解：（1）依題意得，， 整理得，3000（m-20）=2400m， 解得m=100， 經(jīng)檢驗(yàn)，m=100是原分式方程的解， 所以，m=100； （2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋x雙，則乙種運(yùn)動(dòng)鞋（200-x）雙， 根據(jù)題意得，， 解不等式①得，x≥95， 解不等

17、式②得，x≤105， 所以，不等式組的解集是95≤x≤105， ∵x是正整數(shù)，105-95+1=11， ∴共有11種方案； （3）設(shè)總利潤(rùn)為W，則W=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105）， ①當(dāng)50＜a＜60時(shí)，60-a＞0，W隨x的增大而增大， 所以，當(dāng)x=105時(shí)，W有最大值， 即此時(shí)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋105雙，購(gòu)進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋95雙； ②當(dāng)a=60時(shí)，60-a=0，W=16000，（2）中所有方案獲利都一樣； ③當(dāng)60＜a＜70時(shí)，60-a＜0，W隨x的增大而減小， 所以，當(dāng)x=95時(shí)，W有最大值， 即此時(shí)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種運(yùn)動(dòng)鞋

18、95雙，購(gòu)進(jìn)乙種運(yùn)動(dòng)鞋105雙． 考點(diǎn)四：設(shè)計(jì)圖案問(wèn)題 圖形的分割、拼接問(wèn)題是考查動(dòng)手操作能力與空間想能力的一類重要問(wèn)題，在各地的中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)。這類問(wèn)題大多具有一定的開(kāi)放性，要求學(xué)生多角度、多層次的探索，以展示思維的靈活性、發(fā)散性、創(chuàng)新性。 例4 （2013?無(wú)錫）下面給出的正多邊形的邊長(zhǎng)都是20cm，請(qǐng)分別按下列要求設(shè)計(jì)一種剪拼方法（用虛線表示你的設(shè)計(jì)方案，把剪拼線段用粗黑實(shí)線，在圖中標(biāo)注出必要的符號(hào)和數(shù)據(jù)，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明． （1）將圖1中的正方形紙片剪拼成一個(gè)底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面積與原正方形面積相等； （2）將圖2中的正三角形紙片剪拼成一個(gè)底面是正

19、三角形的直三棱柱模型，使它的表面積與原正三角形的面積相等； （3）將圖3中的正五邊形紙片剪拼成一個(gè)底面是正五邊形的直五棱柱模型，使它的表面積與原正五邊形的面積相等． 思路分析：（1）在正方形四個(gè)角上分別剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為5的小正方形，拼成一個(gè)正方形作為直四棱柱的底面即可； （2）在正三角形的每一角上找出到頂點(diǎn)距離是5的點(diǎn)，然后作邊的垂線，剪下后拼成一個(gè)正三角形，作為直三棱柱的一個(gè)底面即可； （3）在正五邊形的每一角上找出到頂點(diǎn)距離是5的點(diǎn)，然后作邊的垂線，剪下后拼成一個(gè)正五邊形，作為直五棱柱的一個(gè)底面即可． 解：（1）如圖1，沿黑線剪開(kāi)，把剪下的四個(gè)小正方形拼成一個(gè)正方形，再沿虛

20、線折疊即可； （2）如圖，2，沿黑線剪開(kāi)，把剪下的三部分拼成一個(gè)正三角形，再沿虛線折疊即可； （3）如圖3，沿黑線剪開(kāi)，把剪下的五部分拼成一個(gè)正五邊形，再沿虛線折疊即可． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的剪拼，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)拼成棱柱的表面積與原圖形的面積相等，從而判斷出剪下的部分拼成的圖形應(yīng)該是棱柱的一個(gè)底面． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4．（2013?深圳）如圖，有一張一個(gè)角為30°，最小邊長(zhǎng)為2的直角三角形紙片，沿圖中所示的中位線剪開(kāi)后，將兩部分拼成一個(gè)四邊形，所得四邊形的周長(zhǎng)是（　?。? A．8或2 B．10或4+2 C．10或2 D．8或4+2 4．D 四、真題演練 1．（20

21、13?襄陽(yáng)）在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，得到如圖所示的直角梯形，則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是 ． 1．6或2 2．（2013?大連）如圖，為了測(cè)量河的寬度AB，測(cè)量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測(cè)得河岸B處的俯角為45°，測(cè)得河對(duì)岸A處的俯角為30°（A、B、C在同一條直線上），則河的寬度AB約為 15.3 m（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41， ≈1.73） 2．15.3 3．（2013?張家界）如圖，在方格紙上，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形，請(qǐng)按要求完成下列操作：先將格點(diǎn)△A

22、BC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，再將△A1B1C1沿直線B1C1作軸反射得到△A2B2C2． 3．解：如圖所示： 4．（2013?荊州）如圖，是一個(gè)4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．請(qǐng)你在網(wǎng)格中以左上角的三角形為基本圖形，通過(guò)平移、對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)計(jì)一個(gè)精美圖案，使其滿足： ①既是軸對(duì)稱圖形，又是以點(diǎn)O為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形； ②所作圖案用陰影標(biāo)識(shí)，且陰影部分面積為4． 4．解：如圖所示：答案不唯一． 5．（2013?呼和浩特）如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到B地經(jīng)過(guò)C地沿折線A→C→B行駛，現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車(chē)直接沿直線

23、AB行駛．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．則隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)） 5．解：過(guò)C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中， ∵AC=10，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=5， AD=ACcos30°=5， 在Rt△BCD中， ∵∠B=45°， ∴BD=CD=5，BC=5， 則用AC+BC-（AD+BD）=10+5-（5+5）=5+5-5（千米）． 答：汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走（5+5-5）千米． 6．（2013?重慶）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中（我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點(diǎn)稱

24、為格點(diǎn)），四邊形ABCD在直線l的左側(cè)，其四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在網(wǎng)格的格點(diǎn)上． （1）請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫(huà)出四邊形A′B′C′D′，使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于直線l對(duì)稱，其中點(diǎn)A′、B′、C′、D′分別是點(diǎn)A、B、C、D的對(duì)稱點(diǎn)； （2）在（1）的條件下，結(jié)合你所畫(huà)的圖形，直接寫(xiě)出線段A′B′的長(zhǎng)度． 6．解：（1）所作圖形如下： ． （2）A'B'=． 7．（2013?天門(mén)）某商場(chǎng)為方便顧客使用購(gòu)物車(chē)，準(zhǔn)備將滾動(dòng)電梯的坡面坡度由1：1.8改為1：2.4（如圖）．如果改動(dòng)后電梯的坡面長(zhǎng)為13米，求改動(dòng)后電梯水平寬度增加部分BC的長(zhǎng)． 7．解：在Rt

25、△ADC中，∵AD：DC=1：2.4，AC=13， 由AD2+DC2=AC2，得AD2+（2.4AD）2=132． ∴AD=±5（負(fù)值不合題意，舍去）． ∴DC=12． 在Rt△ABD中，∵AD：BD=1：1.8， ∴BD=5×1.8=9． ∴BC=DC-BD=12-9=3． 答：改動(dòng)后電梯水平寬度增加部分BC的長(zhǎng)為3米． 8．（2013?邵陽(yáng)）雅安地震后，政府為安置災(zāi)民，從某廠調(diào)撥了用于搭建板房的板材5600m2和鋁材2210m，計(jì)劃用這些材料在某安置點(diǎn)搭建甲、乙兩種規(guī)格的板房共100間，若搭建一間甲型板房或一間乙型板房所需板材和鋁材的數(shù)量如下表所示： 板房規(guī)格 板材

26、數(shù)量（m2） 鋁材數(shù)量（m） 甲型 40 30 乙型 60 20 請(qǐng)你根據(jù)以上信息，設(shè)計(jì)出甲、乙兩種板房的搭建方案． 8．解：設(shè)甲種板房搭建x間，則乙種板房搭建（100-x）間，根據(jù)題意得： ， 解得：20≤x≤21， x只能取整數(shù)， 則x=20，21，共有2種搭建方案， 方案1甲種板房搭建20間，乙種板房搭建80間， 方案2甲種板房搭建21間，乙種板房搭建79間． 9．（2013?鐵嶺）如圖所示，某工程隊(duì)準(zhǔn)備在山坡（山坡視為直線l）上修一條路，需要測(cè)量山坡的坡度，即tanα的值．測(cè)量員在山坡P處（不計(jì)此人身高）觀察對(duì)面山頂上的一座鐵塔，測(cè)得塔尖C的仰角為37°

27、，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，圖中的點(diǎn)O、B、C、A、P在同一平面內(nèi)，求山坡的坡度．（參考數(shù)據(jù)sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 9．解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形． 在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°， ∴BD=PD?tan∠BPD=PD?tan26.6°； 在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°， ∴CD=PD?tan∠CPD=PD?tan37°； ∵CD-

28、BD=BC， ∴PD?tan37°-PD?tan26.6°=80， ∴0.75PD-0.50PD=80， 解得PD=320， ∴BD=PD?tan26.6°≈320×0.50=160， ∵OB=220， ∴PE=OD=OB-BD=60， ∵OE=PD=320， ∴AE=OE-OA=320-200=120， ∴tanα==0.5， ∴α≈26.6°． 10．（2013?宿遷）某公司有甲種原料260kg，乙種原料270kg，計(jì)劃用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共40件．生產(chǎn)每件A種產(chǎn)品需甲種原料8kg，乙種原料5kg，可獲利潤(rùn)900元；生產(chǎn)每件B種產(chǎn)品需甲種原料4kg，

29、乙種原料9kg，可獲利潤(rùn)1100元．設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件． （1）完成下表 甲（kg） 乙（kg） 件數(shù)（件） A 5x x B 4（40-x） 40-x （2）安排生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的件數(shù)有幾種方案？試說(shuō)明理由； （3）設(shè)生產(chǎn)這批40件產(chǎn)品共可獲利潤(rùn)y元，將y表示為x的函數(shù)，并求出最大利潤(rùn)． 10．解：（1）表格分別填入：A甲種原料8x，B乙種原料9（40-x）； （2）根據(jù)題意得，， 由①得，x≤25， 由②得，x≥22.5， ∴不等式組的解集是22.5≤x≤25， ∵x是正整數(shù)， ∴x=23、24、25， 共有三種方案； 方案一：A

30、產(chǎn)品23件，B產(chǎn)品17件， 方案二：A產(chǎn)品24件，B產(chǎn)品16件； 方案三：A產(chǎn)品25件，B產(chǎn)品15件； （3）y=900x+1100（40-x）=-200x+44000， ∵-200＜0， ∴y隨x的增大而減小， ∴x=23時(shí)，y有最大值， y最大=-200×23+44000=39400元． 11．（2013?賀州）如圖，小明在樓上點(diǎn)A處測(cè)量大樹(shù)的高，在A處測(cè)得大樹(shù)頂部B的仰角為25°，測(cè)得大樹(shù)底部C的俯角為45°．已知點(diǎn)A距地面的高度AD為12m，求大樹(shù)的高度BC．（最后結(jié)果精確到0.1） 11．解：過(guò)A作AE⊥BC于E，則四邊形ADCE是矩形，CE=AD=12m．

31、 在Rt△ACE中，∵∠EAC=45°， ∴AE=CE=12m， 在Rt△AEB中，∠BAE=25°， ∴BE=AE?tan25°≈12×0.47=5.64m． ∴BC=BE+CE≈5.64+12≈17.6． 答：大樹(shù)的高度約為17.6m． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了仰角與俯角的知識(shí)．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵． 12．（2013?遵義）2013年4月20日，四川雅安發(fā)生7.0級(jí)地震，給雅安人民的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)巨大損失．某市民政部門(mén)將租用甲、乙兩種貨車(chē)共16輛，把糧食266噸、副食品169噸全部運(yùn)到災(zāi)區(qū)．已知一輛甲種貨車(chē)同時(shí)可裝糧食18噸、

32、副食品10噸；一輛乙種貨車(chē)同時(shí)可裝糧食16噸、副食11噸． （1）若將這批貨物一次性運(yùn)到災(zāi)區(qū)，有哪幾種租車(chē)方案？ （2）若甲種貨車(chē)每輛需付燃油費(fèi)1500元；乙種貨車(chē)每輛需付燃油費(fèi)1200元，應(yīng)選（1）中的哪種方案，才能使所付的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？ 12．解：（1）設(shè)租用甲種貨車(chē)x輛，租用乙種貨車(chē)為（16-x）輛， 根據(jù)題意得，， 由①得，x≥5， 由②得，x≤7， 所以，5≤x≤7， ∵x為正整數(shù)， ∴x=5或6或7， 因此，有3種租車(chē)方案： 方案一：組甲種貨車(chē)5輛，乙種貨車(chē)11輛； 方案二：組甲種貨車(chē)6輛，乙種貨車(chē)10輛； 方案三：組甲種貨車(chē)7輛，乙種貨車(chē)9

33、輛； （2）方法一：由（1）知，租用甲種貨車(chē)x輛，租用乙種貨車(chē)為（16-x）輛，設(shè)兩種貨車(chē)燃油總費(fèi)用為y元， 由題意得，y=1500x+1200（16-x）， =300x+19200， ∵300＞0， ∴當(dāng)x=5時(shí)，y有最小值， y最小=300×5+19200=20700元； 方法二：當(dāng)x=5時(shí)，16-5=11， 5×1500+11×1200=20700元； 當(dāng)x=6時(shí)，16-6=10， 6×1500+10×1200=21000元； 當(dāng)x=7時(shí)，16-7=9， 7×1500+9×1200=21300元； 答：選擇（1）中的方案一租車(chē)，才能使所付的費(fèi)用最少，最少

34、費(fèi)用是20700元． 13．（2013?黑龍江）為了落實(shí)黨中央提出的“惠民政策”，我市今年計(jì)劃開(kāi)發(fā)建設(shè)A、B兩種戶型的“廉租房”共40套．投入資金不超過(guò)200萬(wàn)元，又不低于198萬(wàn)元．開(kāi)發(fā)建設(shè)辦公室預(yù)算：一套A型“廉租房”的造價(jià)為5.2萬(wàn)元，一套B型“廉租房”的造價(jià)為4.8萬(wàn)元． （1）請(qǐng)問(wèn)有幾種開(kāi)發(fā)建設(shè)方案？ （2）哪種建設(shè)方案投入資金最少？最少資金是多少萬(wàn)元？ （3）在（2）的方案下，為了讓更多的人享受到“惠民”政策，開(kāi)發(fā)建設(shè)辦公室決定通過(guò)縮小“廉租房”的面積來(lái)降低造價(jià)、節(jié)省資金．每套A戶型“廉租房”的造價(jià)降低0.7萬(wàn)元，每套B戶型“廉租房”的造價(jià)降低0.3萬(wàn)元，將節(jié)省下來(lái)的資

35、金全部用于再次開(kāi)發(fā)建設(shè)縮小面積后的“廉租房”，如果同時(shí)建設(shè)A、B兩種戶型，請(qǐng)你直接寫(xiě)出再次開(kāi)發(fā)建設(shè)的方案． 13．解：（1）設(shè)建設(shè)A型x套，則B型（40-x）套， 根據(jù)題意得，， 解不等式①得，x≥15， 解不等式②得，x≤20， 所以，不等式組的解集是15≤x≤20， ∵x為正整數(shù)， ∴x=15、16、17、18、19、20， 答：共有6種方案； （2）設(shè)總投資W萬(wàn)元，建設(shè)A型x套，則B型（40-x）套， W=5.2x+4.8×（40-x）=0.4x+192， ∵0.4＞0， ∴W隨x的增大而增大， ∴當(dāng)x=15時(shí)，W最小，此時(shí)W最小=0.4×15+192=19

36、8萬(wàn)元； （3）設(shè)再次建設(shè)A、B兩種戶型分別為a套、b套， 則（5.2-0.7）a+（4.8-0.3）b=15×0.7+（40-15）×0.3， 整理得，a+b=4， a=1時(shí)，b=3， a=2時(shí)，b=2， a=3時(shí)，b=1， 所以，再建設(shè)方案：①A型住房1套，B型住房3套； ②A型住房2套，B型住房2套； ③A型住房3套，B型住房1套． 14．（2013?資陽(yáng)）釣魚(yú)島歷來(lái)是中國(guó)領(lǐng)土，以它為圓心在周?chē)?2海里范圍內(nèi)均屬于禁區(qū)，不允許它國(guó)船只進(jìn)入，如圖，今有一中國(guó)海監(jiān)船在位于釣魚(yú)島A正南方距島60海里的B處海域巡邏，值班人員發(fā)現(xiàn)在釣魚(yú)島的正西方向52海里的C處有一艘日本漁

37、船，正以9節(jié)的速度沿正東方向駛向釣魚(yú)島，中方立即向日本漁船發(fā)出警告，并沿北偏西30°的方向以12節(jié)的速度前往攔截，期間多次發(fā)出警告，2小時(shí)候海監(jiān)船到達(dá)D處，與此同時(shí)日本漁船到達(dá)E處，此時(shí)海監(jiān)船再次發(fā)出嚴(yán)重警告． （1）當(dāng)日本漁船受到嚴(yán)重警告信號(hào)后，必須沿北偏東轉(zhuǎn)向多少度航行，才能恰好避免進(jìn)入釣魚(yú)島12海里禁區(qū)？ （2）當(dāng)日本漁船不聽(tīng)嚴(yán)重警告信號(hào)，仍按原速度，原方向繼續(xù)前進(jìn)，那么海監(jiān)船必須盡快到達(dá)距島12海里，且位于線段AC上的F處強(qiáng)制攔截漁船，問(wèn)海監(jiān)船能否比日本漁船先到達(dá)F處？（注：①中國(guó)海監(jiān)船的最大航速為18節(jié)，1節(jié)=1海里/小時(shí)；②參考數(shù)據(jù)：sin26.3°≈0.44，sin20.5°

38、≈0.35，sin18.1°≈0.31，≈1.4，≈1.7） 14．解：（1）過(guò)點(diǎn)E作圓A的切線EN，連接AN，則AN⊥EN， 由題意得，CE=9×2=18海里，則AE=AC-CE=52-18=34海里， ∵sin∠AEN=≈0.35， ∴∠AEN=20.5°， ∴∠NEM=69.5°， 即必須沿北偏東至少轉(zhuǎn)向69.5°航行，才能恰好避免進(jìn)入釣魚(yú)島12海里禁區(qū)． （2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H， 由題意得，BD=2×12=24海里， 在Rt△DBH中，DH=BD=12海里，BH=12海里， ∵AF=12海里， ∴DH=AF， ∴DF⊥AF， 此時(shí)海監(jiān)船以最大航速行駛， 海監(jiān)船到達(dá)點(diǎn)F的時(shí)間為： ≈2.2小時(shí)； 漁船到達(dá)點(diǎn)F的時(shí)間為：=2.4小時(shí)， ∵2.2＜2.4， ∴海監(jiān)船比日本漁船先到達(dá)F處．