2020年高三數(shù)學二輪復習 專題五第一講 概率 隨機變量及其分布列教案 理

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1、第一講　概率 隨機變量及其分布列 研熱點（聚焦突破） 類型一 古典概型 古典概型 (1)特點：等可能性、有限性； (2)概率求法：P＝ [例1]　(2020年高考江蘇卷改編)設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1. 求概率P(ξ＝0)． [解析]　若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8C對相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝. 跟蹤訓練 從{1，2，3，4，5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機選取一個數(shù)為b

2、，則a

3、示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. [解析]　利用積分求出陰影部分的面積，應用幾何概型的概率計算公式求解． ∵S陰影＝(－x)dx＝x－x2＝－＝，又S正方形OABC＝1，∴由幾何概型知，P恰好取自陰影部分的概率為＝. [答案]　C 跟蹤訓練 (2020年衡陽月考)已知函數(shù)f(x)＝－3x2＋ax＋b，若a，b都是區(qū)間[0，4]中任取的一個數(shù)，那么f(1)>0的概率是________ 解析：由f(1)>0得－3＋a＋b>0，即a＋b>3.在0≤a≤4，0

4、≤b≤4的約束條件下，作出a＋b>3滿足的可行域，如圖所示， 則根據(jù)幾何概型概率公式可得， f(1)>0的概率P＝＝. 答案： 類型三 相互獨立事件的概率與條件概率 [例3]　(2020年高考課標全國卷)某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1 000，502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為________． [解析]　利用獨立事件和對立事件的概率公式求解． 設元件1，2，3的使用壽命超過1 00

5、0小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝， ∴該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為(A＋B＋AB)C， ∴該部件的使用壽命超過1 000小時的概率P＝(×＋×＋×)×＝. [答案]　 跟蹤訓練 1．(2020年長沙師大附中月考)一個盒子里有6支好晶體管，4支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：記“第i(i＝1，2)支晶體管是好的”為事件Ai(其中i＝1，2)，依題意知，要求的概率為P(A2|A1)．由于

6、P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，所以P(A2|A1)＝＝＝. 答案：C 2．(2020年福州模擬)在三次獨立重復試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為x，由題意有1－C(1－x)3＝，得x＝，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C××(1－)2＝. 答案：C 類型四 離散型隨機變量及其分布列 1．期望：Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. 2．方差：Dξ＝(x1－Eξ)2p1＋(x2－Eξ)2p2＋…

7、＋(xn－Eξ)2pn. 3．標準差：δξ＝. 4．E(aξ＋b)＝aEξ＋b， D(aξ＋b)＝a2Dξ， Dξ＝Eξ2－(Eξ)2. 5．正態(tài)分布 (1)N(μ，σ2)的分布密度曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，該曲線與x軸之間的圖形的面積為1； (2)若X～N(μ，σ2)，則 P(μ－σ

8、骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲． (1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率； (2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率； (3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ. [解析]　依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為. 設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0，1，2，3，4)． 則P(Ai)＝C()i()4－i. (1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)＝C()2()2

9、＝. (2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C()3×＋C()4＝. 所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為. (3)ξ的所有可能取值為0，2，4. 由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故 P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝. 所以ξ的分布列是 0 2 4 隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ＝0×＋2×＋4×＝. 跟蹤訓練 1．(2020年廣

10、州模擬)設隨機變量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，則實數(shù)a的值為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，故a＝4，選A. 答案：A 2．(2020年高考安徽卷)某單位招聘面試，每次從試題庫中隨機調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是A類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道A類型試題和一道B類型試題入庫，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是B類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束．試題庫中現(xiàn)共有n＋m道試題，其中有n道A類型試題和m道B類型試題，以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中A類型

11、試題的數(shù)量． (1)求X＝n＋2的概率； (2)設m＝n，求X的分布列和均值(數(shù)學期望) 解析：以Ai表示第i次調(diào)題調(diào)用到A類型試題，i＝1，2. (1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝· ＝ (2)X的可能取值為n，n＋1，n＋2. P(X＝n)＝P(A1 　A2)＝·＝， P(X＝n＋1)＝P(A1A2)＋P(A1A2) ＝·＋·＝， P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝， 從而X的分布列是 EX＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1. 析典題（預測高考） 高考真題 【真題】　(2020年高考山東卷)現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概

12、率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學期望EX. 【解析】　(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D. 由題意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝， 由于A＝B＋C＋D， 根據(jù)事件的獨立性和互斥性得 P(A)＝P(B＋C＋D) ＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝P(B)P()

13、P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D) ＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)× ＝. (2)根據(jù)題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5. 根據(jù)事件的獨立性和互斥性得 P(X＝0)＝P() ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝(1－)×(1－)×(1－)＝. P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P() ＝×(1－)×(1－)＝ P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD) ＝××(1－)＋×(1－)×＝， P(X＝4)＝P(CD)＝(1－)××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 故X

14、的分布列為 0 1 2 3 4 5 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 【名師點睛】　本題主要考查互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求法，以及分布列和期望的計算．對于本題(1)中該射手恰好命中一次要理解到位，應分為三個互斥事件，去求概率，尤其是對“恰好”的理解要注意． 考情展望 本節(jié)內(nèi)容在高考中多以解答題形式考查，將概率與分布列、均值求法相融合，難度中檔 名師押題 【押題】　為加強大學生實踐、創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進高等教育教學改革，教育部門主辦了全國大學生智能汽車競賽．該競賽分為預賽和決賽兩個階段，參

15、加決賽的隊伍按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序．通過預賽，選拔出甲、乙等五支隊伍參加決賽． (1)求決賽中甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率； (2)若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的隊伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望． 【解析】　(1)設“甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位”為事件A，則P(A)＝＝＝. 所以甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率為. (2)由題意知隨機變量X的可能取值為0，1，2，3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 所以隨機變量X的分布列為： 0 1 2 3 從而有EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1， 所以隨機變量X的數(shù)學期望為1.