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1、第四講 思想方法與規(guī)范解答(五)
思想方法
1．轉(zhuǎn)化與化歸思想
利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求空間幾何體的體積主要包括割補法和等體積法，主要適用于以下類型：
(1)不規(guī)則幾何體的體積的求解；
(2)較復雜幾何體的體積的求解．
[例1] (2020年高考遼寧卷)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B．3π C. D．6π
[解析] 將三視圖還原為實物圖求體積．
由三視圖可知，此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點處截去了圓柱的，所以V＝×π×12×4＝3π.
[答案] B
跟蹤訓練
2、
(2020年高考遼寧卷)如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．
(1)證明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱錐A′-MNC的體積．
(錐體體積公式V＝Sh，其中S為底面面積，h為高)
解析：(1)證明：證法一 連接AB′，AC′，如圖，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，
所以M為AB′的中點．
又因為N為B′C′的中點，
所以MN∥AC′.
又MN平面A′ACC′，AC′平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
證法二 取A′B′的
3、中點P，連接MP，NP，AB′，如圖，
因為M，N分別為AB′與B′C′的中點，
所以MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN平面MPN，
所以MN∥平面A′ACC′.
(2)解法一 連接BN，如圖所示，
由題意知A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，
所以A′N⊥平面NBC.
又A′N＝B′C′＝1，
故VA′-MNC＝VN－A′MC＝VN-A′BC＝VA′-NBC＝.
解法二 VA′-MNC＝VA′-NBC－VM-NBC＝VA′-NBC
4、＝.
2．函數(shù)與方程思想
(1)在空間幾何體的表面積和體積計算中，常根據(jù)條件分析列出方程，利用方程確定未知量．
(2)在用空間向量的運算解決空間線線、線面、面面的平行、垂直問題或求空間角時運用的主要思想就是通過列方程(組)求出未知量，得到直線的方向向量和平面的法向量，然后進行計算．
(3)涉及空間幾何體中的最值問題常用到函數(shù)思想．
[例2] (2020年深圳模擬)如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝，E為CD的中點，將△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在線段DE上．
(1)求證：CO⊥平面ABED；
(2)問∠CEO(記為θ)
5、多大時，三棱錐C AOE的體積最大，最大值為多少．
[解析] (1)在直角梯形ABCD中，
CD＝2AB，E為CD的中點，則AB＝DE，
又AB∥DE，AD⊥AB，可知BE⊥CD.
在四棱錐C-ABEO中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE＝E，
CE，DE平面CDE，則BE⊥平面CDE.
因為CO平面CDE，所以BE⊥CO.
又CO⊥DE，且BE，DE是平面ABED內(nèi)的兩條相交直線．
故CO⊥平面ABED.
(2)由(1)知CO⊥平面ABED，
所以三棱錐C-AOE的體積V＝S△AOE×OC＝××OE×AD×OC.
在直角梯形ABCD中，CD＝2AB＝4，AD＝，
C
6、E＝2，得OE＝CEcos θ＝2cos θ，OC＝CEsin θ＝2sin θ，
V＝ sin 2θ≤，
當且僅當sin 2θ＝1，θ∈(0，)，即θ＝時取等號(此時OE＝
7、三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)時，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為負角．)
解析：由題意可知，當三棱柱的一個側(cè)面在水平面內(nèi)時，該三棱柱的俯視圖的面積最大，此時俯視圖為一個矩形，其寬為×tan 30°×2＝2，長為4，故S(x)的最大值為8.當三棱柱繞OO′旋轉(zhuǎn)時，當A點旋轉(zhuǎn)到B點，B點旋轉(zhuǎn)到C點，C點旋轉(zhuǎn)到A點時，所得三角形與原三角形重合，故S(x)的最小正周期為.
答案：8
考情展望
高考對本專題的考查，各種題型都有，在選擇、填空中多考查空間幾何體的三視圖與面積、體積問題，在解答題中考查空間平行與垂直的證明與空
8、間角的求法，也?？疾樘剿鞔嬖谛詥栴}、折疊問題等，難度中檔．
名師押題
【押題】 已知正方形ABCD的邊長為2，AC∩BD＝O.將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC＝a，得到三棱錐A BCD，如圖所示．
(1)當a＝2時，求證：AO⊥平面BCD；
(2)當二面角A BD C的大小為120°時，求二面角A BC D的正切值．
【解析】 (1)根據(jù)題意 ，在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝，
所以AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO.
因為AC、BD是正方形ABCD的對角線，
所以AO⊥BD.
因為BD∩CO＝O，CO平面BCD，BD平面BCD，
所以AO⊥平
9、面BCD.
(2)由(1)知，CO⊥OD，以O為原點，OC，OD所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
則O(0，0，0)，D(0，，0)，C(，0，0)，B(0，－，0)．
設A(x0，0，z0)(x0<0)，則＝(x0，0，z0)，＝(0，，0)．
又設平面ABD的法向量為n＝(x1，y1，z1)，
則，即.
所以y1＝0，令x1＝z0，則z1＝－x0.
所以n＝(z0，0，－x0)．
因為平面BCD的一個法向量為m＝(0，0，1)，且二面角A-BD-C的大小為120°，
所以|cos 〈m，n〉|＝|cos 120°|＝，得z＝3x.
設平面ABC的法向量為l＝(x2，y2，z2)，因為＝(－，，)，＝(，，0)，
則，即
令x2＝1，則y2＝－1，z2＝.
所以l＝(1，－1，)．
設二面角A-BC-D的平面角為θ，
所以cos θ＝|cos〈l，m〉|＝||＝.
所以tan θ＝.
2020年高三數(shù)學二輪復習 專題六第四講 思想方法與規(guī)范解答教案 理
