2020年高考數(shù)學 概率與統(tǒng)計試題

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1、2020年高考數(shù)學 概率與統(tǒng)計試題 1．(全國Ⅰ) 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為 1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為 250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤． （Ⅰ）求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率； （Ⅱ）求的分布列及期望． 解：（Ⅰ）由表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”． 知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款

2、” ，． （Ⅱ）的可能取值為元，元，元． ， ， ． 的分布列為 （元）． 2．(全國II) 在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布．若在 內取值的概率為0.4，則在內取值的概率為 ． 解：在某項測量中，測量結果x服從正態(tài)分布N（1，s2）（s>0），正態(tài)分布圖象 的對稱軸為x=1，x在（0，1）內取值的概率為0.4，可知，隨機變量ξ在 (1，2)內取值的概率于x在(0，1)內取值的概率相同，也為0.4，這樣隨機 變量ξ在(0，2)內取值的概率為0.8。 從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機

3、抽取1件，假設事件： “取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率． （1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率； （2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列． 解：（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”， 表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”． 則互斥，且，故 于是．解得（舍去）． （2）的可能取值為． 若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ．．． 所以的分布列為 0 1 2 1 2 3 10 20 30 40

4、50 參加人數(shù) 活動次數(shù) 3．（北京卷）某中學號召學生在今年春節(jié)期間至少 參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該校合 唱團共有100名學生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計 如圖所示． （I）求合唱團學生參加活動的人均次數(shù)； （II）從合唱團中任意選兩名學生，求他 們參加活動次數(shù)恰好相等的概率． （III）從合唱團中任選兩名學生，用表示 這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值， 求隨機變量的分布列及數(shù)學期望． 解：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數(shù)分別為10、50和40． （I）該合唱團學生參加活動的人均次數(shù)為． （II）從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數(shù)恰好

5、相等的 概率為． （III）從合唱團中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動” 為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件， “這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知 ； ； 的分布列： 0 1 2 的數(shù)學期望：． 4．（天津卷）已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個 紅球和4個黑球.現(xiàn)在從甲、乙兩個盒內各任取2個球. (I)求取出的4個球均為黑色球的概率； (II)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率； (III)設為取出的4個球中紅球的個數(shù)，

6、求的分布列和數(shù)學期望. 解：(I)設“從甲盒內取出的2個球均黑球”為事件A，“從乙盒內取出的2個球為黑球” 為事件B.由于事件A，B相互獨立，且. 故取出的4個球均為黑球的概率為. (II)解：設“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅紅，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件D.由于事件C，D互斥，且. 故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為. (III)解：可能的取值為.由(I)，(II)得 又 從而. 的分布列為 0 1 2 3 的數(shù)學期

7、望. 5．(上海卷) 在五個數(shù)字中，若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的 概率是 （結果用數(shù)值表示）． 解： = 6．（重慶卷）從5張100元，3張200元，2張300元的奧運預賽門票中任取3張， 則所取3張中至少有2張價格相同的概率為（ ） A． B． C． D． 解：可從對立面考慮，即三張價格均不相同， 選C 某單位有三輛汽車參加某種事故保險，單位年初向保險公司 繳納每輛900元的保險金.對在一年內發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位獲9000元 的賠償（假設每輛車最多只賠償一次

8、）。設這三輛車在一年內發(fā)生此種事故的概率 分別為且各車是否發(fā)生事故相互獨立,求一年內該單位在此保險中： （1）獲賠的概率；(4分) （2）獲賠金額的分別列與期望。(9分) 解：設表示第輛車在一年內發(fā)生此種事故，．由題意知，，獨立， 且，，． （Ⅰ）該單位一年內獲賠的概率為 ． （Ⅱ）的所有可能值為，，，． ， ， ， ． 綜上知，的分布列為 求的期望有兩種解法： 解法一：由的分布列得 （元）． 解法二：設表示第輛車一年內的獲賠金額，， 則有分布列 故． 同理得，． 綜上

9、有（元）． 7．（遼寧卷）一個壇子里有編號為1，2，…，12的12個大小相同的球，其中1到6號球 是紅球，其余的是黑球. 若從中任取兩個球，則取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼 是偶數(shù)的概率是（ ） A． B． C． D． 解： 從中任取兩個球共有種取法，其中取到的都是紅球，且至少有1個球 的號碼是偶數(shù)的取法有種取法，概率為，選D. 某企業(yè)準備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關系式為 該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格與產(chǎn)量的函數(shù)關系式如下表所示： 市場情形 概率 價格與產(chǎn)量的函

10、數(shù)關系式 好 0.4 中 0.4 差 0.2 設分別表示市場情形好、中、差時的利潤，隨機變量，表示當產(chǎn)量為 而市場前景無法確定的利潤． （I）分別求利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關系式； （II）當產(chǎn)量確定時，求期望； （III）試問產(chǎn)量取何值時，取得最大值． (Ⅰ)解:由題意可得 L1= (q＞0). 同理可得 (q＞0) (q＞0) ………………………………4分 (Ⅱ) 解:由期望定義可知 ………………………………8分 (Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知是產(chǎn)量q的函數(shù),設 得0解得(舍去). 由題意及問題的實際意義(或當0＜q＜1

11、0時,＞0;當q＞10時, 可知,當q=10時, f(q)取得最大值,即最大時的產(chǎn)量q為10. ……………12分 8．（江蘇卷）某氣象站天氣預報的準確率為，計算（結果保留到小數(shù)點后面第2位） （1）5次預報中恰有2次準確的概率；（4分） （2）5次預報中至少有2次準確的概率；（4分） （3）5次預報中恰有2次準確，且其中第次預報準確的概率；（4分） 解：（1）次預報中恰有次準確的概率為 ． （2）次預報中至少有次準確的概率為 ． （3）“次預報中恰有次準確，且其中第次預報準確”的概率為 ． 9．(廣東卷) 甲、乙兩個袋子中均裝有紅、白兩種顏色的小球，

12、這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個紅球、2個白球，乙袋裝有1個紅球、5個白球。現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機抽取一個球，則取出的兩球是紅球的概率為______(答案用分數(shù)表示) 解：P== 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸） 與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù) ｘ ３ ４ ５ ６ ｙ ２．５ ３ ４ ４．５ （１） 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； （２） 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出ｙ關于ｘ的線性回歸方程； （３） 已知該廠技術改造前１００噸甲產(chǎn)品能耗為９０噸標準煤.試根據(jù)（２）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)１

13、００噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低多少噸標準煤？ （參考數(shù)據(jù): 3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5） 【命題意圖】考查線性回歸的應用 【參考答案】(1)如下圖 (2)=32.5+43+54+64.5=66.5 ==4.5 ， ==3. 5 =+++=86 故線性回歸方程為y=0.7x+0.35 (3)根據(jù)回歸方程的預測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標準煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35 故耗能減少了90-70.35=19.65(噸) 10．(福建卷) 如圖，三行三列的方陣中有9個數(shù)，從中任取三個數(shù)， 則至少有兩個數(shù)位于

14、同行或同列的概率是（ ） A． B． C． D． 解： 從中任取三個數(shù)共有種取法，沒有同行、同列的取法有， 至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是，選D. 兩封信隨機投入三個空郵箱，則郵箱的信件數(shù)的 數(shù)學期望 ． 解：ξ的取值有0，1，2， 所以Eξ= 11．(安徽卷) 以表示標準正態(tài)總體在區(qū)間（）內取值的概率，若隨機變量 服從正態(tài)分布，則概率等于 （A）- （B） （C） （D） 解：==－=，選B。 在醫(yī)學生物學試驗中，經(jīng)常以果蠅作為試驗對象.一個關有6只果蠅的籠子里，不慎混入了

15、兩只蒼蠅（此時籠內共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開一個小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關閉小孔.以ξ表示籠內還剩下的果蠅的只數(shù). （Ⅰ）寫出ξ的分布列（不要求寫出計算過程）； （Ⅱ）求數(shù)學期望Eξ； （Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）. 解：（Ⅰ）的分布列為： 0 1 2 3 4 5 6 （Ⅱ）數(shù)學期望為． （Ⅲ）所求的概率為． 12．(湖南卷) 設隨機變量服從標準正態(tài)分布，已知， 則=（ ） A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 解：服從標準正態(tài)

16、分布， 選C 某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%.假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇 相互之間沒有影響． （I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率； （II）任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓的人數(shù)，求的分布列和期望． 解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件，“該人參加過計算機 培訓”為事件，由題設知，事件與相互獨立，且，． （I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過

17、培訓的概率是 所以該人參加過培訓的概率是． 解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項培訓的概率是 該人參加過兩項培訓的概率是． 所以該人參加過培訓的概率是． （II）因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓的人數(shù)服從二項分布，，，即的分布列是 0 1 2 3 0.001 0.027 0. 243 0.729 的期望是． （或的期望是） 13．（湖北卷）連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量 的夾角為，則的概率是（ ） A． B． C． D． 解： 由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當點位于直線上及其下

18、方時， 滿足，點的總個數(shù)為個，而位于直線上及其下方 的點有個，故所求概率，選C 某籃球運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次， 恰好投進3個球的概率為 ．（用數(shù)值作答） 解：由題意知所求概率 分組 頻數(shù) 合計 在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表： （I）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系 中畫出頻率分布直方圖； （II）估計纖度落在中的概率及纖度 小于的概率是多少？ （III）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中

19、點值 （例如區(qū)間的中點值是）作為代 表．據(jù)此，估計纖度的期望． 解：（Ⅰ） 分組 頻數(shù) 頻率 4 0.04 25 0.25 30 0.30 29 0.29 10 0.10 2 0.02 合計 100 1.00 樣本數(shù)據(jù) 頻率/組距 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 （Ⅱ）纖度落在中的概率約為， 纖度小于1.40的概率約為． （Ⅲ）總體數(shù)據(jù)的期望約為 ． 14．（江西卷）將一骰子連續(xù)拋擲三次，它

20、落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解： 一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個，其中為等差數(shù)列有三類： （1）公差為0的有6個；（2）公差為1或-1的有8個；（3）公差為2或-2的 有4個，共有18個，成等差數(shù)列的概率為，選B 某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，． （1）求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合

21、格的概率； （2）經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數(shù)為，求隨機變量的期望． 解：分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件，，， （1）設表示第一次燒制后恰好有一件合格，則 ． （2）解法一：因為每件工藝品經(jīng)過兩次燒制后合格的概率均為， 所以，故． 解法二：分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件，則 ， 所以， ， ， ．于是，． 15．（山東卷）某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與19秒之間，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒．

22、右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．設成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總人數(shù)的百分比為，成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為，則從頻率分布直方圖中可分析出和分別為（ ） 0 13 14 15 16 17 18 19 秒 頻率/組距 0.36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45 0.36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 O 13 14 15 16 17 18 19 解：從頻率分布直方圖上可

23、以 看出，. 選A. 位于坐標原點的一個質點按下列規(guī)則移動：質點每次移動一個單位；移動的 方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是. 質點移動五次后位 于點的概率是（ ） A． B． C． D． 解：質點在移動過程中向右移動2次向上移動3次，因此質點P 移動5次后 位于點的概率為。選B. 設和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程 實根的個數(shù)（重根按一個計）． （Ⅰ）求方程有實根的概率； （Ⅱ）求的分布列和數(shù)學期望； （Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程有實根的概率． 解：（I）基本事件總數(shù)為， 若使方程有實根，則

24、，即。 當時，；當時，；當時，； 當時，；當時，；當時，, 目標事件個數(shù)為 因此方程 有實根的概率為 (II)由題意知，，則 ，， 故的分布列為 0 1 2 P 的數(shù)學期望 (III)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，“方程 有實根” 為事件N，則，，. 16．(陜西卷) 某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考試，否則即被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響. （Ⅰ）求該選手被淘汰的概率； （Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ

25、的分布列與數(shù)學期望. （注：本小題結果可用分數(shù)表示） 解法一：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為， 則，，， 該選手被淘汰的概率 ． （Ⅱ）的可能值為，， ， ． 的分布列為 1 2 3 ． 解法二：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為， 則，，． 該選手被淘汰的概率． （Ⅱ）同解法一． 17．（四川卷）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時， 商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品. （Ⅰ）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8，從中任意取出4件進行

26、檢驗. 求至少有1件是合格品的概率; （Ⅱ）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格.按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收.求該商家可能檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率. 解：（Ⅰ）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格品”為事件A 用對立事件A來算，有 （Ⅱ）可能的取值為 ，， 記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率 ；所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為。 18．（浙江卷）已

27、知隨機變量服從正態(tài)分布，，則 A． B． C． D， 解：由又 故選A. 隨機變量的分布列如下： 其中成等差數(shù)列，若則的值是 ． 解：成等差數(shù)列，有 聯(lián)立三式得 19．（寧夏、海南卷）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次， 三人的測試成績如下表 甲的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 5 5 5 5 乙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 丙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 分別表

28、示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解： 選B 如圖，面積為的正方形中有一個不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為. 假設正方形的邊長為2，的面積為1，并向正方形中隨機投擲個點，以表示落入中的點的數(shù)目． （I）求的均值； （II）求用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間內的概率． 附表： 解： 每個點落入中的概率均為． 依題意知． （Ⅰ）． （Ⅱ）依題意所求概率為， ．