2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2-4課時(shí)作業(yè)

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1、課時(shí)作業(yè)(七) 一、選擇題 1．函數(shù)y＝x2－1(x≤0)的反函數(shù)是(　　) A．y＝(x≥－1)　　　　 B．y＝－(x≥－1) C．y＝(x≥0) D．y＝－(x≥0) 答案　B 解析　∵x≤0，∴x＝－，且y≥－1，∴f－1(x)＝－(x≥－1)，故選B. 2．(08·北京卷)“函數(shù)f(x)(x∈R)存在反函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　存在反函數(shù)的條件是一一對(duì)應(yīng)，f(x)是R上的增函數(shù)，則必是一一對(duì)應(yīng)，而一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)未必是增函數(shù)，如f

2、(x)＝.故選B. 3．(2020·全國(guó)卷Ⅱ，文)函數(shù)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的反函數(shù)是(　　) A．y＝ex＋1－1(x＞0) B．y＝ex－1＋1(x＞0) C．y＝ex＋1－1(x∈R) D．y＝ex－1＋1(x∈R) 答案　D 解析　由y＝1＋ln (x－1)(x＞1)，得ey－1＝x－1，即x＝ey－1＋1，故所求反函數(shù)為y＝ex－1＋1(x∈R)． 4．點(diǎn)(p，q)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，則下列各點(diǎn)中必在其反函數(shù)圖象上的是(　　) A．(p，f－1(p))　　　　 B．(f－1(q)，q) C．(f－1(p)，p) D．(q，f－1(q))

3、 答案　D 5．(09·上海春季高考)函數(shù)y＝1＋(－1≤x≤0)的反函數(shù)的圖象是(　　) 答案　C 解析　由－1≤x≤0得y＝1＋∈[1,2]，因此函數(shù)y＝1＋(－1≤x≤0)的反函數(shù)的定義域是[1,2]，值域是[－1,0]，結(jié)合所給選項(xiàng)可知選C.(注：也可先求出該函數(shù)的反函數(shù)，然后結(jié)合選項(xiàng)確定答案．) 6．(2020·江西卷，文)若函數(shù)y＝的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則a為(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．任意實(shí)數(shù) 答案　B 解析　若函數(shù)y＝f(x)＝的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f(x)＝f－1(x)，易求得f－1(x)＝，故a＝－1. 7．函數(shù)y＝的反

4、函數(shù)(　　) A．是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù) B．是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù) C．是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù) D．是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù) 答案　C 解析　函數(shù)與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性和奇偶性，因此只須考查函數(shù)y＝的奇偶性與單調(diào)性，易知此函數(shù)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴應(yīng)選C. 8．已知方程f(x)＝3－x僅有一解x1，方程f－1(x)＝3－x僅有一解x2，則x1＋x2的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　f(x)與y＝3－x的交點(diǎn)為(x1,3－x1)．則f－1(x)與y＝3－x的交點(diǎn)

5、為(3－x1，x1)． 而由條件知f－1(x)與y＝3－x交點(diǎn)為(x2,3－x2)，因此x2＝3－x1，故x1＋x2＝3. 二、填空題 9．(09·全國(guó)卷Ⅰ改編)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)＝1＋2lgx(x>0)，求f(1)＋g(1)＝________. 答案　2 解析　令1＋2lgx＝1，得x＝1，∴f(1)＝1. 又g(1)＝1＋2lg1＝1，∴f(1)＋g(1)＝2. 10．設(shè)函數(shù)y＝4＋log2(x－1)(x≥3)，則其反函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______． 答案　[5，＋∞) 解析　∵x≥3，∴x－1≥2， ∴l(xiāng)og2(x－1)≥1，∴y＝4＋log2(x－1

6、)≥5. 11．(08·上海)若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f－1(x)＝x2(x>0)，則f(4)＝________. 答案　2 解析　設(shè)x2＝4，由x>0得x＝2，由f(x)與f－1(x)的關(guān)系知f(4)＝2. 三、解答題 12．給定實(shí)數(shù)a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝(x∈R且x≠)，求證： (1)這個(gè)函數(shù)的圖象自身關(guān)于直線y＝x對(duì)稱； (2)經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線都不平行于x軸． 思路點(diǎn)撥　(1)只要證明函數(shù)f(x)＝f－1(x)即可；對(duì)于(2)設(shè)x1≠x2，只要證明y1≠y2就說(shuō)明經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)的直線都不平行于x軸． 解析　(1)由y＝，得(ax－1)y＝x－1，

7、 解得x＝，y≠. 所以函數(shù)y＝(x≠)的反函數(shù)為y＝(x≠)． 故函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． (2)設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)，則x1≠x2，于是y1－y2＝－ . 因?yàn)閤1≠x2，a≠1，(ax1－1)(ax2－1)≠0， 所以y1≠y2. 因此經(jīng)過(guò)圖象上任意兩點(diǎn)所在直線不平行于x軸． 13．(2020·上海春季高考)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－2x)(a>0，且a≠1)． (1)若函數(shù)f(x)＝反函數(shù)是其本身，求a的值； (2)當(dāng)a>1時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(－x)的最大值． 解析　(1)函數(shù)f(x)的反函數(shù)f－1(x)＝log2(8－ax)， 由題意可得loga(8－2x)＝log2(8－ax)，∴a＝2. (2)由題意可知8－2x>0，解得x<3 則y＝f(x)＋f(－x)的定義域?yàn)?－3,3)． f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x)＝loga[65－8(2x＋2－x)] ∵2x＋2－x≥2，當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立． ∴0<65－8(2x＋2－x)≤49. 當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)＋f(－x)在x＝0處取得最大值loga49.