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1、課時作業(yè)(七)
一、選擇題
1．函數(shù)y＝x2－1(x≤0)的反函數(shù)是( )
A．y＝(x≥－1) B．y＝－(x≥－1)
C．y＝(x≥0) D．y＝－(x≥0)
答案 B
解析 ∵x≤0，∴x＝－，且y≥－1，∴f－1(x)＝－(x≥－1)，故選B.
2．(08·北京卷)“函數(shù)f(x)(x∈R)存在反函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)”的( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 存在反函數(shù)的條件是一一對應(yīng)，f(x)是R上的增函數(shù)，則必是一一對應(yīng)，而一一對應(yīng)的函數(shù)未必是增函數(shù)，如f
2、(x)＝.故選B.
3．(2020·全國卷Ⅱ，文)函數(shù)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的反函數(shù)是( )
A．y＝ex＋1－1(x＞0) B．y＝ex－1＋1(x＞0)
C．y＝ex＋1－1(x∈R) D．y＝ex－1＋1(x∈R)
答案 D
解析 由y＝1＋ln (x－1)(x＞1)，得ey－1＝x－1，即x＝ey－1＋1，故所求反函數(shù)為y＝ex－1＋1(x∈R)．
4．點(p，q)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，則下列各點中必在其反函數(shù)圖象上的是( )
A．(p，f－1(p)) B．(f－1(q)，q)
C．(f－1(p)，p) D．(q，f－1(q))
3、
答案 D
5．(09·上海春季高考)函數(shù)y＝1＋(－1≤x≤0)的反函數(shù)的圖象是( )
答案 C
解析 由－1≤x≤0得y＝1＋∈[1,2]，因此函數(shù)y＝1＋(－1≤x≤0)的反函數(shù)的定義域是[1,2]，值域是[－1,0]，結(jié)合所給選項可知選C.(注：也可先求出該函數(shù)的反函數(shù)，然后結(jié)合選項確定答案．)
6．(2020·江西卷，文)若函數(shù)y＝的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則a為( )
A．1 B．－1
C．±1 D．任意實數(shù)
答案 B
解析 若函數(shù)y＝f(x)＝的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則f(x)＝f－1(x)，易求得f－1(x)＝，故a＝－1.
7．函數(shù)y＝的反
4、函數(shù)( )
A．是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù)
B．是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù)
C．是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù)
D．是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù)
答案 C
解析 函數(shù)與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性和奇偶性，因此只須考查函數(shù)y＝的奇偶性與單調(diào)性，易知此函數(shù)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴應(yīng)選C.
8．已知方程f(x)＝3－x僅有一解x1，方程f－1(x)＝3－x僅有一解x2，則x1＋x2的值為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 f(x)與y＝3－x的交點為(x1,3－x1)．則f－1(x)與y＝3－x的交點
5、為(3－x1，x1)．
而由條件知f－1(x)與y＝3－x交點為(x2,3－x2)，因此x2＝3－x1，故x1＋x2＝3.
二、填空題
9．(09·全國卷Ⅰ改編)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)＝1＋2lgx(x>0)，求f(1)＋g(1)＝________.
答案 2
解析 令1＋2lgx＝1，得x＝1，∴f(1)＝1.
又g(1)＝1＋2lg1＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.
10．設(shè)函數(shù)y＝4＋log2(x－1)(x≥3)，則其反函數(shù)的定義域為________．
答案 [5，＋∞)
解析 ∵x≥3，∴x－1≥2，
∴l(xiāng)og2(x－1)≥1，∴y＝4＋log2(x－1
6、)≥5.
11．(08·上海)若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f－1(x)＝x2(x>0)，則f(4)＝________.
答案 2
解析 設(shè)x2＝4，由x>0得x＝2，由f(x)與f－1(x)的關(guān)系知f(4)＝2.
三、解答題
12．給定實數(shù)a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝(x∈R且x≠)，求證：
(1)這個函數(shù)的圖象自身關(guān)于直線y＝x對稱；
(2)經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線都不平行于x軸．
思路點撥 (1)只要證明函數(shù)f(x)＝f－1(x)即可；對于(2)設(shè)x1≠x2，只要證明y1≠y2就說明經(jīng)過任意兩點的直線都不平行于x軸．
解析 (1)由y＝，得(ax－1)y＝x－1，
7、
解得x＝，y≠.
所以函數(shù)y＝(x≠)的反函數(shù)為y＝(x≠)．
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．
(2)設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是函數(shù)圖象上任意兩個不同點，則x1≠x2，于是y1－y2＝－
.
因為x1≠x2，a≠1，(ax1－1)(ax2－1)≠0，
所以y1≠y2.
因此經(jīng)過圖象上任意兩點所在直線不平行于x軸．
13．(2020·上海春季高考)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－2x)(a>0，且a≠1)．
(1)若函數(shù)f(x)＝反函數(shù)是其本身，求a的值；
(2)當a>1時，求函數(shù)y＝f(x)＋f(－x)的最大值．
解析 (1)函數(shù)f(x)的反函數(shù)f－1(x)＝log2(8－ax)，
由題意可得loga(8－2x)＝log2(8－ax)，∴a＝2.
(2)由題意可知8－2x>0，解得x<3
則y＝f(x)＋f(－x)的定義域為(－3,3)．
f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x)＝loga[65－8(2x＋2－x)]
∵2x＋2－x≥2，當x＝0時，等號成立．
∴0<65－8(2x＋2－x)≤49.
當a>1時，函數(shù)y＝f(x)＋f(－x)在x＝0處取得最大值loga49.
2020年高考數(shù)學一輪復(fù)習 2-4課時作業(yè)
