2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章《數(shù)列》自測(cè)題



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1、第三章 數(shù)列 時(shí)間:120分鐘 分值:150分 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1.?dāng)?shù)列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,…,其相鄰的兩個(gè)1被2隔開(kāi),第n對(duì)1之間有n個(gè)2,則該數(shù)列的前1234項(xiàng)的和為( ) A.2450 B.2419 C.4919 D.1234 解析:將數(shù)列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,…進(jìn)行分組: 第1組:1,2, 第2組:1,2,2, 第3組:1,2,2,2, …
2、 第n組: ∴前n組一共有=項(xiàng). 當(dāng)n=48時(shí),有=1224項(xiàng);當(dāng)n=49時(shí),有=1274項(xiàng), 即前1234項(xiàng)可以排滿前48組,在第49組只能排前10項(xiàng). 故前1234項(xiàng)中含49個(gè)1,其余的均為2, 故該數(shù)列前1234項(xiàng)的和為49×1+(1234-49)×2=2419,故選B. 答案:B 2.?dāng)?shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,則an=( ) A. B. C. D. 解析:令n=1,得a1=,排除A、D;再令n=2,得a2=,排除C,故選B. 答案:B 3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n≥1,n∈N*
3、),第k項(xiàng)滿足750 4、別相等,則a21=a1=1.S21=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)+a21=10(a1+a2)+a21=10×+1=6,選B.
答案:B
5.?dāng)?shù)列{an}中,a1=1,a2=2,當(dāng)n∈N*時(shí),an+2等于anan+1的個(gè)位數(shù),若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為243,則k=( )
A.61 B.62
C.63 D.64
解析:依題意得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,…,數(shù)列{an}除第一項(xiàng)外,其余的項(xiàng)形成以6為周期的數(shù)列,且從a2到a7這六項(xiàng)的和等于24 5、,注意到243=1+24×10+2,因此k=1+6×10+1=62,選B.
答案:B
6.把正整數(shù)排列成三角形數(shù)陣(如圖甲),然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù),得到新的三角形數(shù)陣(如圖乙),再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列,得到一個(gè)數(shù)列{an},則a2020=( )
A.3955 B.3957
C.3959 D.3961
解析:注意到圖乙中,第n行有n個(gè)數(shù),且第n行的最后一個(gè)數(shù)是n2,又<2020<,因此a2020位于圖乙中第63行中的第57個(gè)數(shù),第63行的最后一個(gè)數(shù)是632=3969,且第63行的數(shù)自左向右依次形成公差為2的等差數(shù)列,于是a2020+( 6、63-57)×2=3969,a2020=3957.
答案:B
7.若{an}是公差為1的等差數(shù)列,則{a2n-1+2a2n}是( )
A.公差為3的等差數(shù)列
B.公差為4的等差數(shù)列
C.公差為6的等差數(shù)列
D.公差為9的等差數(shù)列
解析:設(shè){an}的公差為d,則d=1,設(shè)cn=a2n-1+2a2n,則cn+1=a2n+1+2a2n+2,cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,選擇C.
答案:C
8.在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2+a3+a4=,a2a3=-,則+++=( )
A. B.
C.- D.-
解析:依題意,設(shè)公比 7、為q,則q≠1,因此,
又,,,構(gòu)成以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,所以+++==,①÷②得=-,即+++=-,選擇C.
答案:C
9.設(shè){an}是等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意正整數(shù)n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,則S101=( )
A.200 B.2
C.-2 D.0
解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù),有an+2an+1+an+2=0,an+2anq+anq2=0,因?yàn)閍n≠0,所以1+2q+q2=0,q=-1,S101==2,選擇B.
答案:B
10.已知an=sin+(n∈N*),則數(shù)列{an}的最小值為( ) 8、
A.6 B.7
C.8 D.
解析:令t=2+sin(1≤t≤3),則an=f(t)=t+-2,f′(t)=1-<0,∴f(t)在其定義域上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)t=3,即sin=1時(shí),an取得最小值,故選D.
答案:D
11.?dāng)?shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2),則a2020=( )
A. B.
C. D.
解析:由an=2-(n≥2)得,an-1=1-=,即==1+,∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為=-,公差為1的等差數(shù)列.
故=-+n-1=n-,∴an=,
∴a2020=.故選D.
答案:D
12.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=,an+1=an2-an+1(n∈ 9、N*),則m=+++…+的整數(shù)部分是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:依題意得a1=,a2=,a3=>2,an+1-an=(an-1)2>0,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴a2020>a3>2,∴a2020-1>1,∴1<2-<2.由an+1=an2-an+1得=-,故++…+=++…+=-=2-∈(1,2),因此選C.
答案:C
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上.)
13.已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)都是非負(fù)實(shí)數(shù),且對(duì)任意m,n∈N*有am+n-am-an=0或am+n-am-an=1.又 10、知a2=0,a3>0,a99=33.則a3=________,a10=________.
解析:a2=a1+a1或a2=a1+a1+1,由a2=0,得a1=0,或a1=-(不符合題意,舍去),a3=a1+a2或a3=a1+a2+1,由a1=a2=0,a3>0,得a3=1(a3=0舍去);由條件am+n=am+an或am+n=am+an+1,可知an∈N,a100=a99+a1或a100=a99+a1+1,∵a99=33,∴a100=33或34.
又∵am+n≥am+an,∴a100≥10a10,∴a10≤3.3或a10≤3.4;而a9≥3a3=3,a10≥a9≥3,所以a10=3.
答案 11、:1 3
14.考慮以下數(shù)列{an},n∈N*:
①an=n2+n+1;②an=2n+1;③an=ln.
其中滿足性質(zhì)“對(duì)任意的正整數(shù)n,≤an+1都成立”的數(shù)列有________(寫(xiě)出所有滿足條件的序號(hào));若數(shù)列{an}滿足上述性質(zhì),且a1=1,a20=58,則a10的最小值為_(kāi)_______.
解析:對(duì)于①,a1=3,a2=7,a3=13,>a2,因此{(lán)an}不滿足“對(duì)任意的正整數(shù)n,≤an+1都成立”.對(duì)于②,易知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,故有=an+1,因此{(lán)an}滿足“對(duì)任意的正整數(shù)n,≤an+1都成立”.對(duì)于③,an+2+an=ln,2an+1=ln2,-2==<0,即有
12、n+1,因此{(lán)an}滿足“對(duì)任意的正整數(shù)n,≤an+1都成立”.綜上所述,滿足性質(zhì)“對(duì)任意的正整數(shù)n,≤an+1都成立”的數(shù)列為②③.對(duì)于滿足上述性質(zhì)的數(shù)列{an},令dn=an+1-an.由≤an+1得an+1-an≥an+2-an+1,即dn≥dn+1.又a10=a1+d1+d2+…+d9≥a1+9d9,a10=a20-(d19+d18+…+d10)≥a20-10d10,即≥d9,≥-d10,所以+≥d9-d10≥0,即+≥0,由此解得a10≥28,即a10的最小值為28.
答案:②③ 28
15.設(shè){an}是等比數(shù)列,公比q=,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.記Tn=,n∈N*.設(shè)Tn0為 13、數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng),則n0=________.
解析:根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式Sn=,故Tn===(qn+-17),令qn=()n=t,則函數(shù)g(t)=t+,當(dāng)t=4時(shí)函數(shù)g(t)取得最小值,此時(shí)n=4,而=<0,故此時(shí)Tn最大,所以n0=4.
答案:4
16.若數(shù)列{an}滿足-=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列{}為“調(diào)和數(shù)列”,且x1+x2+…+x20=200,則x3x18的最大值是________.
解析:因?yàn)閿?shù)列{}為“調(diào)和數(shù)列”,所以xn+1-xn=d(n∈N*,d為常數(shù)),即數(shù)列{xn}為等差數(shù)列,由x1+x2+…+x20=200得==2 14、00,即x3+x18=20,易知x3、x18都為正數(shù)時(shí),x3x18取得最大值,所以x3x18≤2=100,即x3x18的最大值為100.
答案:100
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=nan+an-c(c是常數(shù),n∈N*),a2=6.
(1)求c的值及{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:++…+<.
解析:(1)因?yàn)镾n=nan+an-c,
所以當(dāng)n=1時(shí),S1=a1+a1-c,解得a1=2c,
當(dāng)n=2時(shí),S2=a2+a2-c,即a1+a2=2a2-c,解得a2 15、=3c,
所以3c=6,解得c=2;
則a1=4,數(shù)列{an}的公差d=a2-a1=2,
所以an=a1+(n-1)d=2n+2.
(2)證明:因?yàn)椋?
=++…+
=++…+
=
==-.
因?yàn)閚∈N*,所以++…+<.
18.(本小題滿分12分)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)設(shè)bn=,證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)證明:由已知an+1=2an+2n得
bn+1===+1=bn+1.
又b1=a1=1,
因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.
(2)由(1)知 =n,即 16、an=n·2n-1.
Sn=1+2×21+3×22+…+n×2n-1,
兩邊乘以2得,2Sn=2+2×22+…+n×2n.
兩式相減得
Sn=-1-21-22-…-2n-1+n·2n
=-(2n-1)+n·2n
=(n-1)2n+1.
19.(本小題滿分12分)已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2、a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)(理)若bn=log2an+1,Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求使Sn>42+4n成立的n的最小值.
(文)若bn=log2an+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解析:(1)設(shè)等比數(shù) 17、列{an}的公比為q,依題意有
2(a3+2)=a2+a4,①
又a2+a3+a4=28,將①代入得a3=8.所以a2+a4=20.
于是有
解得或
又{an}是遞增的,故a1=2,q=2.
所以an=2n.
(2)(理)bn=log22n+1=n+1,Sn=.故由題意可得>42+4n,解得n>12或n<-7.又n∈N*
所以滿足條件的n的最小值為13.
(文)bn=log22n+1=n+1.
故Sn=.
20.(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N*,公比q>1,且a2=3,S3=13.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn 18、}滿足+++…+=n(n+2),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解析:(1)由已知,有?q=3.
∴a1=1,an=a1qn-1=3n-1.
(2)∵+++…+=n(n+2)(n∈N*),
當(dāng)n=1時(shí),=3,∴b1=3.
當(dāng)n≥2時(shí),∵+++…+=(n-1)(n+1),
∴=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1,
即bn=(2n+1)·3n-1.
經(jīng)檢驗(yàn),得bn=(2n+1)·3n-1(n∈N*).
∵Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)×3n-1,
3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n.
兩式相減,得-2Tn 19、=3+2(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n=3n-(2n+1)×3n,∴Tn=n·3n.
21.(本小題滿分12分)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+.
(1)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解析:(1)由已知得b1=a1=1,且=+,
即bn+1=bn+,從而b2=b1+,
b3=b2+,…
bn=bn-1+(n≥2),
于是bn=b1+++…+=2-(n≥2).
又b1=1,故所求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2-.
(2)由(1)知an=n=2n-.
令Tn=,則2Tn=,
于是Tn=2Tn-Tn 20、=-=4-.
又(2k)=n(n+1),
所以Sn=n(n+1)+-4.
22.(本小題滿分12分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知2a2=a1+a3,數(shù)列{}是公差為d的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(用n,d表示);
(2)設(shè)c為實(shí)數(shù),對(duì)滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求證:c的最大值為.
解析:(1)由題設(shè)知,=+(n-1)d=+(n-1)d,則當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(-)(+)=2d-3d2+2d2n.
由2a2=a1+a3,得2(2d+d2)=a1+2d+3d2,解得=d.
故當(dāng) 21、n≥2時(shí),an=2nd2-d2.
又a1=d2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(2n-1)d2.
(2)證明:由=d及=+(n-1)d,得d>0,Sn=d2n2.
于是,對(duì)滿足題設(shè)的m,n,k,m≠n,有Sm+Sn=(m2+n2)d2>d2=d2k2=Sk.
所以c的最大值cmax≥.
另一方面,任取實(shí)數(shù)a>.設(shè)k為偶數(shù),令m=k+1,n=k-1,則m,n,k符合條件,且
Sm+Sn=d2(m2+n2)
=d2=d2(9k2+4).
于是,只要9k2+4<2ak2,即當(dāng)k>時(shí),就有
Sm+Sn
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