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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——任意角的三角函數(shù)（1）
例1 下列說法中，正確的是
[ ]
A．第一象限的角是銳角
B．銳角是第一象限的角
C．小于90°的角是銳角
D．0°到90°的角是第一象限的角
【分析】本題涉及了幾個基本概念，即“第一象限的角”、“銳角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推廣以后，這些概念容易混淆．因此，弄清楚這些概念及它們之間的區(qū)別，是正確解答本題的關(guān)鍵．
【解】第一象限的角可表示為｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，銳角可表示為｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角為｛θ|θ＜90°｝，0
2、°到90°的角為｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，銳角的集合是第一象限角的集合當(dāng)k=0時的子集，故(A)，(C)，(D)均不正確，應(yīng)選(B)．
(90°－α)分別是第幾象限角？
【分析】 由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α為第二象限的角，然后由角α的
【解】(1)由題設(shè)可知α是第二象限的角，即
90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，
的角．
(2)因為 180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角．
3、
(3)解法一：因為 90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，
所以 －180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．
故 －90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．
因此90°－α是第四象限的角．
解法二：因為角α的終邊在第二象限，所以－α的終邊在第三象限．
將－α的終邊按逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可知90°－α的終邊在第四象限內(nèi)．
【說明】①在確定形如α＋k·180°角的象限時，一般要分k為偶數(shù)或奇數(shù)討論；②確定象限時，α＋kπ與α－kπ是等效的．
例3 已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F(xiàn)=｛θ|t
4、anθ＜sinθ｝，那么E∩F是區(qū)間
[ ]
【分析】 解答本題必須熟練掌握各個象限三角函數(shù)的符號、各個象限的三角函數(shù)值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況．可由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷，也可由三角函數(shù)線判斷．用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答本題也比較容易．
【解法一】 由正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，
【解法二】由單位圓中的正弦線和正切線容易看出，對于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦線和余弦線可看出，當(dāng)
應(yīng)選(A)．
可排除(C)，(D)，得(A)．
【說明】本題解法很多，用三角函數(shù)線還可以有以下解法：因為第一、三象限均有AT＞MP，
5、即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些別的方法，可自己練習(xí)．
例 4 (1)已知角α終邊上一點P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；
【分析】利用三角函數(shù)的定義進行三角式的求值、化簡和證明，是
三兩個象限，因此必須分兩種情況討論．
【解】(1)因為x＝3k，y=－4k，
例5 一個扇形的周長為l，求扇形的半徑、圓心角各取何值時，此扇形的面積最大．
【分析】解答本題，需靈活運用弧度制下的求弧長和求面積公式．本題是求扇形面積的最大值，因此應(yīng)想法寫出面積S以半徑r為自變量的函數(shù)表達式，再用
6、配方法求出半徑r和已知周長l的關(guān)系．
【解】設(shè)扇形面積為S，半徑為r，圓心角為α，則扇形弧長為l－2r．所以
【說明】在學(xué)習(xí)弧度制以后，用弧度制表示的求弧長與扇形面積公
形的問題中，中心角用弧度表示較方便．本例實際上推導(dǎo)出一個重要公式，即當(dāng)扇形周長為定值時，怎樣選取中心角可使面積得到最大值．本題也可將面積表示為α的函數(shù)式，用判別式來解．
【分析】第(1)小題因α在第二象限，因此只有一組解；第(2)小題給了正弦函數(shù)值，但沒有確定角α的象限，因此有兩組解；第(3)小題角α可能在四個象限或是軸線角，因此需分兩種情況討論．
【解】
(3)因為sinα=m
7、(|m|＜1)，所以α可能在四個象限或α的終邊在x軸上．
例7(1)已知 tanα=m，求sinα的值；
【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα，一般可將tanα
母都是sinα和cosα的同次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求值，轉(zhuǎn)化的方法是將分子、分母同除以cosα(或cos2α，這里cosα≠0)，即可根據(jù)已知條件求值．
【說明】 由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些書上利用公
很容易推出，所以不用專門推導(dǎo)和記憶這些公式，這類問題由現(xiàn)有的關(guān)系式和方法均可解決．
函數(shù)的定義來證明．
8、
由左邊=右邊，所以原式成立．
【證法三】(根據(jù)三角函數(shù)定義)
設(shè)P(x，y)是角α終邊上的任意一點，則
左邊=左邊，故等式成立．
例9 化簡或求值：
【分析】 解本題的關(guān)鍵是熟練地應(yīng)用正、余弦的誘導(dǎo)公式和記住特殊角的三角函數(shù)值．
=－sinα－cosα(因為α為第三象限角)．
例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表達式；
【分析】在(1)中理解函數(shù)符號的含義，并將f(sin x)化成f(cos(90°－x))是充分利用已知條件和誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵．在(2)中必須正確掌握分段函數(shù)求值的方法．
【解】(1)f(sin x)＝f(cos(90°－x))＝cos9(90°－x)
=cos(2×360°＋90°－9x)＝cos(90°－9x)
=sin9x；
＝1．
2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 任意角的三角函數(shù)（1） 理
