2020年高考數(shù)學(xué)考前回扣教材5 不等式與線性規(guī)劃

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1、回扣5 不等式與線性規(guī)劃 1.一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟:一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù));二判(判斷Δ的符號);三解(解對應(yīng)的一元二次方程);四寫(大于取兩邊,小于取中間). 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論,往往從以下幾個方面來考慮:①二次項系數(shù),它決定二次函數(shù)的開口方向;②判別式Δ,它決定根的情形,一般分Δ>0、Δ=0、Δ<0三種情況;③在有根的條件下,要比較兩根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件是 3.分式不等式 >0(<0)?f(x)

2、g(x)>0(<0); ≥0(≤0)? 4.基本不等式 (1)①a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號. ②≥(a,b∈(0,+∞)),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號. (2)幾個重要的不等式:①ab≤2(a,b∈R); ② ≥≥≥(a>0,b>0,當(dāng)a=b時等號成立). ③a+≥2(a>0,當(dāng)a=1時等號成立); ④2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,當(dāng)a=b時等號成立). 5.可行域的確定 “線定界,點定域”,即先畫出與不等式對應(yīng)的方程所表示的直線,然后代入特殊點的坐標,根據(jù)其符號確定不等式所表示的平面區(qū)域. 6.線性規(guī)劃 (1)線性目標函數(shù)的最大值

3、、最小值一般在可行域的頂點處取得; (2)線性目標函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得,這時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個. 1.不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù),不討論這個數(shù)的正負,從而出錯. 2.解形如一元二次不等式ax2+bx+c>0時,易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解,要注意分a>0,a<0進行討論. 3.應(yīng)注意求解分式不等式時正確進行同解變形,不能把≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0,而忽視g(x)≠0. 4.容易忽視使用基本不等式求最值的條件,即“一正、 二定、三相等”導(dǎo)致錯解,如求函數(shù)f(x)=+的最值,就不能利用基本不等式求解最值;求解函數(shù)y=x+(x<0)時

4、應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解. 5.解線性規(guī)劃問題,要注意邊界的虛實;注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負;注意最優(yōu)整數(shù)解. 6.求解線性規(guī)劃問題時,不能準確把握目標函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯解,如是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x,y)與點(-2,2)連線的斜率,而(x-1)2+(y-1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x,y)到點(1,1)的距離的平方等. 1.下列命題中正確的個數(shù)是(  ) ①a>b,c>d?a+c>b+d;②a>b,c>d?>;③a2>b2?|a|>|b|;④a>b?<. A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C 解析?、賏>b,c>d?a+c>b+d正確,不等式的同向可加性;②a>b,c

5、>d?>錯誤,反例:若a=3,b=2,c=1,d=-1,則>不成立;③a2>b2?|a|>|b|正確;④a>b?<錯誤,反例:若a=2,b=-2,則<不成立.故選C. 2.設(shè)M=2a(a-2)+4,N=(a-1)(a-3),則M,N的大小關(guān)系為(  ) A.M>N B.M0.故選A. 3.若不等式2kx2+kx-≥0的解集為空集,則實數(shù)k的取值范圍是(  ) A.(-3,0) B.(-∞,-3) C.(-3,0] D.(-∞,-3)∪(0,+∞) 答案 C 解

6、析 由題意可知2kx2+kx-<0恒成立,當(dāng)k=0時成立,當(dāng)k≠0時需滿足代入求得-3

7、集為(  ) A.(-∞,0]∪[1,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,0]∪(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞) 答案 C 解析 由題意得,≥-1?+1=≥0,解得x≤0或x>1,所以不等式的解集為(-∞,0]∪(1,+∞),故選C. 6.設(shè)第一象限內(nèi)的點(x,y)滿足約束條件目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為(  ) A. B. C.1 D.4 答案 B 解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分,直線z=ax+by過點(8,10)時取最大值,即8a+10b=40,4a+5b=20,從而+=(+)=(25++)≥(25+2

8、)=,當(dāng)且僅當(dāng)2a=5b時取等號,因此+的最小值為,故選B. 7.已知實數(shù)x、y滿足如果目標函數(shù)z=x-y的最小值為-1,則實數(shù)m等于(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 B 解析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖所示,由目標函數(shù)z=x-y的最小值為-1,得y=x-z,及當(dāng)z=-1時,函數(shù)y=x+1,此時對應(yīng)的平面區(qū)域在直線y=x+1的下方,由?即A(2,3),同時A也在直線x+y=m上,所以m=5. 8.在平面直角坐標系中,若不等式組表示一個三角形區(qū)域,則實數(shù)k的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1) D.(-

9、∞,-1)∪(1,+∞) 答案 A 解析 易知直線y=k(x-1)-1過定點(1,-1),畫出不等式組表示的可行域示意圖,如圖所示. 當(dāng)直線y=k(x-1)-1位于y=-x和x=1兩條虛線之間時,表示的是一個三角形區(qū)域,所以直線y=k(x-1)-1的斜率的范圍為(-∞,-1),即實數(shù)k的取值范圍是(-∞,-1). 9.已知實數(shù)x∈[-1,1],y∈[0,2],則點P(x,y)落在區(qū)域內(nèi)的概率為(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 不等式組表示的區(qū)域如圖所示,陰影部分的面積為×(2-)×(1+1)=,則所求的概率為,故選D. 10.函數(shù)y=loga(x+

10、3)-1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,則+的最小值為________. 答案 8 解析 由已知可得定點A(-2,-1),代入直線方程可得2m+n=1,從而+=(+)(2m+n)=++4≥2 +4=8. 當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時取等號. 11.已知ab=,a,b∈(0,1),則+的最小值為________. 答案 4+ 解析 因為ab=,所以b=, 則+=+ =+ =+ =++2 =2(+)+2 =(+)[(4a-1)+(4-4a)]+2 =[3++]+2 ≥(3+2)+2=4+(當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=時,取等號).

11、 12.變量x,y滿足約束條件若z=2x-y的最大值為2,則實數(shù)m=______. 答案 1 解析 由可行域知,直線2x-y=2必過直線x-2y+2=0與mx-y=0的交點,即直線mx-y=0必過直線x-2y+2=0與2x-y=2的交點(2,2),所以m=1. 13.(2020·上海)若x,y滿足則x-2y的最大值為________. 答案?。? 解析 令z=x-2y,則y=x-.當(dāng)在y軸上截距最小時,z最大.即過點(0,1)時,z取最大值,z=0-2×1=-2. 14.已知實數(shù)x,y滿足則的取值范圍是________. 答案 [-1,] 解析 作出可行域,如圖△ABC內(nèi)部(含邊界),表示可行域內(nèi)點(x,y)與P(5,6)連線斜率,kPA==-1,kPC==,所以-1≤≤.

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