《2020年高考數(shù)學(xué)考前回扣教材3 三角函數(shù)、平面向量》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)考前回扣教材3 三角函數(shù)、平面向量(10頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、回扣3 三角函數(shù)、平面向量
1.準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式
對于“±α,k∈Z”的三角函數(shù)值,與α角的三角函數(shù)值的關(guān)系可按口訣記憶:奇變偶不變,符號看象限.
2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
sin2α+cos2α=1,tan α=(cos α≠0).
3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
(3)tan(α±β)=.
(4)asin α+bcos α=sin(α+φ)(其中tan φ=).
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2、2α=2sin αcos α.
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)tan 2α=.
5.三種三角函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)
y=sin x
y=cos x
y=tan x
圖象
單調(diào)性
在[-+2kπ,+2kπ] (k∈Z)上單調(diào)遞增;在[+2kπ,+2kπ] (k∈Z)上單調(diào)遞減
在[-π+2kπ,2kπ] (k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減
在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增
對稱性
對稱中心:(kπ,0)(k∈Z);對稱軸:x=+kπ (k∈Z)
對稱中心:(+k
3、π,0)(k∈Z);對稱軸:x=kπ(k∈Z)
對稱中心:(,0) (k∈Z)
6.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的圖象
(1)“五點(diǎn)法”作圖:
設(shè)z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出相應(yīng)的x的值與y的值,描點(diǎn)、連線可得.
(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí),一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口.
(3)圖象變換:
y=sin xy=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
7.正弦定理及其變形
===2R(2R為△ABC外接圓的直徑).
變形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
s
4、in A=,sin B=,sin C=.
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
8.余弦定理及其推論、變形
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
推論:cos A=,cos B=,cos C=.
變形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C.
9.面積公式
S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.
10.解三角形
(1)已知兩角及一邊,利用正弦定理求解.
(2)已知兩邊及一邊的對角,利用正弦定理或余弦定理
5、求解,解的情況可能不唯一.
(3)已知兩邊及其夾角,利用余弦定理求解.
(4)已知三邊,利用余弦定理求解.
11.平面向量的數(shù)量積
(1)若a,b為非零向量,夾角為θ,則a·b=|a||b|cos θ.
(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.
12.兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
(1)a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
13.利用數(shù)量積求長度
(1)若a=(x,y),則|a|==.
(2)若A(x1,y1),B(
6、x2,y2),則
||=.
14.利用數(shù)量積求夾角
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,則cos θ==.
15.三角形“四心”向量形式的充要條件
設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn),角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則
(1)O為△ABC的外心?||=||=||=.
(2)O為△ABC的重心?++=0.
(3)O為△ABC的垂心?·=·=·.
(4)O為△ABC的內(nèi)心?a+b+c=0.
1.利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求值時(shí),不要忽視角的范圍,要先判斷函數(shù)值的符號.
2.在求三角函數(shù)的值域(或最值)時(shí),不要忽略x的取值范圍.
3.求函數(shù)f(
7、x)=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要注意A與ω的符號,當(dāng)ω<0時(shí),需把ω的符號化為正值后求解.
4.三角函數(shù)圖象變換中,注意由y=sin ωx的圖象變換得y=sin(ωx+φ)時(shí),平移量為,而不是φ.
5.在已知兩邊和其中一邊的對角時(shí),要注意檢驗(yàn)解是否滿足“大邊對大角”,避免增解.
6.要特別注意零向量帶來的問題:0的模是0,方向任意,并不是沒有方向;0與任意非零向量平行.
7.a·b>0是〈a,b〉為銳角的必要不充分條件;
a·b<0是〈a,b〉為鈍角的必要不充分條件.
1.2sin 45°cos 15°-sin 30°的值等于( )
A. B. C. D.1
8、
答案 C
解析 2sin 45°cos 15°-sin 30°=2sin 45°cos 15°-sin(45°-15°)=2sin 45°cos 15°-(sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°)=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin 60°=.故選C.
2.要得到函數(shù)y=sin 2x的圖象,可由函數(shù)y=cos(2x-)( )
A.向左平移個(gè)單位長度得到
B.向右平移個(gè)單位長度得到
C.向左平移個(gè)單位長度得到
D.向右平移個(gè)單位長度得到
答案 D
解析 由于函數(shù)y=sin 2x=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[
9、2(x-)-],所以可由函數(shù)y=cos(2x-)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)y=sin 2x的圖象,
故選D.
3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是( )
A.3 B. C. D.3
答案 C
解析 c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6,①
∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,②
由①和②得ab=6,
∴S△ABC=absin C=×6×=,
故選C.
4.(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( )
A. B.1+ C.2 D.2(tan 18°+
10、tan 27°)
答案 C
解析 由題意得,tan(18°+27°)=,
即=1,
所以tan 18°+tan 27°=1-tan 18°tan 27°,
所以(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°=2,故選C.
5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定
答案 B
解析 ∵bcos C+ccos B=asin A,
∴sin Bcos C+cos Bsi
11、n C=sin2A,
∴sin(B+C)=sin2A,∴sin A=1,∴A=,三角形為直角三角形.
6.已知A,B,C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),則p與q的夾角是( )
A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.不確定
答案 A
解析 ∵A、B、C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角,∴A+B>,即A>-B>0,∴sin A>sin(-B)=cos B,
∴p·q=sin A-cos B>0.再根據(jù)p,q的坐標(biāo)可得p,q不共線,故p與q的夾角為銳角.
7. f(x)=sin(2x-)+cos(2x-)是( )
A.最小正周期為2π的偶
12、函數(shù) B.最小正周期為2π的奇函數(shù)
C.最小正周期為π的奇函數(shù) D.最小正周期為π的偶函數(shù)
答案 C
解析 f(x)=sin(2x-)+cos(2x-)=sin(2x-+)=sin 2x,是最小正周期為π的奇函數(shù),故選C.
8.已知a,b為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量,且a=(1,2),|b|=|a|,若a+2b與2a-b垂直,則a與b的夾角為( )
A.0 B. C. D.π
答案 D
解析 |b|=|a|=,而(a+2b)·(2a-b)=0?2a2-2b2+3b·a=0?b·a=-,從而cos〈b,a〉==-1,〈b,a〉=π,故選D.
9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對
13、的邊分別是a,b,c有下列命題:
①若A>B>C,則sin A>sin B>sin C;
②若==,則△ABC為等邊三角形;
③若sin 2A=sin 2B,則△ABC為等腰三角形;
④若(1+tan A)(1+tan B)=2,則△ABC為鈍角三角形;
⑤存在A,B,C使得tan Atan Btan CB>C,則a>b>c?sin A>sin B>sin C;
若==,則=?sin(A-B)=0?A=B?a=b,同理可得a=c,所以△ABC為
14、等邊三角形;若sin 2A=sin 2B,則2A=2B或2A+2B=π,因此△ABC為等腰或直角三角形;若(1+tan A)(1+tan B)=2,則tan A+tan B=1-tan Atan B,因此tan(A+B)=1?C=,△ABC為鈍角三角形;在△ABC中,tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C恒成立,
因此正確的命題為①②④.
10.若△ABC的三邊a,b,c及面積S滿足S=a2-(b-c)2,則sin A=________.
答案
解析 由余弦定理得S=a2-(b-c)2=2bc-2bccos A=bcsin A,所以sin A+4cos A
15、=4,由sin2A+cos2A=1,解得sin2A+(1-)2=1,sin A=(0舍去).
11.若tan θ=3,則cos2θ+sin θcos θ=________.
答案
解析 ∵tan θ=3,
∴cos2θ+sin θcos θ====.
12.已知單位向量a,b,c,且a⊥b,若c=ta+(1-t)b,則實(shí)數(shù)t的值為________.
答案 1或0
解析 c=ta+(1-t)b?c2=t2+(1-t)2=|c|2=1?t=0或t=1.
13.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足bcos A=(2c+a)cos(A+C).
(1)求角B的大小
16、;
(2)求函數(shù)f(x)=2sin 2x+sin(2x-B)(x∈R)的最大值.
解 (1)由已知,bcos A=(2c+a)cos(π-B),
即sin Bcos A=-(2sin C+sin A)cos B,
即sin(A+B)=-2sin Ccos B,
則sin C=-2sin Ccos B,
∴cos B=-,即B=.
(2)f(x)=2sin 2x+sin 2xcos -cos 2xsin
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),
即x=+kπ,k∈Z時(shí),f(x)取得最大值.
14.已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1.
(1
17、)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且銳角A滿足f(A)=1,b=,c=3,求a的值.
解 (1)f(x)=2sin xcos x-2cos2x+1
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),
所以f(x)的最小正周期為π.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)由題意知f(A)=sin(2A-)=1,
sin(2A-)=,
又∵A是銳角,
∴2A-=,
∴A=,
由余弦定理得a2=2+9-2××3×cos =5,
∴a=.