2020年高考數(shù)學考前回扣教材3 三角函數(shù)、平面向量

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1、回扣3　三角函數(shù)、平面向量 1.準確記憶六組誘導公式 對于“±α，k∈Z”的三角函數(shù)值，與α角的三角函數(shù)值的關系可按口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限. 2.同角三角函數(shù)的基本關系式 sin2α＋cos2α＝1，tan α＝(cos α≠0). 3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝. (4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝). 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin

2、2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. 5.三種三角函數(shù)的性質 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調性 在[－＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z)上單調遞增；在[＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z)上單調遞減 在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調遞減 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上單調遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ (k∈Z) 對稱中心：(＋k

3、π，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心：(，0) (k∈Z) 6.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的圖象 (1)“五點法”作圖： 設z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相應的x的值與y的值，描點、連線可得. (2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時，一般利用五點中的零點或最值點作為解題突破口. (3)圖象變換： y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ). 7.正弦定理及其變形 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑). 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. s

4、in A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 8.余弦定理及其推論、變形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 9.面積公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 10.解三角形 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解. (2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理

5、求解，解的情況可能不唯一. (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解. (4)已知三邊，利用余弦定理求解. 11.平面向量的數(shù)量積 (1)若a，b為非零向量，夾角為θ，則a·b＝|a||b|cos θ. (2)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 12.兩個非零向量平行、垂直的充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 13.利用數(shù)量積求長度 (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(

6、x2，y2)，則 ||＝. 14.利用數(shù)量積求夾角 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝. 15.三角形“四心”向量形式的充要條件 設O為△ABC所在平面上一點，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則 (1)O為△ABC的外心?||＝||＝||＝. (2)O為△ABC的重心?＋＋＝0. (3)O為△ABC的垂心?·＝·＝·. (4)O為△ABC的內心?a＋b＋c＝0. 1.利用同角三角函數(shù)的平方關系式求值時，不要忽視角的范圍，要先判斷函數(shù)值的符號. 2.在求三角函數(shù)的值域(或最值)時，不要忽略x的取值范圍. 3.求函數(shù)f(

7、x)＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，要注意A與ω的符號，當ω<0時，需把ω的符號化為正值后求解. 4.三角函數(shù)圖象變換中，注意由y＝sin ωx的圖象變換得y＝sin(ωx＋φ)時，平移量為，而不是φ. 5.在已知兩邊和其中一邊的對角時，要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”，避免增解. 6.要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行. 7.a·b>0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件； a·b<0是〈a，b〉為鈍角的必要不充分條件. 1.2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于(　　) A. B. C. D.1

8、 答案　C 解析　2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝.故選C. 2.要得到函數(shù)y＝sin 2x的圖象，可由函數(shù)y＝cos(2x－)(　　) A.向左平移個單位長度得到 B.向右平移個單位長度得到 C.向左平移個單位長度得到 D.向右平移個單位長度得到 答案　D 解析　由于函數(shù)y＝sin 2x＝cos(－2x)＝cos(2x－)＝cos[

9、2(x－)－]，所以可由函數(shù)y＝cos(2x－)向右平移個單位長度得到函數(shù)y＝sin 2x的圖象， 故選D. 3.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是(　　) A.3 B. C. D.3 答案　C 解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，① ∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，② 由①和②得ab＝6， ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝， 故選C. 4.(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是(　　) A. B.1＋ C.2 D.2(tan 18°＋

10、tan 27°) 答案　C 解析　由題意得，tan(18°＋27°)＝， 即＝1， 所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°， 所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2，故選C. 5.設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 答案　B 解析　∵bcos C＋ccos B＝asin A， ∴sin Bcos C＋cos Bsi

11、n C＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sin A＝1，∴A＝，三角形為直角三角形. 6.已知A，B，C是銳角△ABC的三個內角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，則p與q的夾角是(　　) A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.不確定 答案　A 解析　∵A、B、C是銳角△ABC的三個內角，∴A＋B>，即A>－B>0，∴sin A>sin(－B)＝cos B， ∴p·q＝sin A－cos B>0.再根據(jù)p，q的坐標可得p，q不共線，故p與q的夾角為銳角. 7. f(x)＝sin(2x－)＋cos(2x－)是(　　) A.最小正周期為2π的偶

12、函數(shù) B.最小正周期為2π的奇函數(shù) C.最小正周期為π的奇函數(shù) D.最小正周期為π的偶函數(shù) 答案　C 解析　f(x)＝sin(2x－)＋cos(2x－)＝sin(2x－＋)＝sin 2x，是最小正周期為π的奇函數(shù)，故選C. 8.已知a，b為同一平面內的兩個向量，且a＝(1，2)，|b|＝|a|，若a＋2b與2a－b垂直，則a與b的夾角為(　　) A.0 B. C. D.π 答案　D 解析　|b|＝|a|＝，而(a＋2b)·(2a－b)＝0?2a2－2b2＋3b·a＝0?b·a＝－，從而cos〈b，a〉＝＝－1，〈b，a〉＝π，故選D. 9.在△ABC中，內角A，B，C所對

13、的邊分別是a，b，c有下列命題： ①若A>B>C，則sin A>sin B>sin C； ②若＝＝，則△ABC為等邊三角形； ③若sin 2A＝sin 2B，則△ABC為等腰三角形； ④若(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，則△ABC為鈍角三角形； ⑤存在A，B，C使得tan Atan Btan CB>C，則a>b>c?sin A>sin B>sin C； 若＝＝，則＝?sin(A－B)＝0?A＝B?a＝b，同理可得a＝c，所以△ABC為

14、等邊三角形；若sin 2A＝sin 2B，則2A＝2B或2A＋2B＝π，因此△ABC為等腰或直角三角形；若(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，則tan A＋tan B＝1－tan Atan B，因此tan(A＋B)＝1?C＝，△ABC為鈍角三角形；在△ABC中，tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C恒成立， 因此正確的命題為①②④. 10.若△ABC的三邊a，b，c及面積S滿足S＝a2－(b－c)2，則sin A＝________. 答案　 解析　由余弦定理得S＝a2－(b－c)2＝2bc－2bccos A＝bcsin A，所以sin A＋4cos A

15、＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋(1－)2＝1，sin A＝(0舍去). 11.若tan θ＝3，則cos2θ＋sin θcos θ＝________. 答案　 解析　∵tan θ＝3， ∴cos2θ＋sin θcos θ＝＝＝＝. 12.已知單位向量a，b，c，且a⊥b，若c＝ta＋(1－t)b，則實數(shù)t的值為________. 答案　1或0 解析　c＝ta＋(1－t)b?c2＝t2＋(1－t)2＝|c|2＝1?t＝0或t＝1. 13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcos A＝(2c＋a)cos(A＋C). (1)求角B的大小

16、； (2)求函數(shù)f(x)＝2sin 2x＋sin(2x－B)(x∈R)的最大值. 解　(1)由已知，bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)， 即sin Bcos A＝－(2sin C＋sin A)cos B， 即sin(A＋B)＝－2sin Ccos B， 則sin C＝－2sin Ccos B， ∴cos B＝－，即B＝. (2)f(x)＝2sin 2x＋sin 2xcos －cos 2xsin ＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)， 即x＝＋kπ，k∈Z時，f(x)取得最大值. 14.已知函數(shù)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1. (1

17、)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且銳角A滿足f(A)＝1，b＝，c＝3，求a的值. 解　(1)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1 ＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)， 所以f(x)的最小正周期為π. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的單調增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z). (2)由題意知f(A)＝sin(2A－)＝1， sin(2A－)＝， 又∵A是銳角， ∴2A－＝， ∴A＝， 由余弦定理得a2＝2＋9－2××3×cos ＝5， ∴a＝.