2020高中數(shù)學(xué) 2-4-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步檢測 新人教B版選修2-1

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1、2.4第1課時(shí) 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、選擇題 1．拋物線y＝x2的焦點(diǎn)關(guān)于直線x－y－1＝0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A．(2，－1)　　　　　　 B．(1，－1) C．(，－) D．(，－) [答案]　A [解析]　y＝x2?x2＝4y，焦點(diǎn)為(0,1)，其關(guān)于x－y－1＝0的對稱點(diǎn)為(2，－1)． 2．拋物線x2＝4ay的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝－a B．x＝a C．y＝－a D．y＝a [答案]　C 3．拋物線x2＝4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D

2、．5 [答案]　D [解析]　解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝4， ∴A(4,4)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)， ∴所求距離為＝＝5. 解法二：拋物線的準(zhǔn)線為y＝－1，∴A到準(zhǔn)線的距離為5，又∵A到準(zhǔn)線的距離與A到焦點(diǎn)的距離相等． ∴距離為5. 4．拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　設(shè)P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝x0＋＝2， ∴x0＝，∴y0＝±. 5．拋物線y2＝4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x＝(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　

3、　　　D．4 [答案]　B [解析]　拋物線y2＝4x，焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線x＝－1， ∵M(jìn)到準(zhǔn)線的距離為3，∴xM－(－1)＝3，∴xM＝2. 6．雙曲線－＝1(mn≠0)離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [答案]　A [解析]　由條件知，解得 . ∴mn＝，故選A. 7．已知拋物線C1：y＝2x2與拋物線C2關(guān)于直線y＝－x對稱，則C2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝－ [答案]　C [解析]　拋物線C1：y＝2x2的準(zhǔn)線方程為y＝－，其

4、關(guān)于直線y＝－x對稱的拋物線C2：y2＝－x的準(zhǔn)線方程為x＝.故應(yīng)選C. 8．已知拋物線y2＝2px(p>0)上有一點(diǎn)M(4，y)，它到焦點(diǎn)F的距離為5，則△OFM的面積(O為原點(diǎn))為(　　) A．1　　　B.　　　C．2　　　D．2 [答案]　C [解析]　拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－，由于M(4，y)到焦點(diǎn)F的距離為5，故有|4＋|＝5，由于p>0，故p＝2，|OF|＝1，拋物線方程為y2＝4x，則M(4，±4)，于是S△OFM＝2. 9．動點(diǎn)P到直線x＋4＝0的距離減去它到點(diǎn)M(2,0)的距離之差等于2，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．直線　　　　　　 B．橢圓 C．雙曲線

5、 D．拋物線 [答案]　D [解析]　根據(jù)所給條件，結(jié)合圖形可知動點(diǎn)P到定直線x＝－2及定點(diǎn)M(2,0)的距離相等，故選D. 10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn)， 若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是(　　) A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線 [答案]　D [解析]　∵P到直線BC與直線C1D1的距離相等，又ABCD－A1B1C1D1是正方體， ∴D1C1⊥側(cè)面BCC1B1. ∴D1C1⊥PC1， ∴PC1為P到直線D1C1的距離，即PC1等于P到直線BC的距離，由圓錐

6、曲線的定義知，動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是拋物線． 二、填空題 11．(2020·安徽文，12)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是____________． [答案]　(2,0)　 [解析]　該題考查拋物線的基礎(chǔ)知識． 要認(rèn)清形式：本題形如y2＝2px(p>0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，故為(2,0)． 12．沿直線y＝－2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2＝ax反射后，與x軸相交于點(diǎn)A(2,0)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________． [答案]　x＝－2 [解析]　由拋物線的幾何性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行，及直線y＝－2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點(diǎn)，故準(zhǔn)線方程為x＝－2.

7、13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2,1)．若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px　(p>0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是________． [答案]　x＝－ [解析]　OA的垂直平分線y＝－2x＋交x軸于，此為焦點(diǎn)，故準(zhǔn)線方程為x＝－. 14．已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，M是這條拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，P(3,1)是一個(gè)定點(diǎn)，則|MP|＋|MF|的最小值是____________． [答案]　4 [解析]　過P作垂直于準(zhǔn)線的直線，垂足為N，交拋物線于M，則|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4為所求最小值． 三、解答題 15．已知橢圓C1：＋＝

8、1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，又拋物線C2：y2＝4mx(m>0)與橢圓C1有公共焦點(diǎn)F2(1,0)．求橢圓和拋物線的方程． [解析]　橢圓中c＝1，e＝，所以a＝2，b＝＝，橢圓方程為：＋＝1，拋物線中＝1， 所以p＝2，拋物線方程為：y2＝4x. 16．若拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為10和6，求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)及拋物線方程． [解析]　∵點(diǎn)M到對稱軸的距離為6， ∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,6)， ∴62＝2px(1) ∵點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為10， ∴x＋＝10(2) 由(1)(2)解得或 故當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為9時(shí)，拋物線方程為y2＝4x

9、，當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1時(shí)，拋物線方程為y2＝36x. 17．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)過拋物線y2＝2mx的焦點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝6. (2)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，點(diǎn)P(－5,2)到焦點(diǎn)的距離是6. [解析]　(1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，交x軸于K點(diǎn)，l的方程為x＝－，如圖，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，則|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理 |BF|＝|m|.又|AB|＝6，則2|m|＝6. ∴m＝±3，故所求拋物線方程為y2＝±6x. (2)設(shè)焦點(diǎn)F(a,0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得

10、a＝－1或a＝－9.當(dāng)焦點(diǎn)為 F(－1，0)時(shí)，p＝2，拋物線開口方向向左，其方程為y2＝－4x；當(dāng)焦點(diǎn)為F(－9,0)時(shí)，p＝18，拋物線開口方向向左，其方程為y2＝－36x. 18．一輛卡車高3 米，寬1.6米，欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為a米，求使卡車通過的a的最小整數(shù)值． [解析]　以隧道頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拱高所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－)，如圖所示，設(shè)隧道所在拋物線方程為x2＝my，則()2＝m·(－)， ∴m＝－a，即拋物線方程為x2＝－ay. 將(0.8，y)代入拋物線方程，得0.82＝－ay， 即y＝－. 欲使卡車通過隧道，應(yīng)有y－(－)>3， 即－>3，由于a>0，得上述不等式的解為a>12.21，∴a應(yīng)取13.