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1、2020高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí): 軌跡方程
一、直譯法
求曲線方程(或動(dòng)點(diǎn)軌跡方程)的一般步驟:
⑴建系設(shè)點(diǎn):適當(dāng)建立坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)為所求曲線上的任意一點(diǎn)
⑵翻譯條件:寫出點(diǎn)所滿足的條件
⑶列出方程:根據(jù)所給條件列出方程
⑷化簡(jiǎn)方程:把所列的方程化為最簡(jiǎn)形式
求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程后,要注意檢驗(yàn)變量的取值范圍,如果有失根就要補(bǔ)充說明,如果有增根就要徹底刪除
1.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是,若邊、所在直線的斜率之積等于,
求頂點(diǎn)的軌跡方程
2.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是,若邊所在直線的斜率之積等于,求頂點(diǎn)的軌跡方程
3.已知點(diǎn)到定
2、點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線的距離之比為,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程
4.已知,點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在的正半軸上,點(diǎn)在直線上,且.
當(dāng)在軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)軌跡方程
二、定義法
我們已經(jīng)學(xué)過了橢圓、雙曲線、拋物線的方程,如果能夠根據(jù)已知條件確定所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么曲線,就可
以直接建立軌跡方程
兩圓外切 兩圓內(nèi)切 直線與圓相切
5.在中,、,若三邊、、的長(zhǎng)成等差數(shù)列,求頂點(diǎn)的軌跡方程
6.
3、動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大,求點(diǎn)的軌跡方程
7.動(dòng)圓與定圓和圓都外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程
8.動(dòng)圓恒過定點(diǎn),且與定圓相切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程
9.圓與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切,求圓的圓心軌跡方程
10.動(dòng)圓與定圓外切,且與直線相切,則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程
11.動(dòng)圓與定圓內(nèi)切,和定圓外切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程
12.已知圓,定點(diǎn),點(diǎn)是線段的中垂線與半徑的交點(diǎn),求的的軌跡方程
13.已知定點(diǎn),以為一個(gè)焦點(diǎn)作
4、過的橢圓,求另一焦點(diǎn)的軌跡方程
三、轉(zhuǎn)移代入法
如果已知一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,要求另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,通常采用遷移的思想解題,先假設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),建立所求動(dòng)點(diǎn)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)所滿足的曲線方程即得所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
14.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),定點(diǎn),是線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且,求點(diǎn)的軌跡方程
15.設(shè)為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程
16.已知的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是和,若邊上中線的長(zhǎng)為,求頂點(diǎn)的軌跡方程
17.已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng),,點(diǎn)是上一點(diǎn)
5、,且,
求點(diǎn)的軌跡方程
18.定點(diǎn)和圓上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程
19.從圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段,為垂足,且線段 上一點(diǎn)滿足關(guān)系式
,求點(diǎn)的軌跡方程
20.橢圓的方程為,是它的左焦點(diǎn),是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求
的重心的軌跡方程
21.設(shè)、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng),求的重心的軌跡方程
6、22.若的兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、,而頂點(diǎn)在曲線上移動(dòng),
求的重心的軌跡方程
23.點(diǎn)是圓上個(gè)動(dòng)點(diǎn),,當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段的中點(diǎn)的軌跡方程
代入消參法
24.已知橢圓,求斜率為的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程
25.過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).求的重心的軌跡方程
26.傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn),求線段中點(diǎn)的軌跡方程
27.是拋物線上一點(diǎn),直線過點(diǎn)且與拋物線交于另一點(diǎn).若直線與過點(diǎn)的切線垂直,
7、
求線段中點(diǎn)的軌跡方程
O
A
P
B
x
y
28.和分別在射線上移動(dòng),且,動(dòng)點(diǎn)滿足.
(Ⅰ)求的值
(Ⅱ)求點(diǎn)的軌跡的方程,并說明它表示怎樣的曲線?
29.已知直線過橢圓 的右焦點(diǎn),且與相交于兩點(diǎn).設(shè),
Q
x
F
求點(diǎn)的軌跡方程
30.中,,,直線方程是,當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),求外接圓的圓心
的軌跡方程
31.求過點(diǎn)的直線被橢圓所截弦的中點(diǎn)的軌跡方程 .
五.軌跡和軌跡方程是兩個(gè)不同的概念,軌跡是指滿足條件的動(dòng)點(diǎn)所組成的圖形,而軌跡方程是指滿足條件
的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、之間的關(guān)系式,但往往先有軌跡方程我們才可以判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡
32.設(shè)圓與圓外切,與直線相切,求的圓心軌跡
33.已知一動(dòng)圓與圓相內(nèi)切,且過,求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡
內(nèi)切外切