【備戰(zhàn)2020】高考數學 歷屆真題專題04 數列 理

《【備戰(zhàn)2020】高考數學 歷屆真題專題04 數列 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【備戰(zhàn)2020】高考數學 歷屆真題專題04 數列 理（56頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、最新模擬 【2020年高考試題】 1. (2020年高考四川卷理科8)數列的首項為， 為等差數列且 .若則，，則( ) （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 答案：B 5. (2020年高考湖北卷理科13)《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升 答案： 解析：設從上往下的9節(jié)竹子的容積依次為a1,a2,，……，a9，公差為d，則有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+

2、9d=4,聯(lián)立解得：.即第5節(jié)竹子的容積. 5.(2020年高考陜西卷理科14)植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）。 【答案】2000 【解析】設樹苗集中放置在第號坑旁邊，則20名同學返所走的路程總和為 =即時. 6.(2020年高考重慶卷理科11)在等差數列中，，則 解析：74. ，故 7.(2020年高考江蘇卷13)設，其中成公比為q的等比數列，成公差為1的等差數列，則q的最

3、小值是________ 9. (2020年高考山東卷理科20)（本小題滿分12分） 等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若數列滿足：，求數列的前項和. 所以 當n為偶數時， 當n為奇數時， 綜上所述， 10.(2020年高考遼寧卷理科17)（本小題滿分12分） 已知等差數列{an}滿足a2=0，a6+a8= -10 （I）求數列{an

4、}的通項公式； （II）求數列的前n項和. 所以. 綜上，數列的前n項和為. 11.(2020年高考浙江卷理科19)（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數列的首項 (),設數列的前n項和為，且，，成等比數列（Ⅰ）求數列的通項公式及（Ⅱ）記，，當時，試比較與的大小. 【解析】（Ⅰ） 則 ， （Ⅱ） 因為，所以 當時， 即； 所以當時，；當時， . 12.(2020年高考安徽卷理科18)（本小題滿分13分） 在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）設求數列的前項和. 【命

5、題意圖】：本題考查等比和等差數列，指數和對數運算，兩角差的正切公式等基本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力。 【解析】：（Ⅰ）構成遞增的等比數列，其中，，則 ① ② ①×②并利用等比數列性質得 ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又 所以數列的前項和為 13. (2020年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分） 已知數列與滿足：， ，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設，證明：是等比數列； （Ⅲ）設證明：． 【解析】本小題主要考查等比數列的定義、數列求和

6、等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法. （Ⅰ）解:由,,可得, 又 當n=1時,,由,,得; 當n=2時,,可得. 當n=3時,,可得. （Ⅱ）證明:對任意, ,① ,② ,③ ②-③得 ④, 將④代入①,可得即(),又, 故,因此,所以是等比數列. （III）證明：由（II）可得， 于是，對任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當k=1時也成立.由④式得 從而 所以，對任意， 對于n=1，不等式顯然成立. 所以，對任意 14. (

7、2020年高考江西卷理科18)（本小題滿分12分） 已知兩個等比數列，，滿足，，，. （1）若，求數列的通項公式； （2）若數列唯一，求的值. 15. (2020年高考湖南卷理科16)對于，將表示為，當時， ，當時，為或.記為上述表示中為的個數（例如：， ，故，），則（1） ；（2） . 答案：2; 1093 解析：（1）由題意知，所以2； 16. (2020年高考廣東卷理科20)設數列滿足, (1) 求數列的通項公式； (2) 證明：對于一切正整數n, 【解析】（1）由 令， 當 ①當時， ②當 1

8、7. (2020年高考湖北卷理科19)（本小題滿分13分） 已知數列的前n項和為，且滿足： (Ⅰ)求數列的通項公式； (Ⅱ)若存在，使得成等差數列，試判斷：對于任意的，且， 是否成等差數列，并證明你的結論. 本小題主要考查等差數列、等比數列基礎知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想. 解析： （Ⅰ）由已知，可得，兩式相減可得 即又，所以當時，數列為：； 當時，由已知，所以 于是由，可得， 成等比數列， 當時， 綜上，數列的通項公式為 （Ⅱ）對于任意的，且成等差數列，證明如下： 當r=0時，由（Ⅰ）知， ∴對于任意的，且成等差數列； 當時， 若存在，

9、使得成等差數列，則， 即， 由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是對于任意的，且，從而，， 即成等差數列. 綜上，對于任意的，且成等差數列. 18.(2020年高考重慶卷理科21)（本小題滿分12分。（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分） 設實數數列的前n項和滿足 （Ⅰ）若成等比數列，求和 （Ⅱ）求證：對有。 解析：（Ⅰ）由題意，得， 由是等比中項知，因此， 由，解得， （Ⅱ）證明：有題設條件有， 19．(2020年高考四川卷理科20) (本小題共12分) 設d為非零實數，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—

10、1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*). (I) 寫出a1,a2,a3并判斷{an}是否為等比數列.若是，給出證明；若不是，說明理由； (II)設bn=ndan (n∈N*)，求數列{bn}的前n項和Sn． 解析：（1） 20.(2020年高考全國卷理科20)設數列滿足且 （Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設 【解析】：（Ⅰ）由得， 前項為， （Ⅱ） 21.(2020年高考江蘇卷20)設M為部分正整數組成的集合，數列的首項，前n項和為，已知對任意整數k屬于M，當n>k時，都成立 （1）設M=｛1｝，，求的值； （2）設M=｛3，4｝，求數列的通項公式

11、由（5）（6）得： 由（9）（10）得：成等差，設公差為d, 在（1）（2）中分別取n=4,n=5得： 22．(2020年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分） 設整數，是平面直角坐標系中的點，其中 （1）記為滿足的點的個數，求； （2）記為滿足是整數的點的個數，求 23．(2020年高考北京卷理科20)（本小題共13分） 若數列滿足，數列為數列，記=． （Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2020； （Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列，使得=0？如果存在

12、，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A5） （Ⅱ）必要性：因為E數列A5是遞增數列， 所以. 因為 所以為偶數, 所以要使為偶數, 即4整除. 當 時，有 當的項滿足， 當不能被4整除，此時不存在E數列An， 使得 24．(2020年高考福建卷理科16)（本小題滿分13分） 已知等比數列{an}的公比q=3，前3項和S3=。 （I）求數列{an}的通項公式； （II）若函數在處取得最大值，且最大值為a3，求函數f（x）

13、的解析式。 解：（I）由 解得 所以 （II）由（I）可知 因為函數的最大值為3，所以A=3。 因為當時取得最大值， 所以 又 所以函數的解析式為 25．(2020年高考上海卷理科22)（18分）已知數列和的通項公式分別為，（），將集合 中的元素從小到大依次排列，構成數列 。 （1）求； （2）求證：在數列中．但不在數列中的項恰為； （3）求數列的通項公式。 【2020年高考試題】 （2020浙江理數）（3）設為等比數列的前項和，，則 （A）11 （B）5 （C） （D） 解析：解析：通過，設公比為，將該式轉化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選D，

14、本題主要考察了本題主要考察了等比數列的通項公式與前n項和公式，屬中檔題 （2020全國卷2理數）（4）.如果等差數列中，，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查等差數列的基本公式和性質. 【解析】 （2020遼寧理數）（6）設{an}是有正數組成的等比數列，為其前n項和。已知a2a4=1, ,則 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 【命題立意】本題考查了等比數列的通項公式與前n項和公式，考查了同學們解決問題的能力

15、。 【解析】由a2a4=1可得，因此，又因為，聯(lián)力兩式有，所以q=,所以，故選B。 （2020江西理數）5.等比數列中，，=4，函數，則（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多項式函數的導數公式，重點考查學生創(chuàng)新意識，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想和方法。考慮到求導中，含有x項均取0，則只與函數的一次項有關；得：。 （2020江西理數）4. （ ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比數列求和與極限知識.解法一：先求和，然后對和取極限。 （2020重慶理數）

16、（1）在等比數列中， ，則公比q的值為 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 （2020天津理數）（6）已知是首項為1的等比數列，是的前n項和，且，則數列的前5項和為 （A）或5 （B）或5 （C） （D） 【答案】C 【解析】本題主要考查等比數列前n項和公式及等比數列的性質，屬于中等題。 顯然q1，所以，所以是首項為1，公比為的等比數列， 前5項和. 【溫馨提示】在進行等比數列運算時要注意約分，降低冪的次數，同時也要注意基本量法的應用。 （2020廣東理數）4. 已知為等比數列，Sn是它的前n項和。若， 且與

17、2的等差中項為，則=w_w w.k*s_5 u.c o_m A．35 B.33 C.31 D.29 4．C．設{}的公比為，則由等比數列的性質知，，即。由與2的等差中項為知，，即． ∴，即．，即． 1.（2020安徽理數）10、設是任意等比數列，它的前項和，前項和與前項和分別為，則下列等式中恒成立的是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【分析】取等比數列,令得代入驗算，只有選項D滿足。 【方法技巧】對于含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數字代替字母，代入驗證，若能排除3個選項，剩下唯一正確的就一定正確；若

18、不能完全排除，可以取其他數字驗證繼續(xù)排除.本題也可以首項、公比即項數n表示代入驗證得結論. （2020湖北理數）7、如圖，在半徑為r 的園內作內接正六邊形，再作正六邊形的內切圓，又在此內切圓內作內接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設為前n個圓的面積之和，則= A． 2 B. C.4 D.6 （2020福建理數）3．設等差數列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】設該數列的公差為，則，解得， 所以，所以當時，取最小值。 【命題意圖】本題考查

19、等差數列的通項公式以及前n項和公式的應用，考查二次函數最值的求法及計算能力。 （2020遼寧理數）（16）已知數列滿足則的最小值為__________. 【答案】 【命題立意】本題考查了遞推數列的通項公式的求解以及構造函數利用導數判斷函數單調性，考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 設，令，則在上是單調遞增，在上是遞減的，因為n∈N+,所以當n=5或6時有最小值。 又因為，，所以，的最小值為 （2020福建理數）11．在等比數列

20、中,若公比,且前3項之和等于21,則該數列的通項公式 ． 【答案】 【解析】作為壓軸題，考查數學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 （1）考慮到結構要證，；類似勾股數進行拼湊。 證明：考慮到結構特征，取特值滿足等差數列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數a均能成立。 結合第一問的特征，將等差數列分解，通過一個可做多種結構分解的因式說明構成三角形，再證明互不相似，且無窮。 證明：當成等差數列，則， 分解得： 選取關于n的一個多項式，做兩種途徑的分解 對比目標式，構造，由第一問結論得，等差數列成立， 考察三角形邊長關系，可構成三角形的三邊。 下證

21、互不相似。 任取正整數m，n，若△m，△相似：則三邊對應成比例， 由比例的性質得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。 （2020北京理數）（20）（本小題共13分） 已知集合對于，，定義A與B的差為 A與B之間的距離為 （Ⅰ）證明：，且; （Ⅱ）證明：三個數中至少有一個是偶數 (Ⅲ) 設P，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）≤. 證明：（I）設，， 因為，，所以, 從而 又 由題意知，，. 當時，; 當時， 所以 (II)設，， ，，.

22、 記，由（I）可知 所以中1的個數為，的1的 個數為。 設是使成立的的個數，則 由此可知，三個數不可能都是奇數， 即,,三個數中至少有一個是偶數。 （III）,其中表示中所有兩個元素間距離的總和，設種所有元素的第個位置的數字中共有個1，個0 則= 由于 所以 從而 （2020四川理數）（21）（本小題滿分12分） 已知數列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a

23、3，a5； （Ⅱ）設bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數列； （Ⅲ）設cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數列{cn}的前n項和Sn. 本小題主要考查數列的基礎知識和化歸、分類整合等數學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力. 解：(1)由題意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6 再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分 (2)當n∈N *時，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－

24、(a2n＋1－a2n－1)＝8 即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差為8的等差數列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首項為b1＝a3－a1＝6,公差為8的等差數列 則bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 an＝-(n－1)2. 所以Sn＝2· 綜上所述，Sn＝…………………………12分 （2020天津理數）（22）（本小題滿分14分） 在數列中，，且對任意.，，成等差數列，其公差為。 （Ⅰ）若=，證明，，成等比數列（） （Ⅱ）若對任意，，，成等比數列，其公比為。 【解析

25、】本小題主要考查等差數列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。 （Ⅰ）證明：由題設，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比數列。 （Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數列，及成等比數列，得 當≠1時，可知≠1，k 從而 所以是等差數列，公差為1。 （Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分兩種情況進行討論： （1） 當n為偶數時，設n=2m() 若m=1,則. 若m≥2，則 + 所以

26、 (2)當n為奇數時，設n=2m+1（） 所以從而··· 綜合（1）（2）可知，對任意,,有 證法二：（i）證明：由題設，可得 所以 由可知?？傻?， 所以是等差數列，公差為1。 （ii）證明：因為所以。 所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數列。由等差數列的通項公式可得= ，故。 從而。 所以，由，可得 。 于是，由（i）可知 以下同證法一。 （2020全國卷1理數）（22）(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效） 已知數列中， . （Ⅰ）設，求數列的通項公式； （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范圍 . （2020山東

27、理數）（18）（本小題滿分12分） 已知等差數列滿足：，，的前n項和為． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令bn=(nN*)，求數列的前n項和． 【解析】（Ⅰ）設等差數列的公差為d，因為，，所以有 ，解得， 所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==， 即數列的前n項和=。 【命題意圖】本題考查等差數列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數列的和，熟練數列的基礎知識是解答好本類題目的關鍵。 （2020湖南理數）21．（本小題滿分13分） 數列中，是函數的極小值點 （Ⅰ）當a=0時，求通項； （Ⅱ）是否存在a，使數列是等比數列？若存在，求a的取值范圍；若

28、不存在，請說明理由。 （2020湖北理數） （Ⅲ） 2. （2020安徽理數）20、（本小題滿分12分） 設數列中的每一項都不為0。 證明：為等差數列的充分必要條件是：對任何，都有 。 （2020江蘇卷）19、（本小題滿分16分） 設各項均為正數的數列的前n項和為，已知，數列是公差為的等差數列。 （1）求數列的通項公式（用表示）； （2）設為實數，對滿足的任意正整數，不等式都成立。求證：的最大值為。 [解析] 本小題主要考查等差數列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。 （1

29、）由題意知：， ， 化簡，得： ， 當時，，適合情形。 故所求 另一方面，任取實數。設為偶數，令，則符合條件，且。 于是，只要，即當時，。 所以滿足條件的，從而。 因此的最大值為。 【2020年高考試題】 8．(2020·福建理3)等差數列的前n項和為，且 =6，=4， 則公差d等于 A．1 B C 2 D 3 答案：C 解析：∵且.故選C 9．(2020·廣東理４)已知等比數列滿足，且，則當時， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：C 答案： B

30、解析：，，。 3．(2020·遼寧理14)等差數列的前項和為，且則 答案： 解析：， =。 4．(2020·福建理15)五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；②若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次已知甲同學第一個報數，當五位同學依序循環(huán)報到第100個數時，甲同學拍手的總次數為________. 答案：5 解析：由題意可設第次報數，第次報數，第次報數分別為，，，所以有，又由此可得在報到第100個數時，甲同學拍手5次。 5．(2

31、020·浙江理11)設等比數列的公比，前n項和為，則___________. W 解析：這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，第二項前有，二項指數分別為，因此對于， 8．(2020·山東理20)等比數列的前n項和為，已知對任意的，點均在函數的圖象上。 (Ⅰ)求r的值。 (Ⅱ)當b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立 解：:因為對任意的,點，均在函數且均為常數的圖像上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數列,所以,公比為, (2)當b=2時，, 則,所以 下面用數學歸納法證明不等式成立. 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不

32、等式成立. 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊= 所以當時,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命題立意】:本題主要考查了等比數列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數學歸納法證明與自然數有關的命題,以及放縮法證明不等式. 9．(2020·廣東理21)已知曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為． (１)求數列的通項公式； (２)證明： 由于，可令函數，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數在上單調遞減，∴，即在恒成立，又， 則有，即. 10．(2020·江蘇17)設是公差不為零的等差數列，為其前項和，

33、滿足 (1)求數列的通項公式及前項和； (2)試求所有的正整數，使得為數列中的項.? [解析] 本小題主要考查等差數列的通項、求和的有關知識，考查運算和求解的能力。滿分14分。 (1)設公差為，則，由性質得，因為，所以，即，又由得，解得，,所以的通項公式為，前項的和 (2) (方法一)=,設， 則=, 所以為8的約數 因為是奇數，所以可取的值為，當時，，是數列中的項；當時，，數列中的最小項是，不符合。所以滿足條件的正整數 (方法二)因為為數列中的項， 故為整數，又由(1)知：為奇數，所以 經檢驗，符合題意的正整數只有。 11．(2020·安徽理21) 首項為正數的數

34、列{}滿足. (Ⅰ)證明：若 為奇數，則對一切 ， 都是奇數； (Ⅱ)若對一切，都有，求的取值范圍。 解：本小題主要考查數列、數學歸納法和不等式的有關知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數學視野。本小題滿分13分。 因為所以所有的均大于0，因此與同號。 根據數學歸納法，，與同號。 因此，對一切都有的充要條件是或。 12．(2020·天津理22)已知等差數列{}的公差為d(d0)，等比數列{}的公比為q(q>1)。設=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (1)若== 1，d=2，q=3，求 的值； (2)

35、若=1，證明(1-q)-(1+q)=，n； (3) 若正數n滿足2nq，設的兩個不同的排列， ， 證明。 本小題主要考查等差數列的通項公式、等比數列的通項公式與前n項和公式等基礎知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。 (Ⅰ)解：由題設，可得 所以， (Ⅱ)證明：由題設可得則 ① ② 式減去②式，得 式加上②式，得 ③ 式兩邊同乘q，得 所以，

36、 (Ⅲ)證明： 因為所以 若，取i=n 若，取i滿足且 由(1),(2)及題設知，且 當時，得 即，…， 又所以 因此 當同理可得，因此 綜上， 【2020年高考試題】 4.(2020·廣東卷理2)記等差數列的前項和為，若，，則( ) A．16 B．24 C．36 D．48 答案：D 解析：，，故 7.(2020·廣東理2)記等差數列的前項和為，

37、若，，則( ) A．16 B．24 C．36 D．48 答案：D 。 解析：， ，故。 點評：本小題主要考查等差數列前n項和公式。 1.(2020·江蘇10)將全體正整數排成一個三角形數陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的規(guī)律，第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個數為 ． 答案： 解析：前行共用了 個數，因此第行從左向右的第3個數是全體正整數中的第個，即為． 3.(2020·海南寧夏卷理17)已知數列是一個等差數列，且，。 (1)求的通項； (2)求前

38、n項和的最大值。 解：(Ⅰ)設的公差為，由已知條件，，解出，． 所以． (Ⅱ)． 所以時，取到最大值． 4.(2020·山東理19文20)將數列｛an｝中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 記表中的第一列數a1，a2，a4，a7，…構成的數列為｛bn｝,b1=a1=1. Sn為數列｛bn｝的前n項和，且滿足＝1=(n≥2). (Ⅰ)證明數列｛｝成等差數列，并求數列｛bn｝的通項公式； (Ⅱ)上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同

39、一個正數.當時，求上表中第k(k≥3)行所有項和的和. (Ⅰ)證明：由已知， ， (Ⅱ)解：設上表中從第三行起，每行的公比都為q,且q＞0. 因為　　　 　所以表中第1行至第12行共含有數列｛an｝的前78項， 　故 a82在表中第13行第三列，　因此 又　　 　所以 q=2. 記表中第k(k≥3)行所有項的和為S， 則(k≥3). 點評：本題考查等差數列、等比數列的基本知識，考查數列求和及推理運算能力。 5.(2020·江蘇卷19).(Ⅰ)設是各項均不為零的等差數列()，且公差，若將此數列刪去某一項得到的數列(按原來的順序)是等比數列： ①當n =

40、4時，求的數值；②求的所有可能值； (Ⅱ)求證：對于一個給定的正整數n(n≥4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數列，其中任意三項(按原來順序)都不能組成等比數列． 化簡得3＝0，因為d≠0，所以也不能刪去； 若刪去，則有＝，即．故得= 2 ． 當n≥6 時，不存在這樣的等差數列．事實上，在數列，，，…，，， 中，由于不能刪去首項或末項，若刪去，則必有＝，這與d≠0 矛盾；同樣若刪去也有＝，這與d≠0 矛盾；若刪去，…， 中任意一個，則必有＝，這與d≠0 矛盾．綜上所述，n∈{4，5}． 點評：等差等比數列這部分內容主要考查公式的靈活應用，這是高考的熱點。 6.(2020·廣東卷

41、21)設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，，(…)．(1)證明：，；(2)求數列的通項公式； (3)若，，求的前項和． 解析：(1)由求根公式，不妨設，得 ， (2)設，則，由得， 消去，得，是方程的根，由題意可知， ①當時，此時方程組的解記為 即、分別是公比為、的等比數列， 由等比數列性質可得,, 兩式相減，得 ，， ， ，即， ②當時，即方程有重根，， 即，得，不妨設，由①可知 ，， 即，等式兩邊同時除以，得，即 數列是以1為公差的等差數列，, 綜上所述， (3)把，代入，得，解得 點評：本題考查一元二次方程、數列的通項公式、數列前

42、n項和等知識，考查函數與方程、化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力。 【2020年高考試題】 1．(2020·寧夏、海南理4)已知是等差數列，，其前10項和， 則其公差(　　) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：D 解析： 選D 2．(2020·寧夏、海南理7)已知，，成等差數列，成等比數列，則的最小值是(　　) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：D 解析： 選D。 3．(2020·廣東理5) 已知數列｛｝的前n項和，第k項滿足５＜＜８，則= A．9 B．8 C．7 D．6 答案：B 驗證時也滿足上式， (II) ， ， 2．(2020·山東理18) 設是公比大于1的等比數列，為數列的前項和．已知， 且構成等差數列． (1)求數列的等差數列． (2)令求數列的前項和． 故數列的通項為． (2)由于 由(1)得 又 是等差數列． 故．